2026年四川省泸州市中考数学真题（word试卷+答案解析）

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1．（4分）下列四个数中，是整数的是（ ）
A．2026B．−12026C．2026D．2.026
【答案】A
【解析】解：∵2026不是平方数，
∴2026不是整数，
∵−12026是分数，2.026是小数，2026是整数，
∴B，C，D选项不符合题意，A选项符合题意，
故选：A．
2．（4分）据教育部网站消息，2026年全国高考报名人数为1290万人，将数据12900000用科学记数法表示为（ ）
A．1.29×106B．12.9×107C．1.29×107D．1.29×108
【答案】C．
【解析】解：12900000＝1.29×107．
故选：C．
3．（4分）下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】解：A．该图形左视图是正方形，故此选项不符合题意；
B．该图形左视图是三角形，故此选项符合题意；
C．该图形左视图是矩形，故此选项不符合题意；
D．该图形左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a3）2＝a5C．2a6÷a2＝2a3 D．a2•a4＝a6
【答案】D
【解析】解：2a+3a＝5a，则A不符合题意，
（a3）2＝a6，则B不符合题意，
2a6÷a2＝2a4，则C不符合题意，
a2•a4＝a6，则D符合题意，
故选：D．
5．（4分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B，AB⊥BC，AE平分∠BAD，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【解析】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝∠ACB，
∵∠1＝40°，
∴∠ACB＝40°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠2=12（180°﹣∠CAB）=12（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
6．（4分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列结论中一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC⊥BDC．AC⊥BD，AC＝BDD．OA＝OC，OB＝OD
．【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
故选项D一定成立，符合题意；
对于选项A，
∵平行四边形的对角线不一定相等，
∴OA＝OB＝OC＝OD不一定成立，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∵平行四边形的对角线不一定垂直，
∴AC⊥BD不一定成立，故选项B不符合题意；
对于选项C，
∵平行四边形的对角线不一定垂直，也不一定相等，
∴AC⊥BD，AC＝BD不一定成立，
故选项C不符合题意．
故选：D．
7．（4分）不等式组x+3＞52x−1＜8的所有整数解的和为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【解析】解：解第一个不等式得x＞2，
解第二个不等式得x＜4.5，
故原不等式组的解集为2＜x＜4.5，
其整数解为3，4，
则3+4＝7，
故选：C．
8．（4分）若方程2x=1x−1的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，则a的值为（ ）
A．−12B．12C．32D．2
【答案】A
【解析】解：将分式方程去分母得：2x﹣2＝x，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的解，
∵方程2x=1x−1的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，
∴2a＝1﹣2，
解得：a=−12，
故选：A．
9．（4分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD＝40°，∠AEC＝65°，则∠CBD＝（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
【答案】B
【解析】解：∵∠ACD＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠ACD＝75°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAE＝15°，
∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝55°，
故选：B．
10．（4分）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3−22B．32−2C．6−42D．2−22
【答案】A
【解析】解：设该直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，
∵a，b是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝2，由勾股定理得：
c=a2+b2=(a+b)2−2ab=62−2×2=32=42，
∵三角形的面积S=12ab=12ar+12br+12cr，
∴直角三角形的内切圆半径公式为r=aba+b+c，代入得：r=26+42=3−22，
故选：A．
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则S△BCDS△ABC的值为（ ）
A．5−14B．3−52C．4−55D．5−12
【答案】B
【解析】解：由题知，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BDC，
∴∠A＝∠CBD＝180°﹣2∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴ABBD=BCDC．
又∵AD＝BD，
∴ACAD=ADCD．
令AC＝k，
则k（k﹣AD）＝AD2，
解得AD=−k+5k2（舍负），
∴BCAB=ADAB=5−12，
∴S△BCDS△ABC=（BCAB）2=(5−12)2=3−52．
故选：B．
12．（4分）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：A(2，12)，B(−3，−13)都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”；②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；
③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”；④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解：由定义得，倒数点满足xy＝1，x≠0，即y=1x，
①联立xy=1y=3x，则3x=1x，
整理得3x2＝1，
解得x=±33，
∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确；
②联立xy=1y=|x−1|，
∵y＝|x﹣1|≥0，
∴x＞0，
当x≥1时，x−1=1x，整理得x2﹣x﹣1＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5≥0，
解得x1=1+52，x2=1−52，
正根x=1+52＞1，存在解，
∴图象上存在倒数点，故②错误；
③联立xy=1y=2x2+1，
∴1x=2x2+1，
画出函数y=1x和y＝2x2+1图象的草图如图所示：
∴由图象知：函数y=1x和y＝2x2+1图象有唯一的交点，
∴1x=2x2+1有唯一的解，
∴存在1个倒数点，故③正确；
④联立xy=1y=kx+2，
整理得kx2+2x﹣1＝0，
当k＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得x=12，y＝2，满足12×2=1，是倒数点，
此时k＝0＞﹣1，故④错误；
综上，正确的结论共2个，
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）分解因式：x2﹣1＝ ．
【答案】（x+1）（x﹣1）．
【解析】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
14．（4分）函数y=x−5自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥5
【解析】解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5
15．（4分）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为 ．
【答案】12．
【解析】解：已知矩形的对角线长为6，如图，
∴AC＝BD＝6，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD是中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线，
∴EH＝GF=12BD=12×6＝3，EF＝GH=12AC=12×6＝3，
∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为：EH+GF+EF+GH＝3+3+3+3＝12．
故答案为：12．
16．（4分）4张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是 ．
【答案】13．
【解析】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果数为4，
所以抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率=412=13．
故答案为：13．
17．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，AF与DE交于点M，BD与AF，MG分别交于点N，P．则NP的长为 ．
【答案】829．
【解析】解∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，
∴AE＝EB＝BF＝FC＝CG＝GD＝2，
在△ADE和△BAF 中，
AD=AB∠DAE=∠ABF，AE=BF
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，DE＝AF，
∴∠ADE+∠DAF＝90°
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，即AF⊥DE，
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=AD2+AE2=42+22=25，
∵S△ADE=12AD⋅AE=12DE⋅AM，
∴AM=AD⋅AEDE=4×225=455，
∴DM=AD2−AM2=855，
∵AD∥BC，
∴∠NAD＝∠NFB，∠NDA＝∠NBF，
∴△AND∽△FNB，
∴DNBN=ADBF=42=2，
∴DN=23BD，
连接BG，
∵AB∥CD，BE＝DG＝2，
∴四边形DEBG为平行四边形，
∴BG∥DE，BG=DE=25，
∴∠PDM＝∠PBG，∠PMD＝∠PGB，
∴△DMP∽△BGP，
∴DPBP=DMBG=45，
∴DP=49BD，
∴NP=DN−DP=23BD−49BD=29BD，
在Rt△ABD 中，BD=AB2+AD2=42+42=42，
∴NP=29×42=829，
故答案为：829．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
18．（8分）计算：4sin30°+3−1+(π+2)0−|−13|．
【答案】3．
【解析】解：原式＝4×12+13+1−13
＝2+13+1−13
＝3．
19．（8分）化简：c2+2c+1c−1⋅(1−2c+1)．
【答案】c+1．
【解析】解：原式=(c+1)2c−1•c+1−2c+1
=(c+1)2c−1•c−1c+1
＝c+1．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．（10分）为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求乙运动员第3次的射击成绩，并求出t的值；
（3）若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？
【答案】（1）7.4，7.5；
（2）乙的设第三次成绩为6环，t的值为9；
（3）40次．
【解析】解：（1）根据题意可得：m=1×5+2×6+2×7+3×8+1×9+1×101+2+2+3+1+1=7410=7.4（环），
∵第5个，第6个数据为7，8，
∴n=7+82=7.5（环），
故答案为：7.4，7.5；
（2）设第三次成绩为x，
∴乙的成绩为4，6，x，8，9，7，7，9，8，9，
∴110(4+6+x+8+9+7+7+9+8+9)=7.3，
解得x＝6，
∴乙的设第三次成绩为6环，
∵9出现的次数最多，为3次，
∴t＝9 （环）；
（3）∵射击环数超过7环为优秀，甲射击环数超过7环有5次，
∴80×510=40（次），
∴甲运动员射击80次的优秀次数为40次．
21．（10分）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元．
（1）购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？
（2）现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料m份（m＞6），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？
【答案】（1）购买1份A材料的费用是20元，1份B材料的费用是30元；
（2）当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；当m＞12时，应选择乙超市购买．
【解析】解：（1）设购买1份A材料的费用是x元，1份B材料的费用是y元，
根据题意得：x+3y=1102x+y=70，
解得：x=20y=30．
答：购买1份A材料的费用是20元，1份B材料的费用是30元；
（2）180÷30＝6（份）．
当该手工社团购买B材料m份（m＞6）时，选择甲超市所需费用为30×0.9m＝27m元，选择乙超市所需费用为180+0.8×30（m﹣6）＝（24m+36）元，
若27m＜24m+36，则m＜12，
∴当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；
若27m＝24m+36，则m＝12，
∴当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；
若27m＞24m+36，则m＞12，
∴当m＞12时，应选择乙超市购买．
答：当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；当m＞12时，应选择乙超市购买．
22．（10分）如图，一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若CD＝3BC，求点D的坐标．
【答案】（1）y=24x；
（2）D（0，2）．
【解析】解：（1）由题意，∵一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4，
∴当x＝4时，y＝3×4﹣6＝6．
∴A（4，6）．
将A代入反比例函数解析式可得，m＝4×6＝24，
∴反比例函数的解析式为y=24x；
（2）过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴DFDE=DCDB=CFBE=DCDC+BC=3BC4BC=34．
∵点A（4，6）向上平移4个单位长度得到点B，
∴B（4，10），则BE＝4，
∴CF＝3，
∴C（3，8）．
设OD＝x，
∴DF＝8﹣x，DE＝10﹣x，
∴3（10﹣x）＝4（8﹣x）．
∴x＝2．
∴D（0，2）．
五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）
23．（12分）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C相距20nmile．某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相距20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C，E相距60nmile，此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍．
（1）求该轮船的航行速度；
（2）求点D，E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【答案】（1）103nmile/ℎ；
（2）(2013−20)mile．
【解析】解：（1）由题意，得AB＝AC＝20 nmile，
CE＝60 nmile，
∠BAC＝90°+30°＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACB+30°＝90°，
作AF⊥BC于点F，
则BC＝2BF，在Rt△ABF中，BF=AB⋅cs30°=103 nmile，BC=203 nmile，
在Rt△ECB中，由勾股定理，得BE=BC2+CE2=403 nmile，
故该轮船的航行速度为403÷(12−8)=103(nmile/ℎ)，
答：该轮船的航行速度为103nmile/ℎ；
（2）作DH⊥CE于点H，
∵点D到E的距离是D到C的距离的2倍，
∴设CD＝2x nmile，则DE＝4x nmile，
在Rt△CDH中，∠DCH＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴CH＝CD•cs60°＝x nmile，DH=CD⋅sin60°=3x nmile，
∴EH＝CE﹣CH＝（60﹣x） nmile，
在Rt△EHD中，由勾股定理，得DE2＝EH2+DH2，
∴(4x)2=(3x)2+(60−x)2，
解得x=513−5或x=−513−5（舍去）；
DE=4(513−5)=(2013−20）nmile；
故点D，E间的距离为(2013−20)nmile．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，CE交AB于点F，连接AC，AE，BC．
（1）求证：∠CAD＝∠BCD；
（2）若AE∥CD，BD＝3，sinD=23，求EF的长．
【答案】（1）证明：连结OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD+∠BCO＝90°，∠OCA+∠BCO＝90°，
∴∠BCD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCD；
（2）8307．
【解析】（1）证明：连结OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD+∠BCO＝90°，∠OCA+∠BCO＝90°，
∴∠BCD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCD；
（2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图，
在Rt△OCD中，∵sinD=OCOD=23，
∴设OC＝2x，OD＝3x，
∵OD＝OB+BD，
∴3x＝2x+3，
解得x＝3，
∴OC＝6，OD＝9，
∴CD=92−62=35，
∵12CH•OD=12OC•CD，
∴CH=6×359=25，
∴DH=(35)2−(25)2=5，
∴BH＝DH﹣BD＝5﹣3＝2，
∵AE∥CD，
∴∠E＝∠DCE，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠DCE＝∠ABC，
∵∠CFB＝∠DFC，
∴△FCB∽△FDC，
∴FC：FD＝FB：FC，
即FC2＝FB•FD，
∴FC2＝（FH+2）（FH+5），
∵FC2＝FH2+CH2＝FH2+（25）2，
∴（FH+2）（FH+5）＝FH2+（25）2，
解得FH=107，
∴DF＝DH+FH=457，
∴AF＝AD﹣DF＝6+9−457=607，
在Rt△CFH中，CF=(107)2+(25)2=6307，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴EF：CF＝AF：DF，
即EF：6307=607：457，
解得EF=8307．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+1．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，4），且关于直线x＝1对称，求二次函数的解析式；
（2）当a=23时，该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积；
（3）当b＝1时，点D（1，y1），E（2，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，求二次函数在0≤x≤1上的最大值m的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；
（2）58；
（3）1＜m＜53．
【解析】解：（1）∵该二次函数y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝1，
∴x=−b2a=1，即b＝﹣2a，
∵该二次函数的图象经过点（3，4），
∴9a+3b+1＝4，
把b＝﹣2a代入得：9a+3×（﹣2a）+1＝4，
解得：a＝1，
∴b＝﹣2，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）当a=23时，则有y=23x2+bx+1，
令x＝0，则有y＝1，即C（0，1），
∴OC＝1，
设该二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），
不妨设x1＜x2，
当y＝0时，则有23x2+bx+1=0，
那么x1，x2是该方程的两个不等实数根，
∴根据根与系数的关系可得：x1x2=32，
∴根据两点间距离公式可得：AC2=(x1−0)2+(0−1)2=x12+1，
AB2=(x1−x2)2=x12−2x1x2+x22=x12−2×32+x22=x12−3+x22
BC2=(x2−0)2+(0−1)2=x22+1，
当该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，且在y轴的右侧，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AC＝AB，
∴x12+1=x12−3+x22，
解得：x2＝2（负根舍去），
∴把x2＝2代入23x2+bx+1＝0得：23×4+2b+1＝0，
解得：b=−116，
∴23x2−116x+1＝0，
解得：x1=34，x2＝2，
∴AB＝2−34=54，
∴S△ABC=12AB⋅OC=58，
当该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，且在y轴的左侧，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝AB，
同理可得：S△ABC=12AB⋅OC=58；
综上所述：△ABC的面积为58．
（3）当b＝1时，则有y＝ax2+x+1，
∵点D（1，y1）E（2，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a+2，y2＝4a+3，
∵y1＞y2，
∴a+2＞4a+3，
解得：a＜−13，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=−12a，
∵a＜−13，
∴−2a＞23，即0＜−12a＜32，
∴当1≤−12a＜32时，即−12≤a＜−13，
此时二次函数在0≤x≤1上，y随x的增大而增大，
∴二次函数在0≤x≤1上的最大值为m＝a+2，
∵−12≤a＜−13，
∴32≤m＜53，
当0＜−12a＜1时，即a＜−12，
∴二次函数在0≤x≤1上的最大值为m=a(−12a)2+(−12a)+1=14a−12a+1=1−14a，
∵a＜−12，
∴﹣4a＞2，即0＜−14a＜12，
∴1＜m＜32；
综上所述：最大值m的取值范围为1＜m＜53．
运动员
平均数
中位数
众数
甲
m
n
8
乙
7.3
7.5
t