初中数学新北师大版九年级上册第二章章末复习教学课件（2026秋）

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章末复习北师版九年级上册回顾与思考1. 一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明。2. 在解决实际问题的过程中，怎样判断求得的结果是否合理？请举例说明。3. 举例说明解一元二次方程有哪些方法。配方法的一般过程是怎样的？回顾与思考4. 如何利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？请举例说明。5. 一元二？这种关系有什么作用？请举例次方程的根与系数有什么关系说明。6. 利用方程解决实际问题的关键是什么？7. 梳理本章内容，用适当的方式星现全章知识结构，并与同伴进行交流。一元二次方程1. 概念：只含有一个未知数 x ，最高次数是 2 的整式方程，可化成 ax2+bx+c = 0（a，b，c是常数，a ≠ 0）的形式2. 解法：（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法 ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的解为：（4）因式分解法3. 根与系数的关系知识结构4. 应用：其关键是能根据题意找出等量关系复习回顾一元二次方程只含有一个未知数 x 的整式方程，都可以化为 ax2 + bx + c = 0 (a，b，c为常数，a ≠ 0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。ax2bxc二次项一次项常数项ab二次项系数一次项系数使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，或叫作一元二次方程的根。回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？一元二次方程的解法当 Δ = b2 - 4ac > 0 时，当 Δ = b2 - 4ac = 0 时，当 Δ = b2 - 4ac < 0 时，x没有实数根一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根的情况可由 b2 -4ac 来判定。我们把 b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。一元二次方程根的判别式解方程：x2 + 4x－5 = 0配方法公式法因式分解法ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）配方法的一般过程：ax2 + bx = －c对于一元二次方程 当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。注意：必须是一般形式的二元一次方程；必须满足 b2－4ac ≥0 才能代入公式计算。求根公式：ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）用因式分解法解一元二次方程的步骤：方程右边化为______。将方程左边分解成两个___________的乘积。至少_________因式为零，得到两个一元一次方程。两个_____________________就是原方程的解。0一次因式有一个一元一次方程的解根与系数的关系ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）如果方程有两个实数根 x1，x2，x1 + x2 = ______，x1x2 = _______只有当 a ≠ 0，∆ ≥ 0 时，才有根与系数的关系。列一元二次方程解应用题的一半步骤：审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系设未知数根据题目中的等量关系，列出方程解方程，求出未知数的值检验方程的解能否保证实际问题有意义写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则一元二次方程根的应用知识技能1. 两个数的差等于 4 ，积等于 45 ，求这两个数。【选自教材P55 复习题 第1题】解：设其中一个数为 x，另一个数为 x+4，x(x + 4) = 45，x = 5 或 -9，这两个数是 5 和 9；-5 和 -9。达标检测当 x = 5 时，x + 4 = 9；当 x = -9 时，x + 4 = -5；2. 解方程：解：（1）x1=0，x2=14.【选自教材P55 复习题 第2题】（1）x(x-14) = 0； （2）x2 + 12x + 27 = 0；解得 x1=-3，x2=-9.（3）x2 = x + 56； （4）x (5x + 4) = 5x + 4；（3）x2 – x – 56 = 0(x +7)(x– 8) = 0解得 x1 = -7，x2 = 8。（4）5x2 – x – 4 = 0（5）4x2-45 = 31x； （6）-3x2 + 22x - 24 = 0；（5）4x2 –31x–45 = 0（6）3x2 –22x+24 = 02. 解方程：【选自教材P55 复习题 第2题】（7）(x+8)(x+1) = -12； （8）2(x+3)2 = x(x+3)；（7）x2 +9x+20 = 0(x + 4)(x + 5) = 0解得 x1 = -4 ，x2 = -5。（8）2(x+3)2 – x(x+3) = 0解得 x1 = -3，x2 = -6。2. 解方程：【选自教材P55 复习题 第2题】(x+3)[2(x+3) – x] = 0(x+3)(x+6) = 0（9） ； （10）(x + 1)2 - 3(x+1) + 2 = 0。2. 解方程：【选自教材P55 复习题 第2题】（10）将 x+1看作一个整体[(x+1)-2][(x+1)-1] = 0(x+1)-2 = 0(x+1)-1 = 0x1 = 1，x2 = 0。3. 不解方程，判断下列方程的根的情况：【选自教材P55 复习题 第3题】（1）2x2 + x-1 = 0； （2）4(x2-x) = -1；（3）7x2 + 2x + 3 = 0。解: （1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。4. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：【选自教材P56 复习题 第4题】（1）x2 -5x-6 = 0； （2）3x2 + 5x + 1= 0。x1+x2 = 5，x1x2 = -6 。5.（1）当 x 取什么值时，代数式 x2 - 13x + 12 的值等于 0？ （2）当 x 取什么值时，代数式 x2 - 13x + 12 的值等于 42？ （3）当 x 取什么值时，代数式 x2 - 13x + 12 的值与代数式 -4x2+18 的值相等？解： （1）x2-13x + 12 = 0(x-1)(x-12) = 0x1= 1，x2= 12。（2）x2-13x + 12 = 42(x+2)(x-15) = 0x1= -2，x2= 15。（3）x2-13x + 12 = -4x2+185x2-13x – 6 = 0【选自教材P56 复习题 第5题】6. 某公司今年第一季度缴税 40 万元，今年第三季度缴税 48.4 万元。该公司今年第二季度和第三季度缴税的平均增长率是多少？【选自教材P56 复习题 第6题】解：设该公司缴税的年均增长率为 x。40 (1＋x)2＝48.4，解得 x1 ＝ －2.1(舍去)，x2 ＝ 0.1 ＝ 10％。所以，该公司缴税的年均增长率为 10％。7. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子。已知盒子的容积是 400 cm3，求原正方形铁皮的边长。【选自教材P56 复习题 第7题】解：设原铁皮的边长为 x cm。4(x-8)2＝400，解得 x1＝18，x2＝－2(舍去)。所以，原铁皮的边长为 18 cm。8. 一块长方形草地的长和宽分别为 20 m和 15 m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路。已知小路的面积为 246 m2，求小路的宽度。【选自教材P56 复习题 第8题】解: 设小路的宽度为 x m。(20＋2x)(15＋2x)－20×15＝246，解得 x1＝－ (舍去)，x2＝ 3。所以，小路的宽度为 3 m。9. 某剧场共有 1161 个座位，已知每排的座位数都相同，且每排的座位数比总排数少 16，求每排的座位数。【选自教材P56 复习题 第9题】解：设每排的座位数为 x。( x＋16)x ＝ 1161，解得 x1＝－43(舍)，x2＝27。所以，每排的座位数为 27。【选自教材P56 复习题 第10题】10. 将一条长 56 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 100 cm2，该怎么剪？（2）这两个正方形的面积之和可能等于196 cm2吗？可能等于 200 cm2 吗？解：设第一段为 x cm， 两个正方形之和为 S。则（1）令 S＝100，即 解得 x1＝24，x2＝32。所以要使两个正方形的面积之和等于100cm2，则一个剪 24cm，一个剪 32 cm。（2）令 S＝196，即 解得 x1＝0，x2＝56。此时铁丝未被剪开，所以不可能。10. 将一条长 56 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 100 cm2，该怎么剪？（2）这两个正方形的面积之和可能等于196 cm2吗？可能等于 200 cm2 吗？【选自教材P56 复习题 第10题】解：设第一段为 x cm， 两个正方形之和为 S。则令 S＝200，即 解得 x1＝ ，x2＝ 。这两个正方形的面积之和不可能等于200cm2。11. 解方程 (x -1)2-5(x-1) + 4 = 0 时，我们可以将 x-1 看成一个整体，设x-1 = y，则原方程可化成 y2- 5y + 4 = 0，解得 y1 = 1，y2 = 4。当 y = 1时，即 x-1=1，解得 x = 2；当 y = 4 时，即 x-1= 4，解得 x = 5。所以原方程的解为x1 = 2，x2 = 5。请利用这种方法解方程： (3x+5)2-4(3x+5)+3=0。【选自教材P56 复习题 第11题】解：设 3x＋5＝y．则原方程可化为 y2－4y＋3＝0，解得 y1＝1，y2＝3。当 y＝1 时，即 3x＋5＝1，解得 x＝－ ；当 y＝3 时，即 3x＋5＝3，解得 x＝－ 。∴原方程的解为 x1＝－ ，x2＝－ 。12. 已知 2+ 是方程 x2- 4x + c = 0 的一个根，求这个方程的另一个根及 c 的值。【选自教材P56 复习题 第12题】13. 写出一个一元二次方程，使它的两个根为 1，－2。【选自教材P56 复习题 第13题】解：因为方程的两个根分别为 1，－2，(x－1)(x + 2) = 0整理，得 x2 + x－2 = 0。14. 如图(1)，在 △ABC 中，∠C = 90°，CA = CB，AB = 20 cm；在矩形 DEFG 中，EF = 30 cm，DE = 10 cm；△ABC 在矩形 DEFG 的左侧，AB 与 EF 在一条直线上，且点 B 与点 E 重合。现△ABC 以 1 cm/s 的速度沿直线 AF 从左向右运动（矩形 DEFG 保持不动），当 △ABC 运动如图(2)所示的位置时，△ABC 与矩形 DEFG 重叠部分的面积为 68 cm2，此时 △ABC 运动了多少秒？【选自教材P57 复习题 第14题】(1)(2)∵在 △ABC 中，∠C = 90∘，CA = CB，AB = 20 cm，∴△ ABC 是等腰直角三角形。AB 边上的高为 10 cm，S△ABC ​= ​×20×10=100 cm2。设 △ABC 向右运动了 t 秒，则 BE = t cm，AE = (20 − t) cm。重叠部分面积 = 大三角形面积 − 左侧小等腰直角三角形面积左侧小三角形为等腰直角三角形，直角边长为 (20−t) cm，面积为 。由题意，重叠部分面积为 68 cm2 ，得：20 － t = 8（舍去负根）t = 12答：此时 △ABC 运动了 12 s。15. 一列高速列车在启动加速过程中，行驶的路程 s (单位：m) 与时间 t (单位：s)之间的关系为：s = 10t + t2。在这一过程中，该高速列车行驶 800 m 需要多长时间？【选自教材P57 复习题 第15题】解：当 s = 10t + t2 = 800 时， 解得 t1＝20，t2＝ (舍去)。 所以，行驶 800m 需 20 s。16. 如图，在一块长 92 m、宽 60 m 的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽度都相同)，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个矩形小块，水渠的宽度是多少？【选自教材P57 复习题 第16题】解：设水渠宽 x m。60x·2＋92x－2x2＝92×60－885×6，解得 x1＝105(舍去)，x2＝1。所以，水渠应挖 1 m 宽。17. 某果园原计划种 100 棵某种果树，这种果树平均每棵结 1000 个果子。现准备多种一些这种果树以提高产量。试验发现，每多种 1 棵果树，每棵果树的产量就会减少 2 个，且多种的果树不能超过 100 棵。如果要使总产量增加 15.2%，那么应多种多少棵这种果树？【选自教材P57 复习题 第17题】解：设应多种 x 棵桃树。则有 (100＋x)(1000－2x)＝1000×100(1＋15.2％)，解得 x1＝380(舍去)，x2＝20。所以，要使产量增加 15.2％，应多种 20 棵桃树。18. 一个直角三角形的斜边长 7 cm，一条直角边比另一条直角边长 1 cm，求两条直角边的长度。【选自教材P57 复习题 第18题】解：设一条直角边为 x cm，另一条直角边是 x-1 cm。x2 + (x-1)2 = 72两直角边分别为 cm 和 cm。19. 某军舰以 20 kn 的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以 30 kn 的速度由南向北航行，它能侦察出周国 50 n mile(包括50 n mile）范围内的目标。如图所示，当该军舰行至 A 处时，电子侦察船正位于 A 处正南方向的 B 处，且 AB = 90 n mile。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。【选自教材P57 复习题 第19题】解: 能。设最早 x h 能侦察到，则有 (20x)2＋(90－30x)2 ＝ 502，解得 x1＝2，x2＝ 。而 2＜ ，故最早 2 h 能侦察到这艘军舰。20. 2021 年我国新增高效节水灌溉面积 188万 hm2，如果要使 2021 年至 2023 年三年新增高效节永灌溉面积总和为 622.28万 hm2，那么 2022 年、2023 年两年新增高效节水灌溉面积的年均增长率应为多少?【选自教材P57 复习题 第20题】解:设年均增长率为x，根据题意，得188+188(1+x)+188(1+x)2=622.28，解这个方程，得x1=0.1=10%，x2=-3.1(不合题意，舍去)。所以，2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积的年均增长率为10%。【选自教材P58 复习题 第21题】21. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了 66 次手。这次会议参会的人数是多少？解: 设这次会议的人数是 x。解得 x1＝12，x2＝－11 (舍去)。所以，这次会议到会的人数是 12。22. 如图，一次函效 y = -2x + 3 的图象交 x 轴于点 A，交 y 轴于点B，点 P 在线段 AB 上(不与点A，B 重合)，过点 P 分别作 OA 和 OB 的垂线，垂足为C，D。点 P 在何处时，矩形 OCPD 的面积等于 1？【选自教材P58 复习题 第22题】解：设点 P 坐标为(m，n)。P 在 y ＝ －2x ＋3 上，则有－2m ＋3＝ n，S矩形OCPD ＝mn＝m(－2m ＋3)＝1，解得 或 ∴当P 在 ( ，2) 或 (1，1)处时，矩形 OCPD 面积为 1。m＝ ，n＝2， m ＝1，n＝1。【选自教材P58 复习题 第23题】23. 如图，一艘轮船以 30 km/h 的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以 20 km/h 的速度由南向北移动，距台风中心 200 km 的圆形区域(包括边界)都属台风影响区。当这艘轮船接到台风警报时，它到台风中心的距离 CB = 500 km，此时台风中心到轮船既定航线的最近距离 BA= 300 km。如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？如果会，从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区（结果情确到 0.01h) ？解: （1）会。（2）经过 t = h，它就会进入台风影响区。【选自教材P58 复习题 第24题】24. 我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程，你对它们之间的联系与区别有怎样的认识？请画图或撰写小短文分享你的认识。完成练习册本课时的习题。课后作业