2026年北京市石景山区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2026年北京市石景山区中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．截至2025年底，全国累计发电装机容量约3900000000千瓦，预计到2026年底，全国发电装机容量累计将是2025年底的1.1倍，达到千瓦，的值用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．4
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．不透明的袋子中有黑、白棋子各一枚，两枚棋子除颜色外无其他差别．从中随机摸出一枚棋子，放回并摇匀，再从中随机摸出一枚棋子，则第一次摸到白棋子、第二次摸到黑棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△中，，，以为直径画圆，与交于点，与交于点，连接，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论：
①当时，点的纵坐标是10；
②点与原点距离的最小值是；
③若点在轴正半轴上，则点的横坐标是6；
④若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是1．
上述结论中，所有正确的结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
10．分解因式： ．
11．方程的解为 ．
12．在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则的值为 ．
13．某地区九年级共有1800名女生，为了解这些女生一分钟仰卧起坐次数的分布情况，从中随机抽取了60名女生，测得她们的仰卧起坐数据（单位：次），并根据九年级女生体质健康标准整理如下：
根据以上数据，估计这1800名女生中仰卧起坐等级为优秀的学生有 名．
14．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 ， ．
15．中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，并口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，，则平面镜与地面的夹角 ．
16．某校科学实验小组需完成编号为，，，，，，，的八项工作，要求如下：
①，，完成后才能开始；
②，，完成后才能开始；
③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作．
各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示：
（1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要 分钟；
（2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为 ．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在△中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，，求的长．
21．随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用，两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知机器人每小时可分拣1.8万件包裹，机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，机器人比机器人提前1小时结束，发现机器人分拣的包裹总量是机器人分拣的包裹总量的2倍．求机器人分拣的包裹总量．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
23．某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分100分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．评委给甲、乙的打分的折线图：
．评委给丙的打分：5 6 8 8 8 8 9 10 10 10
．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩：
（1）表中的值为 ，的值为 ；
（2）表中 1.84（填“”“ ”或“” ；
（3）企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．
评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为 ．
24．如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
25．为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取，两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：下的百公里能耗（单位：数据，部分数据如下：
对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容．
（1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象；
（2）当款车的行驶速度约为 （精确到个位）时，其百公里能耗最低；当款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为 （结果保留小数点后一位）；
（3）小石和小京分别驾驶，两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则 （填“”或“” 款车行驶这的能耗更低．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①当，时，直接写出的长；
②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围．
27．如图，在△中，，，是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为．
（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长．
（1）如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为 ；
（2）已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为 ；
（3）已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为6，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：．
2．截至2025年底，全国累计发电装机容量约3900000000千瓦，预计到2026年底，全国发电装机容量累计将是2025年底的1.1倍，达到千瓦，的值用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
解：，
故选：．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：观察数轴可知：，，，
，，，
，，选项的结论不正确，选项的结论正确，
故选：．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．4
解：因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
故选：．
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．10
解：设这个多边形是边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形的边数是6．
故选：．
6．不透明的袋子中有黑、白棋子各一枚，两枚棋子除颜色外无其他差别．从中随机摸出一枚棋子，放回并摇匀，再从中随机摸出一枚棋子，则第一次摸到白棋子、第二次摸到黑棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
解：列表如下：
共有4种等可能的结果，其中第一次摸到白棋子、第二次摸到黑棋子的结果有1种，
第一次摸到白棋子、第二次摸到黑棋子的概率为．
故选：．
7．如图，在△中，，，以为直径画圆，与交于点，与交于点，连接，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
解：如图，
，，
，
，
四边形是的内接四边形，
．
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论：
①当时，点的纵坐标是10；
②点与原点距离的最小值是；
③若点在轴正半轴上，则点的横坐标是6；
④若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是1．
上述结论中，所有正确的结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
解：由题意，，，
正方形边长，对角线，
旋转后，旋转后所有点在以为圆心，半径为10的圆上．
①当时，旋转后与轴夹角为，即沿轴正方向，坐标为，纵坐标为10，故①正确；
②：原点到圆心的距离，圆上点到原点的最小距离为，而，故②错误；
③：点在轴正半轴，，可求得，
横坐标为7，不是6，故③错误．
④过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积，
直线必过正方形的中心（对角线交点）．
设旋转角为，计算正方形中心坐标，代入整理后，
的纵坐标为1，故④正确．
综上，正确结论为①④．
故选：．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
解：二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，
，
，
故答案为：．
10．分解因式： ．
解：
．
故答案为：．
11．方程的解为 ．
解：方程两边同时乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为．
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则的值为 1 ．
解：点，在函数的图象上，
，
．
故答案为：1．
13．某地区九年级共有1800名女生，为了解这些女生一分钟仰卧起坐次数的分布情况，从中随机抽取了60名女生，测得她们的仰卧起坐数据（单位：次），并根据九年级女生体质健康标准整理如下：
根据以上数据，估计这1800名女生中仰卧起坐等级为优秀的学生有 630 名．
解：估计这1800名女生中仰卧起坐等级为优秀的学生有（人．
故答案为：630．
14．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 ， ．
解：当，时，，而，
说明说明命题“若，则”是假命题，
故答案为：；2（答案不唯一）．
15．中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，并口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，，则平面镜与地面的夹角 68 ．
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：68．
16．某校科学实验小组需完成编号为，，，，，，，的八项工作，要求如下：
①，，完成后才能开始；
②，，完成后才能开始；
③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作．
各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示：
（1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要 22 分钟；
（2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为 ．
解：（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此：
当做的前置工作，，，三个都要完成，最长的时间为分钟，还要7分钟，则这路需要（分钟），
当做的前置工作，，，三个都要完成，最长的时间为分钟，还要2分钟，则这路需要（分钟），
且工作的时间为1分钟，可以任意安排，
则至少需要22分钟；
（2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为28的方案：
甲先做分钟），接着做分钟），再做分钟），最后做分钟），总时长28分钟，满足要求，
乙做分钟），接着做分钟），再做分钟），最后做分钟），总时长28，满足所有前置限制，
因此甲除以外，还需完成，，．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．计算：．
解：原式
．
18．解不等式组：．
解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式组的解集为．
19．已知，求代数式的值．
解：，
，
原式
．
20．如图，在△中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，，求的长．
【解答】（1）证明：，分别为，的中点，
是△的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于，
，分别为，的中点，
是△的中位线，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
．
21．随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用，两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知机器人每小时可分拣1.8万件包裹，机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，机器人比机器人提前1小时结束，发现机器人分拣的包裹总量是机器人分拣的包裹总量的2倍．求机器人分拣的包裹总量．
解：设机器人分拣的包裹总量为万件，则机器人分拣的包裹总量为万件，
根据题意得：，
解得：．
答：机器人分拣的包裹总量为0.9万件．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
解：（1）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，
，
解得，
，；
（2）由（1）可得函数的解析式为，
当时，则，
当，即时，，
，
解得，
；
当，即时，恒成立；
，即时，无法满足；
综上所述，的取值范围为．
23．某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分100分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．评委给甲、乙的打分的折线图：
．评委给丙的打分：5 6 8 8 8 8 9 10 10 10
．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩：
（1）表中的值为 8.5 ，的值为 ；
（2）表中 1.84（填“”“ ”或“” ；
（3）企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．
评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为 ．
解：（1）把甲的得分从小到大排列为6、7、7、8、8、9、9、10、10、10，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数，
乙的得分为8、10、9、8、10、9、8、8、8、9，其中8出现的次数最多，故众数，
故答案为：8.5；8；
（2）由折线统计图可知，乙的得分的波动比甲小，即乙的方差比甲小，即，
故答案为：；
（3）丙的实践操作测试成绩为：（分，
甲的综合成绩为：（分，
乙的综合成绩为：（分，
丙的综合成绩为：（分，
乙的综合素质最高，
又甲的评委打分的平均数为：（分，
丙的评委打分的平均数为：（分，
，
甲的综合素质高于丙，
这三名员工按综合素质由高到低依次为：乙、甲、丙．
故答案为：乙、甲、丙．
24．如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
是的直径，，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：是的直径，，
，
，
，
连接，
，
，
设，，
，
，
，
过作于，
，
，
，
，
（不合题意舍去），，
，
，，
△△，
，
，
．
25．为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取，两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：下的百公里能耗（单位：数据，部分数据如下：
对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容．
（1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象；
（2）当款车的行驶速度约为 48 （精确到个位）时，其百公里能耗最低；当款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为 （结果保留小数点后一位）；
（3）小石和小京分别驾驶，两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则 （填“”或“” 款车行驶这的能耗更低．
解：（1）在坐标系中描点，用平滑曲线连接即可，曲线为开口向上的抛物线形状；
（2）①设款车能耗二次函数为，
代入，，，
，
解得：，，，
，
抛物线顶点横坐标（能耗最低速度）；
②设款车能耗二次函数为，
代入，，
，
解得：，，，
代入；
故答案为：48；9.9；
（3）款车能耗计算：
时，，
行驶耗电：，
时，，
行驶耗电：，
总能耗：；
款车能耗计算：时，，
行驶耗电：，
时，，
行驶耗电：，
总能耗：，
，
款车能耗更低．
故答案为：．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①当，时，直接写出的长；
②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围．
解：（1）将代入得，，
则；
（2）①当时，抛物线为，
令，
解得或，
，
令，得，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线表达式为，
当时，，，
；
②由（1）知，
则，
令，得，
或，
抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），
，
当时，
则，，
，
直线解析式为，
由题可知，，，
，
函数图象如图：
由图象可知当或时，随增大而减小，
由题意可知此时时，随的增大而减小，
，
，
；
当时，
则，，
，
直线解析式为，
由题可知，，，
，
函数图象如图：
由图象可知当或时，随增大而减小，
由题意可知此时时，随的增大而减小，
，
；
综上，且．
27．如图，在△中，，，是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为．
（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明．
解：（1）．理由如下：
将线段绕点逆时针旋转，
，
，，
，
，
；
（2）如图，即为所求作的线段的垂直平分线，．理由如下：
连接，将△绕点顺时针旋转至△，连接，
则，，，
，
，
点，，，共线，
，
，
延长交于点，作于点，于点，连接，
，
四边形是矩形，
，
，是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
△△，
，
△△，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即．
28．在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长．
（1）如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为 3 ；
（2）已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为 ；
（3）已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为6，直接写出的取值范围．
解：（1）过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长，
，，
设为，为，
将点，点分别代入上面两个式子，即，，
，，
为，为，
将分别代入上面两个式子，即，，
点和，
，
线段 关于直线的纵影长为3，
故答案为：3；
（2）是一条过点旋转的直线，
如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或，
将，代入，
得：，
解得，
根据纵影长的定义可知，，
将，代入，
得：，
解得，
根据纵影长的定义可知，，
综上所述，或，
故答案为：或3；
（3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，，
当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为6时，，
如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于，
设，
与平行；
，
，
与平行，
△△，
，
，
则，
，即点的横坐标为，
当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为，令与重合，的纵坐标为4，
当点的横坐标为时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为，
此时点的运动轨迹如图所示，
如图，当，位于点同侧时，设，
当在第一象限，设过点分别与直线和直线平行的直线为，，
代入得，
则，
故，，
令，得，，，
，
，即在直线上运动，
，
，
同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如图，
整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点，
当刚好与轨迹相切时，，
当过点时，，
综上，．
等级
不及格
及格
良好
优秀
数据
学生人数
3
12
24
21
工作编号
时间
7
15
9
10
5
1
7
2
中位数
众数
方差
实践操作测试成绩
甲
10
1.84
84
乙
8.5
87
行驶速度
20
40
60
80
100
120
款车百公里能耗
10.2
8.6
8.7
10.4
13.6
18.5
款车百公里能耗
10.7
9.5
9.4
10.3
12.2
15.2
黑
白
黑
（黑，黑）
（黑，白）
白
（白，黑）
（白，白）
等级
不及格
及格
良好
优秀
数据
学生人数
3
12
24
21
工作编号
时间
7
15
9
10
5
1
7
2
中位数
众数
方差
实践操作测试成绩
甲
10
1.84
84
乙
8.5
87
行驶速度
20
40
60
80
100
120
款车百公里能耗
10.2
8.6
8.7
10.4
13.6
18.5
款车百公里能耗
10.7
9.5
9.4
10.3
12.2
15.2