2025-2026学年重庆市渝中区巴蜀中学高一（下）期中数学试卷（1）

这是一份2025-2026学年重庆市渝中区巴蜀中学高一（下）期中数学试卷（1），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z+z•i=2（其中i为虚数单位），则=（ ）
A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i
2.棱台不具有的性质是（ ）
A. 两底面相似B. 侧面都是梯形
C. 侧棱延长后交于一点D. 侧棱长都相等
3.已知向量，若，则λ=（ ）
A. -2B. 1C. 2D. -3
4.下列说法中正确的是（ ）
A. 分别在两个平面内的直线是平行直线或异面直线
B. 一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交
C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
5.如图，梯形ABCD中，，现将该梯形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C. 4π
D.
6.在△ABC中，a,b,c分别是内角A，B，C的对边，若，且，则△ABC的形状是（ ）
A. 等边三角形B. 等腰直角三角形
C. 有一个角是30°的直角三角形D. 有一个角是30°的等腰三角形
7.图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为（ ）
A. B. C. 32πD. 16π
8.如图，在△ABC中，，D为AB中点，，若，则的最小值是（ ）
A. 4
B. 2
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. i+i2+i3+i4=0
B. 若z=a+bi（a、b∈R），则是z为纯虚数的充要条件
C.
D. 若|z|=2，则|z+i|的最大值为3
10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为棱C1D1中点，点N是棱CC1上的一个动点（不包括端点），平面BND1交棱AA1于点M，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线AG与BN是异面直线
B. 存在点M，使得∠D1MB为直角
C. 若点N是棱CC1上的中点，则直线GN与A1C1所成的角为60°
D. 平面AB1C⊥平面BND1M
11.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，则下列说法正确的是（ ）
A. 60°＜A＜90°
B. 若b=2，c=3，则满足条件的△ABC有且仅有1个
C. sinA+sinB的取值范围为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.= .
13.已知，是非零向量，，且与的夹角为，若，则在方向上的投影向量的坐标为 .
14.在四棱锥P-ABCD中，，过DC的平面去截原四棱锥得到体积相等的两个部分，且该平面交PB于点F，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量是同一平面内的三个向量，向量，
（1）求向量与的夹角θ的余弦值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围.
16.(本小题15分)
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AD=DC=2，AB=CP=4，点E在直线PB上.
（1）求证：平面ACE⊥平面PBC；
（2）在直线PB上找一点F，使得PD∥平面ACF，并求BF的长.
17.(本小题15分)
巴蜀中学高2028届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形ABCD的展区（如图），已知CD=DA=20米，BC=30米.
（1）若，，求cs∠BAC的值；
（2）若AB=10米，四边形ABCD的面积为100平方米，求cs（B+D）的值.
18.(本小题17分)
在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，BC=3，2BF=ED=AB=4，FB∥ED，ED⊥平面ABCD，
（1）求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角E-AC-F的正切值；
（3）求三棱锥F-ACE的体积.
19.(本小题17分)
定义：对于非零向量，若函数f（x）=psinx+qcsx,则称f（x）为向量的“互助函数”，向量为函数f（x）的“互助向量”.
（1）已知，若函数f（x）=sin（x+θ）的“互助向量”为，求的最大值；
（2）向量为函数f（x）=psinx+qcsx的“互助向量”，△ABC的一条边AB长度等于f（x）的最大值，AB边上的高等于tanC，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，求这三个半圆围成的平面区域上任意两点间距离的最大值；
（3）若函数g（x）为向量的“互助函数”，α，.判断g（α），g（β），sin（α+β）能否作为△ABC三边长？若能，给出证明；若不能，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】．
13.【答案】．
14.【答案】．
15.【答案】解：（1）向量是同一平面内的三个向量，
因为向量，
所以根据平面向量的坐标运算可得，
根据向量的模长公式和平面向量数量积的坐标运算可得：
，，
根据两向量的夹角公式可得；
（2）因为向量，
所以根据平面向量的坐标运算可得，
因为与的夹角为锐角，
所以且两向量不同向，
根据平面向量数量积的坐标运算可得7×（1-3k）+4×（-2-2k）＞0，解得，
又因为当时，由7×（-2-2k）-4×（1-3k）=0，解得k=-9，
综上，实数k的取值范围是．

16.【答案】证明：因为四边形ABCD是直角梯形，CD⊥AD，AD=DC=2，AB=4，
所以，所以AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC，
又PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PC⊥AC，且PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC，
所以AC⊥平面PBC，
又AC⊂平面ACE，
所以平面ACE⊥平面PBC
17.【答案】解：（1）在△ADC中，因为CD=DA=20，，
所以，
在△ABC中，由正弦定理得，可得，
根据BC＜AC，可得，所以；
（2）在△ABC、△ACD中，
由余弦定理得AC2=CB2+AB2-2CB•AB•csB=302+102-2×30×10csB=1000-600csB，
AC2=CD2+AD2-2CD•AD•csD=202+202-2×20×20csD=800-800csD，
化简得800-800csD=1000-600csB，即3csB-4csD=1，
因为S△ADC+S△ABC=100，
所以=
=200sinD+150sinB=100，整理得4sinD+3sinB=2，
所以（3csB-4csD）2+（4sinD+3sinB）2=5，
整理得25-24csBcsD+24sinDsinB=25-24cs（B+D）=5，解得．

18.【答案】 12
19.【答案】 能，证明如下：
因为函数g（x）为向量的“互助函数”，所以g（x）=sinx+csx，
令a=g（α）=sinα+csα，b=g（β）=sinβ+csβ，c=sin（α+β）=sinαcsβ+sinβcsα，
因为，
所以sinα，csα，sinβ，csβ∈（0，1），
a+b=sinα+csα+sinβ+csβ＞sinα+csα＞sinαcsβ+sinβcsα=sin（α+β）=c；
＞
=
=sinα+csα
=，
又，
所以，
即，故a+c＞b；同理可证得：b+c＞a，
即任意两边之和大于第三边，所以g（α），g（β），sin（α+β）能作为△ABC三边长