2025-2026学年重庆市第一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年重庆市第一中学高一（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
2.已知空间中两条不同的直线m,n,两个不同的平面α，β，以下可以得到m∥β的是（ ）
A. m∥n,n⊂βB. m⊂α，n⊂β，m∥n
C. 直线m上有两个不同的点到β的距离相等D. α∥β，m⊂α
3.两个非零向量满足，且，则在方向上投影向量的模为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
4.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，空间中一点P∈平面A1DB，实数x满足，则实数x=（ ）
A. B. C. D.
5.一个圆锥的母线长为且轴截面为正三角形，一个平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，其中圆台的高为（ ）
A. B. C. D.
6.已知复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1-z2|，则“z2为实数”是“z1为纯虚数”的（ ）
A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
7.已知锐角三角形ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，不等式-c2+2ma≤1对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 不存在B. C. D.
8.已知棱长为正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面ABCD内有两个动点P，M满足：A1P，C1M与平面A1B1C1D1所成角的正切分别为与，则动点P，M轨迹围成图形的面积是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（ ）
A. 12B. C. 10D.
10.在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足（a2+b2-c2）（c2+b2-a2）≤0则以下叙述正确的是（ ）
A. 三角形ABC一定不是锐角三角形
B. 一定为负值
C. 若角C是锐角且a=2b,则
D. 若三角形ABC是直角三角形且A=2B，则
11.如图，空间中两个矩形ABCD和ABEF相互垂直，满足AF=8，AB=BC=6，P，M分别是线段AE，BD上的动点，以下正确的是（ ）
A. 若P，M为AE，BD的中点，则PM与BC所成角的正弦值为
B. 若，则PM∥平面BEC
C. 若，时，则PMCE为梯形
D. 若AP=DM，则三棱锥C-PBM体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足iz+|z|=4，则z= .
13.三棱台ABC-A1B1C1上下底面为正三角形，AC=2A1C1=2，侧面A1C1CA是底角为45°的等腰梯形，棱台的高为，则AB与平面ACC1A1所成角的正弦值为 .
14.已知直角三角形ABC的斜边BC=3，点E，F是边BC上的两个三等分点，则cs∠EAF的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且2acsC+c=2b.
（1）求角A的大小；
（2）若，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长.
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-DEF中，AB=AC=AD=1，AB⊥AC.
（1）求证：AF⊥CE；
（2）求二面角A-EF-C的正弦值.
17.(本小题15分)
某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域S1，S3分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域S2设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围（即△AMN的三边）设置木质护栏.在Rt△ABC中，，BC=400m,点M，N在斜边BC上，且.
（1）当BN=200m时，求木质护栏的长度；
（2）设∠NAB=θ，请用θ表示水景庭院的面积S2，并求S2的最小值.
18.(本小题17分)
任意一个复数z=a+bi（a,b∈R）都可以表示为三角形式z=r（csθ+isinθ），其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角.若复数z1，z2的三角形式分别为z1=r1（csθ1+isinθ1），z2=r2（csθ2+isinθ2），则乘积为：z1z2=r1r2（cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）），即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.其几何意义为：将复数z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋角θ2（当θ2＜0时，就把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再将其模变为原来的r2倍，得到向量表示的复数就是积z1z2.
（1）已知复数，请将ω1改写为三角形式，将ω2改写为代数形式；
（2）对于复平面内任意两个复数z1，z2，证明；
（3）已知△ABC的三个内角为A，B，C，且满足，已知该三角形的顶点A，B，C在复平面内对应的复数分别为z1，z2，z3，其外心O为原点，外接圆半径为R.若动点P在该外接圆上，对应复数为z,求的取值范围.（结果用R表示）
19.(本小题17分)
已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，SA⊥ABCD，且SA=AB=2.平面α与射线AD，SA，SC分别交于点P，Q，R，且满足.
（1）当时，平面α与棱CD交于点K.证明：K为CD中点；
（2）当时，求平面α截四棱锥S-ABCD所得截面的面积；
（3）记N为CD中点，若直线SB上始终存在动点M满足MN∥平面α.当a∈[0，1]变化时，求动点M的轨迹长度.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】ABC
11.【答案】BD
12.【答案】-2i．
13.【答案】．
14.【答案】．
15.【答案】解：（1）根据2acsC+c=2b,由余弦定理得，
去分母、整理可得b2+c2-a2=bc,
所以，结合A∈（0，π），可得；
（2）根据，
可得a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-bc=3，整理得b2+c2=bc+3，
△ABC的面积S=，解得bc=2，
所以b2+c2=bc+3=5，可得（b+c）2=b2+c2+2bc=9，即b+c=3，
故△ABC周长．

16.【答案】证明见解析
17.【答案】米 ，最小值为平方米
18.【答案】， 证明：对于任意复数z1，z2，有
=，
而，
故
19.【答案】证明：当时，由，
可得P是AD中点，Q是SA中点，R是SC中点，
在△SAC中，因为Q是SA中点，R是SC中点，
得QR∥AC，又QR⊂平面α，AC⊄平面α，
所以得AC∥平面α；底面ABCD∩平面α=PK（P∈AD，K∈CD，均在底面ABCD内），
且AC⊂平面ABCD，结合AC∥平面α，
得AC∥PK；在底面菱形ABCD中，AD=DC=2，P是AD中点，即，
在△ADC中，因为PK∥AC，
所以△DPK∽△DAC，
故，
代入，得，即，
因此K为CD的中点