2026年湖南怀化市高三5月考前自测数学试题（附答案解析）

这是一份2026年湖南怀化市高三5月考前自测数学试题（附答案解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
3．在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，若有唯一解，则实数的值是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
5．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（ ）
A．B．
C．D．
6．设等差数列的前n项和为，已知，，则满足的n的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．已知函数在区间上单调递增，直线为的图象的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1
C．已知 关于的线性回归方程为，则样本点的残差绝对值为1.6
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点到渐近线的距离等于
B．内切圆的圆心在直线上
C．为定值
D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6
11．已知函数（），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的图象在点处的切线方程为
B．恒成立
C．若恒成立，则
D．若有两个不同的零点，，且，则a的取值范围为
三、填空题
12．已知正数，，均不等于1，且，，则________．
13．已知，，则__________．
14．将一个正n边形的顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成n个三角形区域并按1～n编号，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色．若有3种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种数为，则__________．
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，底面，点F在棱上，且，E为的中点，D为的中点，G在线段上，且．
(1)求证：平面；
(2)若为等边三角形，且，求平面和平面夹角的余弦值．
16．已知椭圆C：（）的过焦点且垂直于长轴的弦长为，短轴长为2．
(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，若P，Q，M为椭圆上的点，且圆M与直线，相切，当直线，的斜率均存在且时，求圆M的半径．
17．在中，已知sinA−sinB2=sin2C−sinAsinB．
(1)求C．
(2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）设（），记AMAD=gt，求的最小值．
18．已知函数，其中、为常数，，且的图象在处的切线方程为．
(1)求、的值；
(2)若存在、满足，求证：；
(3)设函数，结合的取值范围讨论的零点个数．
19．小明同学设计了一个游戏：有三枚硬币，其中一枚硬币为正常硬币（有正面与反面），一枚为“全正”硬币（两面均为正面），一枚为“全反”硬币（两面均为反面），现将这三枚硬币分别装入三个外观相同的箱子中（每个箱子中装一个）．
游戏规则如下：玩家每局从中随机选取一个箱子后打开观察其中硬币（不可翻转硬币），观察完后有一次更换所选箱子的机会（可以不更换），若玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币，则玩家该局获胜．
(1)若将所选箱子打开后发现其中硬币为正面朝上，求该硬币为正常硬币的概率．
(2)现玩家针对游戏规则制定如下策略：若所选箱子中硬币为“正面朝上”，则不更换选择；若所选箱子中硬币为“反面朝上”，则在剩余两个箱子中任意选取一个作为最终选择，试探究该策略是否为最佳策略，若是，请说明理由；若不是，请写出你的最佳策略．
(3)若玩家按（2）中最佳策略独立进行（）局游戏，将获胜局数不少于局的概率记为，试比较与的大小．
《湖南怀化市2026届高三5月考前自测数学试题》参考答案
1．B
【分析】先化简集合，再由集合交集的定义可得.
【详解】由集合，所以，且，所以.
2．B
【详解】设复数，其中，，为的虚部。
∵ ，
∴ 该复数的虚部为0，即，解得，
即的虚部为。
3．D
【分析】利用作差法结合特殊值法逐项判断即可.
【详解】对于A选项，因为，
当且仅当时，等号成立，故，A中的不等式恒成立；
对于B选项，因为，
当且仅当，时，等号成立，故，B中的不等式恒成立；
对于C选项，因为，
当且仅当时，等号成立，C中的不等式恒成立；
对于D选项，当，时，，
当且仅当时，等号成立，
当，时，，D中的不等式不恒成立.
4．B
【分析】令，根据的单调性得到当时，有唯一解，从而得到当时，有唯一解.
【详解】令，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
又，
所以当时，有唯一解，此时，
所以当时，有唯一解.
所以实数的值是.
5．D
【详解】取的中点为，
则，，
因为，所以，
故点在以为球心，为半径的球面上，
所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆，
则6个圆的总周长为.

6．C
【分析】应用等差数列的下标和性质结合求和公式计算判断求解.
【详解】等差数列，由，可知，，
所以，，
不等式即，
因，不等式化为，整理得，解得，
因为为正整数，所以的最大值为4，
所以满足的n的最大值为4.
7．C
【分析】根据对称轴求出或，再根据单调性得到，分为和两种情况分别解方程即可求出答案.
【详解】因为直线为的图象的一条对称轴，
所以，即，
又，所以或.
当时，，当时，，
函数在上单调递增，
故在上单调递增，符合题意；
当时，，当时，，
函数在上不单调递增，
故在上不单调递增，不符合题意.
所以，，
当时，方程可化为，方程无解，
当时，方程可化为，
所以，
当时，，
所以或或，解得或或，
所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为.
8．B
【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值.
【详解】把代入，得，
所以点在抛物线里面，
圆的圆心记为，
因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点，
过点作抛物线准线的垂线垂足为，
则根据抛物线的定义得，
所以的最小值等于求的最小值，
当三点共线时最小，最小值为，
故的最小值为，
故选：B
9．ABD
【分析】由第百分位数的概念计算判断A；由相关系数的概念判断B；由残差的定义计算判断C；由平均数、方差的定义计算判断D.
【详解】对于A，因为，
所以数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5，故A正确；
对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B正确；
对于C，样本点的残差绝对值为，故C错误；
对于D，新样本数据的平均数为，方差为，故D正确.
10．ABC
【分析】根据题目条件可以求出焦点坐标与渐近线方程，对于A选项运用点到直线的距离公式求出结果；对于B选项运用双曲线的定义与切线长定理，求出内切圆与的坐标点，再运用内切圆的圆心在角平分线上求出结果；对于C选项，设点P的坐标，求出的长度，运用点P在双曲线上求出结果；对于D选项，取右顶点讨论.
【详解】对于A选项，由题意可知，
则渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离等于|−2⋅3−0|12+32=3，
同理到渐近线的距离为；
对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点，
根据切线长定理得
则|PF1|−|PF2|=|PD|+|DF1|−|PE|+|EF2|=|F1G|−|F2G|=2 ，
又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确；
对于C选项，设点，则，即，
点P到的距离|PM|=|3x0−y0|32+−12=|3x0−y0|2，
同理点P到的距离，
则PM⋅PN=|3x0−y0|2⋅|3x0+y0|2=|3x02−y02|4=|3x02−(3x02−3)|4=34，
故C选项正确；

对于D选项，当点P与右顶点重合时，PA=2