2025届罗平县高三冲刺模拟数学试卷含解析

这是一份2025届罗平县高三冲刺模拟数学试卷含解析，共42页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知向量，，已知等差数列中，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
2．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知等差数列中，则（ ）
A．10B．16C．20D．24
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
9．定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A．240，18B．200，20
C．240，20D．200，18
11．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数一个递增区间为
C．函数的图像关于直线对称
D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若四棱锥的侧面内有一动点Q，已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为时，k的值为______.
14．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
15．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.
16．若，则的展开式中含的项的系数为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
18．（12分）新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：
（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；
（2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
附：.
（3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.
19．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.
20．（12分）已知函数
（1）若，不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
21．（12分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．
（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？
（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.
22．（10分）已知命题：，；命题：函数无零点.
（1）若为假，求实数的取值范围；
（2）若为假，为真，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
【详解】
对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;
对于选项C,当时, ,可判断C错误;
对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;
故选:A.
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
2．D
【解析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论．
【详解】
执行该程序可得．
故选：D．
本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．
3．B
【解析】
求得的导函数，由此构造函数，根据题意可知在上有变号零点.由此令，利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围.
【详解】
，
设，
要使在区间上不是单调函数，
即在上有变号零点，令，
则，
令，则问题即在上有零点，由于在上递增，所以的取值范围是.
故选：B
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
4．A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
5．C
【解析】
根据等差数列性质得到，再计算得到答案.
【详解】
已知等差数列中，
故答案选C
本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.
6．B
【解析】
由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有，
即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解
【详解】
如图，因为，所以.因为所以.
在中，，即，
得，则.在中，由得.
故选：B
本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题
7．C
【解析】
试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．
考点：函数的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．
8．B
【解析】
由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解
【详解】
双曲线的一条渐近线与直线垂直．
∴双曲线的渐近线方程为．
，得．
则离心率．
故选：B
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
9．A
【解析】
根据偶函数的性质和单调性即可判断.
【详解】
解：对，，且，有
在上递增
因为定义在上的偶函数
所以在上递减
又因为，，
所以
故选：A
考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.
10．A
【解析】
利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．
【详解】
样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，
∴抽取的户主对四居室满意的人数为：
故选A．
本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．
11．D
【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
12．B
【解析】
化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.
【详解】
，
故函数的定义域为，故错误；
当时，，函数单调递增，故正确；
当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.
平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.
故选：.
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
二面角平面角为，点Q到底面的距离为，点Q到定直线得距离为d，则.再由点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得，由此可得，则由可求k值.
【详解】
解：如图，
设二面角平面角为，点Q到底面的距离为，
点Q到定直线的距离为d，则，即.
∵点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，
∴，则，
∵动点Q的轨迹是抛物线，
∴，即则.
∴二面角的平面角的余弦值为
解得：（）.
故答案为：.
本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.
14．
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则
一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，
其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；
所以所求的概率是．
考点：古典概型概率
15．
【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．
【详解】
解：如图，
直线过定点，，
而抛物线的焦点为，，
弦的中点到准线的距离为，
则弦的中点到直线的距离等于．
故答案为：．
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．
16．
【解析】
首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.
【详解】
，
根据二项式展开式通项：，
令，解得，
所以含的项的系数.
故答案为：
本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.
试题解析：
（1）证明：若，则当(),
所以，
即，
所以，
又由，，
得，，即，
所以，
故数列是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
， ①
当时，，即，得
， ②
当时，，即，得
， ③
②①，得 ，
③②，得 ，
解得．
代入①式，得．
此时()，
所以，是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得，
又，解得．
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，
即数列是等差数列.
18．（1）；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，.
【解析】
（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；
（2）根据数据列出列联表，求出的观测值，对照表格，即可得出结论；
（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.
【详解】
（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率，
中老年对新高考了解的概率.
（2）列联表如图所示
，
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.
（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，
则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0，1，2，
则；；
.
所以的分布列为
.
本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.
19．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为1.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】
（1）证明：取中点，连接，
因为四边形为菱形且.
所以，
因为，所以，
又，
所以平面，因为平面，
所以.
同理可证，
因为，
所以平面.
（2）解：由（1）得平面，
所以平面平面，平面平面.
所以点到直线的距离即为点到平面的距离.
过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，此时必过的中点，
因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为1.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.
则
所以
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则即
取，则，
，
所以，
所以面与面所成二面角的正弦值为.
本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.
20．（1）（2）
【解析】
（1）依题意可得，再用零点分段法分类讨论可得；
（2）依题意可得对恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为，得到不等式即可解得；
【详解】
解：（1）若，，则，即，
当时，原不等式等价于，解得
当时，原不等式等价于，解得，所以；
当时，原不等式等价于，解得；
综上，原不等式的解集为；
（2）即，得或，
由解得，
由解得，
要使得的解集为，则
解得，故的取值范围是.
本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．
21．（1）16；（2）115.
【解析】
(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.
(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个；
当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.
【详解】
解：（1）三个数乘积为有两种情况：“”,“”,
其中“”共有：种,
“”共有：种,
利用分类计数原理得：
为“﹣数列”中的任意三项,
则使得的取法有：种．
（2）与(1)同理,“”共有种,
“”共有种,
而在“﹣数列”中任取三项共有种,
根据古典概型有：,
再根据组合数的计算公式能得到：
,
时,应满足,
,共个,
时,
应满足,
视为常数,可解得,
,
根据可知,,
,
,
根据可知,,（否则）,
下设,
则由于为正整数知必为正整数,
,
,
化简上式关系式可以知道：,
均为偶数,
设,
则
,
由于中必存在偶数,
只需中存在数为的倍数即可,
,
．
检验： 符合题意,
共有个,
综上所述：共有个数对符合题意．
本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意
22．（1） （2）
【解析】
（1）为假,则为真，求导，利用导函数研究函数有零点条件得的取值范围；
（2）由为假，为真，知一真一假；分类讨论列不等式组可解.
【详解】
（1）依题意，为真，则无解，即无解；
令，则，
故当时，，单调递增，当，， 单调递减，
作出函数图象如下所示，
观察可知，，即；
（2）若为真，则，解得；
由为假，为真，知一真一假；
若真假，则实数满足，则；
若假真，则实数满足，无解；
综上所述，实数的取值范围为.
本题考查根据全(特)称命题的真假求参数的问题.
其思路：与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
年龄（岁）
频数
5
15
10
10
5
5
了解
4
12
6
5
2
1
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
中老年
总计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
22
8
30
老年
8
12
20
总计
30
20
50
0
1
2