2026年北京市朝阳区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2026年北京市朝阳区中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．传统建筑中的窗格不仅具有实用功能，更承载着深厚的文化寓意与审美价值，下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若一个六边形的每个外角都是，则的值为（ ）
A．30B．60C．80D．120
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
5．不透明的袋子中装有3个红球，5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．2025年我国外贸进出口总额达亿元，其中出口总额亿元，增长了，进口总额亿元，增长了．2025年我国贸易顺差（顺差出口总额进口总额）用科学记数法表示为（ ）
A．亿元B．亿元
C．亿元D．亿元
7．如图，是内部一点．若以为圆心，长为半径画弧，分别与射线，交于点，（点，均不与点重合），连接，，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象存在两个交点，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论：
①一定大于；
②可能等于；
③△的面积可能小于△的面积；
④△的面积一定等于△的面积．
上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10．分解因式： ．
11．方程的解为 ．
12．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 ， ．
13．某集团校有20000名学生．为了解这些学生单次使用电子屏幕时长的分布情况，从中随机抽取了1000名学生，获得他们单次使用电子屏幕时长的数据（单位：，数据整理如下：
根据以上信息，估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过的人数为 ．
14．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如表所示：
研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为，为常数，且．当温度为时，声音传播的速度为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将△沿直线翻折，得到△．若点恰好落在轴上，则△的面积为 ．
16．某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分，该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分．
（1）积分最低的球队负 场；
（2）积分排名第三的球队最低积 分．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在△中，点在边上，，过点作的平行线，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，，求的长．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围．
22．某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著8本，乙种名著3本，共支付300元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价．
23．某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段．
（1）第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息．
．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图：
．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18．
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为 ；
② 18；（填“”“ ”或“”
（2）七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下：
①表中的值为 ；
②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为 ．
24．如图，在△中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）过点作，交的延长线于点，交于点，若，，求的长．
25．小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下：
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示：
（1）表中的值为 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线；
（3）根据以上信息，解决下列问题：
①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案 ；（填写“一”“二”或“三”
②可以推断，从第 天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和．
26．在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
（1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2）若对于，，总有，同号，且，求的取值范围．
27．如图，在△中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点．
（1）根据题意补全图形，并证明；
（2）过点作直线的垂线，垂足为，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为．
（1）如图，．
①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为 ；
②点，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围；
（2）已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。
1．传统建筑中的窗格不仅具有实用功能，更承载着深厚的文化寓意与审美价值，下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：．
2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：，，数轴上右边的数大于左边的数，在的右边，，本项错误；
，，两数相加，符号由绝对值较大的数决定，离原点远，，，，本项错误；
，，两数相乘，同号为正，异号为负，，，，本项错误；
，，绝对值指表示的数与原点的距离，离原点越远，绝对值越大，本项正确，符合题意，
故选：．
3．若一个六边形的每个外角都是，则的值为（ ）
A．30B．60C．80D．120
解：根据题意得，
即，
故选：．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，即△，
解得．
故选：．
5．不透明的袋子中装有3个红球，5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：总球数为个，红球有3个，
用红球的个数除以球的总个数可得：摸出红球的概率为，
故选：．
6．2025年我国外贸进出口总额达亿元，其中出口总额亿元，增长了，进口总额亿元，增长了．2025年我国贸易顺差（顺差出口总额进口总额）用科学记数法表示为（ ）
A．亿元B．亿元
C．亿元D．亿元
解：由题意得，
（亿元），
故选：．
7．如图，是内部一点．若以为圆心，长为半径画弧，分别与射线，交于点，（点，均不与点重合），连接，，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
解：如图，，
．
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象存在两个交点，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论：
①一定大于；
②可能等于；
③△的面积可能小于△的面积；
④△的面积一定等于△的面积．
上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
解：由得，
．
因为两个函数图象有两个交点，
所以，
解得．
又因为，
所以．
设点，，点，，
则，．
一次函数与轴交于点，与轴交于点．
因为，
，
当时，方程为，
此时，，
则，
所以．
故①错误；
若，
则，
即，
整理得，．
因为，
所以，
则（舍负），
所以，
解得，
所以当时，，
即可能等于．
故②正确；
因为，
，
则由得，
，
因为，
所以，
则，
所以当时，△的面积小于△的面积，
即△的面积可能小于△的面积．
故③正确；
由上述过程可知，
，．
因为，
所以，
所以．
故④正确．
故选：．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
10．分解因式： ．
解：．
故答案为：．
11．方程的解为 ．
解：方程两边同时乘以得：
，
解得，
检验：时，，
方程的解为．
故答案为：．
12．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 ， ．
解：当，时，，而，
说明命题“若，则”是假命题，
故答案为：；（答案不唯一）．
13．某集团校有20000名学生．为了解这些学生单次使用电子屏幕时长的分布情况，从中随机抽取了1000名学生，获得他们单次使用电子屏幕时长的数据（单位：，数据整理如下：
根据以上信息，估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过的人数为 13000 ．
解：由表格可得，抽取的1000名学生中，单次使用电子屏幕时长不超过的人数为650，
该组数据的频率为，
估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过的人数为，
故答案为：13000．
14．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如表所示：
研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为，为常数，且．当温度为时，声音传播的速度为 340 ．
解：将，和，分别代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为，
当时，，
当温度为时，声音传播的速度为．
故答案为：340．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将△沿直线翻折，得到△．若点恰好落在轴上，则△的面积为 ．
解：点的坐标为，四边形是正方形，
点的坐标为，，
，，
，
由折叠可知，
，
，，
设，则有，由折叠可知，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
16．某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分，该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分．
（1）积分最低的球队负 3 场；
（2）积分排名第三的球队最低积 分．
解：每两支参赛球队均要比赛一场，每支球队共比赛 场．
（1）已知积分最低的球队积1分，根据积分规则，1分只能是，即该队0胜1平3负，因此负场数为3，
故答案为：3；
（2）设五支球队按积分从高到低为，，，，，其中积1分，要使积分最低，需让，积分尽可能高．
安排四战全胜，积分；负于，战胜，，，积分，满足积分不同．
再安排比赛结果：负于，，，平，得1分，符合要求；负于，，平，，得分；负于，，平，胜，得分．
此时积分排序为12，9，4，2，1，所有积分均不同，符合题意．若积3分，则第四位只能是2分，无论如何安排，都会出现积分重复或第三名为更高积分的球队，因此最低积4分，
故答案为：4．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
17．计算：．
解：原式
．
18．解不等式组：．
解：由得，
，
由得，
，
所以不等式组的解集为．
19．已知，求代数式的值．
解：，
，
．
20．如图，在△中，点在边上，，过点作的平行线，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于，
四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围．
解：（1）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
，
解得，
，；
（2）由（1）可知，一次函数的解析式为，
一次函数过点，
如图：
当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于0，
，
①，
，
当，即，则，无法满足，舍去；
当，即，则恒成立；
当，即，则，要对恒成立，需，
解得，
综上，；
②，
，
当时，，无法满足，舍去；
当时，，需要对恒成立，
，
解得；
的取值范围为：．
22．某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著8本，乙种名著3本，共支付300元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价．
解：设甲种名著的单价是元，乙种名著的单价是元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种名著的单价是24元，乙种名著的单价是36元．
23．某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段．
（1）第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息．
．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图：
．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18．
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为 89.5 ；
② 18；（填“”“ ”或“”
（2）七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下：
①表中的值为 ；
②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为 ．
解：（1）①七年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数，
故答案为：89.5；
②由折线统计图可知，七年级比赛成绩的波动比八年级小，即七年级比赛成绩的方差小于八年级的方差，即，
故答案为：；
（2）①，
故答案为：94；
②这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，
，
即，
解得，
为整数，
或96或97，
当或97时，学生的方差均大于学生的方差，故96或97均符合题意；
当时，，的平均数相同，但的方差比大，所以95不符合题意．
故答案为：96，97．
24．如图，在△中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）过点作，交的延长线于点，交于点，若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：过作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，设，
，
，
，
，，
，
△△，
，
，
，
．
25．小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下：
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示：
（1）表中的值为 6 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线；
（3）根据以上信息，解决下列问题：
①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案 ；（填写“一”“二”或“三”
②可以推断，从第 天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和．
解：（1）由图象可得，是关于的一次函数，
设解析式为，
当，，，，
，
解得，
，
当时，，
故答案为：6；
（2）如图，曲线即为所求；
（3）①前4天方案一的投资总回报：（元；
前4天方案二的投资总回报：（元；
前4天方案三的投资总回报：（元，
因为，
故选方案一，
故答案为：一；
②第八天，方案二的投资总回报为（元，
方案一的投资总回报为：（元；
则方案一、方案二的投资总回报为（元；
方案三的投资总回报为（元，
此时；
第九天方案二的投资总回报为（元，
方案一的投资总回报为：（元；
则第九天方案一、方案二的投资总回报为（元；
对于方案三的数据，可发现后一天的数据大概是前一天数据的两倍，则第九天投资回报约为177.4元，
那么第九天方案三的投资总回报约为（元，
因为，
故第九天开始选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和．
故答案为：9．
26．在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
（1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2）若对于，，总有，同号，且，求的取值范围．
解：（1）抛物线的对称轴为直线；
（2），，
，
，抛物线过点和点，
①当时，如图1所示，
，，同号，
，
，
的对称点横坐标为，且，
，即，
故；
②当时，如图2所示，
，，同号，
，
，即，
又的对称点横坐标为，且，
，即，
，
故，
综上，的取值范围为且．
27．如图，在△中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点．
（1）根据题意补全图形，并证明；
（2）过点作直线的垂线，垂足为，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．
解：（1）图形如图所示：
理由：，，
，
；
（2）结论：．
理由：如图，过点作于点．
，，，
△△，
，，
，
，
，，
，
，，
，
△△，
，，
，
，，，
△△，
，
，
．
28．在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为．
（1）如图，．
①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为， ；
②点，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围；
（2）已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值．
解：（1）①逆向思维，将绕顺时针旋转得到，其中，
若线段与有交点，即为点的旋转线段，
显然与符合题意．
故答案为：，；
②如图，
若与有交点，找到临界位置即可，分别为在上与在上．
当在上时，
则，
解得或；
当在上时，或2，
或．
（2）轴，中点为，且，
，，
当绕点逆时针旋转，其中点对应点为，
，，
若与有交点，则或，
即或，
与横向距离都是3，
只需要比较其纵向距离即可判断与长度大小．
过点作，则，
当，
若时，即，
此时到，距离相同，
此时有；
当，此时，此时；
当时，有．
综上，或，的最大值为．
分组
人数
650
157
101
63
29
温度
0
10
20
声音传播的速度
331
337
343
年级
学生
基础知识
结构搭建
编程控制
综合应用
平均数
方差
七年级
91
93
96
95
93.75
3.6875
92
92
92
97
93.25
4.6875
96
92
88
八年级
98
90
92
96
10
95
92
93
95
93.75
1.6875
94
91
91
95
92.75
3.1875
1
2
3
4
5
6
7
8
10
10
10
10
10
10
10
10
1
11
16
21
26
31
36
0.5
1.1
2.4
5.1
10.6
21.7
44
88.7
分组
人数
650
157
101
63
29
温度
0
10
20
声音传播的速度
331
337
343
年级
学生
基础知识
结构搭建
编程控制
综合应用
平均数
方差
七年级
91
93
96
95
93.75
3.6875
92
92
92
97
93.25
4.6875
96
92
88
八年级
98
90
92
96
10
95
92
93
95
93.75
1.6875
94
91
91
95
92.75
3.1875
1
2
3
4
5
6
7
8
10
10
10
10
10
10
10
10
1
11
16
21
26
31
36
0.5
1.1
2.4
5.1
10.6
21.7
44
88.7