四川省绵阳南山中学2026届高考热手考试数学试卷含答案（word版）

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注意事项:
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后, 请将答题卡交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若 A={0,−1,1} ,则 A 的子集个数为( )
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
2. 在复平面内,复数 z=2−i1−3i 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设 x∈R ,则 “ csx=0 ” 是 “ sinx=1 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 2x−1xn 的展开式中，第 5 项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为( )
A. 1 B. 32 C. 64 D. 128
5. 将函数 fx=sinωx+π3ω>0 的图象向左平移 π3 个单位长度后得到函数 gx 的图象,且函数 gx 是偶函数,则 ω 的最小值是( )
A. 12 B. 1 C. 32 D. 52
6. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作斜率为正的直线交抛物线于 A,B 两点,且 AF=2BF ,则直线 AB 的斜率为( )
A. 24 B. 2 C. 22 D. 23
7. 已知球 O 的半径为 1，圆锥内接于球 O ，则圆锥体积的最大值为( )
A. 16π81 B. 32π81 C. 16π27 D. 32π27
8. 甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到一个班比另一个班多 2 分或打满 6 局时结束. 设甲班在每局中获胜的概率为 23 ,乙班在每局中获胜的概率为 13 ,且各局胜负相互独立. 比赛结束时甲班所得分数为 X ,则 PX=2= ( )
A. 364729 B. 348729 C. 340729 D. 20243
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选的得 0 分.
9. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计成绩， 得到如下所示的列联表:
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+dn=a+b+c+d ,
已知在全部 105 人中随机抽取 1 人，成绩优秀的概率为 27 ，则下列说法正确的是( )
A. 甲班人数多于乙班人数
B. 甲班的优秀率低于乙班的优秀率
C. 表中 c 的值为 15,b 的值为 50
D. 根据小概率值 α=0.025 的独立性检验,能认为“成绩与班级有关系”
10. 在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 bcsC,acsA,ccsB 成等差数列,且 asinC=31−acsC ,则下列结论正确的是 ( )
A. A=π3
B. b=1
C. △ABC 周长取值范围为 2+32,2+3
D. 若 O 是 △ABC 外接圆的圆心，则 △OAC 和 △OBC 面积之差的取值范围为 −316,348
11. 在三棱锥 P−ABC 中, PA⊥ 底面 ABC,AB⊥BC ,用一平面 α 截该三棱锥分别与棱 AB,PB,PC,AC 相交于点 D,E,F,G ,如图所示,记向量 n 为平面 α 的一个法向量,下列条件中,使 DE⊥DG 的是( )
A. 若 n//AB B. 若 n//PC
C. 若 n//PB D. 若 n//AC
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 x,y 均为非负数,且 x+2y=1 ,则 2x+1y 的最小值为_____.
13. 已知向量 a,b 满足 a=1,a+2b=2 ，且 b−2a⊥b ，则 a⋅b= _____.
14. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点为 F1,F2,P 为双曲线上一点, △PF1F2 的内心为 I ，直线 IF1 ， IF2 的斜率分别为 k1 ， k2 ，且 5k1+k2=0 ，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,3Sn=4an−2 .
(1)证明:数列 an 是等比数列，并求出通项公式；
(2)设函数 fx=x2⋅lnx−12 的导函数为 f′x ，数列 bn 满足 bn=f′an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. (15 分)
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AA1⊥ 平面 ABC ， ∠ACB=90∘ ， CA=CB=2 ， AA1 =3,D 是棱 A1B1 的中点， F 是棱 BC 上靠近 C 的三等分点， E 在棱 BB1 上，且 AD⊥ EC1 .
(1)求证: EF// 平面 ADC1 ；
(2)求平面 DEC1 与平面 AEF 的夹角的余弦值.

17. (15 分)
已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内,每售出 1 吨该商品可获利润 0.5 万元,未售出的商品,每 1 吨亏损 0.3 万元. 根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示. 已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品,现以 x (单位:吨, 100≤x≤150) 表示下一个销售季度的市场需求量, T (单位: 万元) 表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.

(1)视 x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求 Px≥120 ；
(2)将 T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式；
(3)在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值,并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率 (例如 x∈
[100,110) ,则取 x=105 的概率等于市场需求量落入 [100,110) 的频率),求 T 的分布列及数学期望 ET .
18. (17 分)
已知直角坐标系中 △ABC 满足 sinB+sinCsinA=2,B−1,0,C1,0 ,动点 A 的轨迹为曲线 T .
(1)求曲线 T 的方程；
(2)若半径为 63 的圆的圆心 M 在曲线 T 上运动，过原点 O 作圆 M 的两条切线，分别与曲线 T 交于 E,F ,射线 OE,OF 的斜率存在,并记为 k1,k2 .
(i) 求证: k1⋅k2 为定值;
(ii) 求 OE⋅OF 的最大值.
19. (17 分)
已知 fx=1−xex−1 ,
(1)求函数 fx 的极值;
(2)正项数列 an 满足 anean+1=ean−1,a1=1 ，
(i) 若不等式 an≤m 对任意的正整数 n 成立,求实数 m 的取值范围;
(ii) 若 an≤λan+1 ,求实数 λ 的最小值.优秀
非优秀
甲班
10
b
乙班
c
30
Pχ2≥k
0.05
0.025
0.010
0.005
k
3.841
5.024
6.635
7.879