30.1.2 圆的切线（课件）-2026-2027学年人教版(2024)数学九年级上册

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）30.1.2 圆的切线课前预习ppt课件，共51页。PPT课件主要包含了证法反证法，∴直线l⊥OA，几何符号表达，∴OEOD，∴OD⊥AB，第一步连接OA，能画1条，几何语言，垂直于，∴OBOC等内容，欢迎下载使用。
在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是______、______、______.
如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A ，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？用什么方法证明呢？
证明：假设AO与l不垂直，过点 O 作 OP⊥ l ，垂足为 P；
理由：直径AO与直线l 要么垂直，要么不垂直.
∴ OP＜OA，∴ l 与⊙O 相交，与已知条件相矛盾；∴假设不成立，故 AO 与 l 垂直.
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
圆的切线和圆只有一个公共点.圆心到切线的距离等于半径.圆的切线垂直于过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE = OD).
证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE ⊥AC 于 E.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 D，
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分∠BAC.
∴ 点 O 到 AC 的距离等于⊙O 的半径.
∴ AC 是⊙O 的切线．
∵ OD 是⊙O 的半径，
有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点 A 作直线 l⊥OA.
（1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
圆心O到直线l的距离d=半径r
（2）直线l和⊙O有什么位置关系？
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1.直线l 经过半径r的外端点A.
2.直线l 垂直于半径r.
判断下列命题是否正确.⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）⑶ 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线. （ ）⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.
(1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？能画几条？
第二步：过A点作OA的垂线l.即为圆的切线
(2)观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？
左图:直线l过半径的外端，但不与半径垂直，所以不是圆的切线。右图:直线l与半径垂直，但不过半径的外端，所以也不是圆的切线。
切线判定的两个关键点要判定一条直线是圆的切线，必须同时满足以下两个条件:1.直线经过半径的外端(与圆有公共点);2.直线与这条半径垂直。
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆的相切.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切.
如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE ⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线.
证明：连接 OD.∵AD 平分∠CAB，OA = OD，∴∠ODA =∠OAD =∠DAC.∴ OD∥AC.又∵ DE⊥AC ，∴∠ODF =∠AED = 90°， 即直线 DE 是⊙O 的切线.
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
发现：①PA=PB②PO平分∠APB
证明：如图，连接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB，OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB，∠APO=∠BPO
请证明你所发现的结论.
证明：连接OA、OB.∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点.∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP = ∠OBP = 90°.∵ OA = OB，OP = OP，∴ Rt△PAO≌Rt△PBO (HL).∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.求证：△PAO≌△PBO，PA = PB，∠APO =∠BPO.
试用文字语言叙述你所发现的结论.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
切线长定理运用的基本模型：（1）分别连接圆心和切点（2）连接两切点（3）连接圆心和圆外一点
切线的性质：1.圆的切线和圆只有一个公共点.2.圆心到切线的距离等于半径.3.圆的切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.(1) 求∠P 的大小；(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号).
解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ PA⊥AB. ∵∠BAC = 30°，∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C，∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形.∴∠P = 60°.
∴∠BAP = 90°.
1.切线的性质：(1)切线和圆只有____个公共点；(2)切线到圆心的距离等于______；(3)圆的切线________过切点的半径．
2.切线的判定定理：经过半径的____并且______这条半径的直线是圆的切线．3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常是连接______和______，得到半径，那么半径________切线．
4.过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和______之间的线段长，叫作这点到圆的切线长．5.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____，并且这一点和圆心的连线____两条切线的夹角．
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E .∴∠OEC=90°. ∵ AB是⊙O的切线, ∴∠ODB=90 ° =∠OEC. ∵AB=AC , ∵O是BC的中点，∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE .
方法二：证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, 又∵△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点， ∴AO平分∠BAC,∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.∴AC是⊙O的切线.
方法总结：无交点，作垂直，证半径.
如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵⊙O与PA相切于点C，
又∵点O在∠APB的平分线上，
∴直线PB与⊙O相切．
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
∴∠DAC＝∠CAO.
∴∠ACO＝∠CAD.
∴∠ACO＝∠OAC.
1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB.求证：AC是⊙O的切线.
证明：∵ AC=AB，∴∠C=∠ABC=45°，∴∠CAB=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线
2. 如图, AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A,B是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.
解： l1 ∥ l2.证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，∴ AB⊥l1 ，∴ l1∥l2.
3.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点，求证：AP＝BP.
证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP(垂径定理).
4．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是 (　　)A．相离　　　　B．相切　　　　C．相交　　　　D．不能确定
5．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于____时，AC才能成为⊙O的切线．
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝____．
证切线常作辅助线：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线常作辅助线：见切线，连切点，得垂直.
→提供了证线段和角相等的新方法
①分别连接圆心和切线；②连接两切点；③连接圆心和圆外一点.
1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若∠BAC = 35°，则∠ACB 的大小是 ( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13, AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 .