湖北省黄冈中学2026届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省黄冈中学2026届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A=xy=lg2x+1，B={xx+2x−3>0}，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ）
A．40B．39C．36D．35
4．已知，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．函数fx=Atanωx+φω>0,φ−1}，集合或，
故A∪B={x|x>−1或，即−∞,−2∪−1,+∞．
2．D
【详解】因为，
所以，
所以，
所以.
3．D
【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16，
因为，所以第60百分位数为19，
所以众数与第60百分位数之和为.
4．C
【详解】因为，
所以，则，
则，
因为，所以，即向量的夹角为.
5．A
【详解】由函数的图象，可得，解得，
又由f5π12=Atan2×5π12+φ=0，即tan5π6+φ=0，可得φ=−5π6+kπ,k∈Z，
因为，可得，所以fx=Atan2x+π6，
又因为f0=Atanπ6=1，即，可得.
6．B
【详解】由题可得，则，从而.
又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为，
由抛物线定义可得，则，
从而.
7．B
【详解】连接NE，设圆的半径为，，则，，
依题意，，，，
，所以，
所以，即，，
又，
所以，故．
8．D
【详解】函数的定义域为，
可得，
令，，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，即，所以在上单调递减，
当时，，即，所以在上单调递增，
，
又，，所以，
所以，令，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为.
9．BC
【详解】对于A，因为，，，所以，
当且仅当时取等号，即，所以，所以A不正确；
对于B，因为，
当且仅当时取等号，所以B正确；
对于C，因为，所以，
当且仅当时取等号，所以C正确；
对于D，因为，，且，所以，
又因为，可得，所以D不正确.
10．BCD
【详解】设双曲线的焦距为，则，所以.
所以.
所以C的渐近线方程为，所以A错误；
若，则，所以，所以的面积为，所以B正确；
若l与x轴交于点，则，
又，所以，所以C正确；
若l的斜率为2，则点在第一象限，设.
由，得当时，，
.
令，得.
所以，即.
又，所以，所以为直角三角形，所以D正确.
11．ABD
【详解】对于A，因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，又，
所以四边形为平行四边形，则，正确.
对于B，因为，，
故四边形为等腰梯形.
如图，过点F作，垂足为O，连接，
又，，所以，
又，所以FO=AF2−AO2=1.
取的中点Q，连接，
因为，，
所以，，，
又AO//QC，
所以四边形为矩形，
所以OC=AQ=2，
又，所以FO2+OC2=FC2，
故，又，，
所以平面，
又平面，所以平面平面，故正确.
对于C，如图，设截面与棱交于点M，连接，，因为，平面，平面，所以平面，又平面平面CDFE=PM，
所以，
又，所以，
所以截面是梯形.因为四边形为平行四边形，
所以.又，
所以当，之间的距离最小时，梯形的面积最小.
显然，，之间的最小距离等于直线到平面的距离，
也就是点O到平面的距离.
过点O作，垂足为H，
由B知，，又，
所以平面，则平面，
所以，又，，
所以平面.所以点O到平面的距离等于，
在中，OH=OC×OFFC=2×15=255.
所以截面面积的最小值为，故错误.
对于D，由B可知，故由正弦定理可得，
外接圆的半径r=AC2sin∠ADC=54.
因为，
所以外接圆的圆心在上，且AO1=54.
如上图，以点O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，.
易知三棱锥外接球的球心T在过点且与底面垂直的直线上，
故可设T的坐标为，
因为A，F均在球T的球面上，
所以，
得，
所以三棱锥外接球的半径，
故三棱锥外接球的表面积为，故正确.
12．
【详解】由且，则，即，
则对于，有，
有，
故的展开式中的系数的值为.
故答案为：.
13．/
【详解】由知定义域为，则，
此时曲线在点处的切线斜率为：，
又圆的圆心与点所在直线的斜率为：，
所以圆在点处的切线斜率为：，
由题意知，①
又在圆上所以：，②
将①代入②中得：，
化简得：，解得：或（舍去），
又由题意知，所以，此时，所以，
将代入中有：，解得：.
14．
【详解】由题知，，
其中，因为，所以，即，
又由基本不等式可得：，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，且时取等号，
因为，所以.此时，
所以，
所以，
解得，因为，
所以，又因为，
所以.
故答案为：
15．(1)，；
(2)
【详解】（1）设的公比为q，由题可得，又，所以，
又，所以，，
所以，；
（2）由（1）得，
所以
16．(1)证明见解析；
(2)或.
【详解】（1）在斜三棱柱中，连接，由为的中点，得，
又，则，而平面，则直线两两垂直，
如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，得，
又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形.
（2）由（1）得，，
则，
设，
，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，
则
，
即，解得或，
所以的值为或.
17．(1)
(2)的分布列为：
数学期望为.
(3)
【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．
甲获胜时，概率为；
甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为；
因此甲得分的概率为.
（2）甲的总得分的可能取值为，
；​
对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜：
；​
对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜：
；​
对应乙或获胜，.​
的分布列为：
数学期望为.
（3）由定义，
代入得
由基本不等式，当且仅当即时取等号.
因此 ，即的最大值为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，所以
又椭圆经过点，代入椭圆方程得，化简得即，整理得，解得（舍去负根）所以
所以椭圆的标准方程为
（2）设，因为不过，所以
设
，化简得
因为直线，的斜率成等差数列，所以即
又,，所以，
整理得
将代入化简得
整理得
即
解得（舍去）
所以，代入得，整理得解得或，
故的取值范围为
（3）设
解得，
故
所以
设，则，其斜率为
又，所以
因为在椭圆上，所以解得
不妨令则，
所以点到直线 的距离
所以面积
化简得
令，
则
，当且仅当时取等号，
所以
即面积的最大值为
19．(1)
(2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在、上单调递增；当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，在、上单调递增.
(3)证明见解析
【详解】（1），
当时，，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，的最小值为.
（2），
当时，则对任意的恒成立，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，则或，
①当时，即时，
由可得或，由可得，
所以函数在上单调递减，在、上单调递增；
②当时，即时，对任意的，，
此时在上单调递增；
③当时，即时，
由可得或，由可得，
此时在上单调递减，在、上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在、上单调递增；
当时，则在上单调递增；
当时，则在上单调递减，在、上单调递增.
（3）由题意可知，由（2）可知，当时，
函数的极小值为，此时，
因为，则，此时，等式不成立；
当时，函数的极小值为，此时，
因为，则，则，
由不等式的性质可得，等式不成立；
当时，函数在上单调递增，函数无极值；
当时，函数的极小值为，
可得，令，则，且，则，
先证明不等式，其中，
即证，
令，，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
设，即，所以，
上述两个等式相除得，
所以，所以，则，
即，可得，
由基本不等式可得，故原不等式得证.​
​