广东东莞市东莞市寮步中学2025-2026学年 八年级 第二学期数学科期中考试 试卷

这是一份广东东莞市东莞市寮步中学2025-2026学年 八年级 第二学期数学科期中考试 试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．0.5B．4C．12D．21
2．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．3，4，6C．5，12，13D．6，8，15
3．下列运算正确的是（ ）
A．−32=−3B．12+3=15C．23+33=56D．12−3=3
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对边相等D．对角线相等
5．如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠DAE 的角度为( )
A．25°B．35°C．45°D．55°
6．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
7．已知四边形ABCD是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（ ）
A．AB=BCB．AC⊥BDC．AC平分∠BADD．AC=BD
8．如图，圆柱形玻璃容器高6cm，底面周长为24cm，在容器内壁距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（ ）cm．
A．12B．13C．65D．63
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A−3,0,B1,b，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．34B．25C．20D．16
10．如图，在△ABC中，D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE，垂足为E，连接DE．若AC=14，BC=20，则DE的长是（ ）
A．3B．6C．4D．5
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若二次根式2x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为 ．
13．如图，在△ABC中，点D是△ABC内一点，连接AD,BD,AD⊥BD．已知AD=4,BD=3,AC=13,BC=12，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OCD的周长为29，且AC+BD=36，则AB的长度为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E，F分别在边AB，AD上，且BE=AF，则EF的最小值是 ．
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16．计算：12−913+6×2．
17．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且BE=DF．求证：AE=CF．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
18．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF为平行四边形．
19．某居民小区有块矩形ABCD绿地，矩形绿地的长BC为83m，宽AB为98m，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为13+1m，宽为13−1m．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
20．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形；
（2）若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，DE∥AC，AB＝2AC＝2，则四边形ACDE的面积为 ．
22．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，静静在公园里游玩（如图），她发现，静止时秋千位于铅垂线BD上P点处，转轴B到地面的距离BD=3m．静静在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离AE=2m，将她从A处摆动后的坐标记为A'．
（1）当A'B⊥AB时，求A'到BD的距离；
（2）当静静秋千位于A'处时，她忽然发现一只小狗趴在D点位置，小狗高度0.4m，假设小狗不动，请问静静荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？
六、解答题（四）（本大题共2小题，第23题12分，第24题14分，共26分）
23．【操作感知】如图1，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM．∠DPM=60°，则∠MBC的大小为______度．
【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
（1）判断△MBQ与△CBQ的关系并证明；
（2）若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为______．
24．【教材呈现】下面是人教版八年级下册P88的部分内容：
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形的外角的平分线CF于点F．求证：AE=EF（提示：取AB的中点G，连接EG）．
（1）请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明△______≌△______，从而可得AE=EF，请写出证明过程．
【类比探究】
（2）如图（1），若点E是BC边上任意一点（不与B,C重合），其他条件不变．求证：AE=EF；
【拓展探究】
（3）如图（2），四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，∠AEF=90∘，EF交正方形外角的平分线CF于点F．若AB=4，CE=1，直接写出EF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．0.5=12，被开方数含分母不是整数，不是最简二次根式，A不符合题意；
B．4=2能开得尽方，不是最简二次根式，B不符合题意；
C．12=23被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C不符合题意；
D．21，是最简二次根式，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
2．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、3，5不是整数，3，4，5不是勾股数，不符合题意；
B、32+42≠62，则3，4，6不是勾股数，不符合题意；
C、52+122=132，5，12，13是勾股数，符合题意；
D、6+80.4，
∴不会碰到小狗．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据角之间的关系可得∠2=∠3，再根据全等三角形判定定理可得△ACB≌△BFA'(AAS)，则A'F=BC，根据直线平行性质可得CD=AE=2m，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得BF=AC=2m，作A'H⊥DE，垂足为H，根据直线平行性质可得A'H=FD，再根据边之间的关系可得A'H，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图2，作A'F⊥BD，垂足为F，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；
在△ACB和△BFA'中，
∠ACB=∠A'FB∠2=∠3AB=A'B，
∴△ACB≌△BFA'(AAS)；
∴A'F=BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=2m；
∴BC=BD−CD=3−2=1(m)，
∴A'F=1(m).
即A'到BD的距离是1m．
（2）解：由（1）知：△ACB≌△BFA'
∴BF=AC=2m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H=FD，
∴A'H=BD−BF=3−2=1(m)，
∴A'B=22+12=5≈2.24m，
即A'到地面的最小距离PD=3−2.24=0.76>0.4，
∴不会碰到小狗．
23．【答案】【操作感知】：30；
【迁移探究】 （1）判断：△MBQ≌△CBQ，
证明：∵正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，
∴AB=BM=BC，∠A=∠BMP=∠BMQ=∠C=90°
在Rt△MBQ和Rt△CBQ中，
BQ=BQBM=BC，
∴Rt△MBQ≌Rt△CBQHL，
即△MBQ≌△CBQ；
（2）43
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：【操作感知】：由折叠知，∠APB=∠MPB，∠ABP=∠MBP，∠A=∠M=90°，
∵∠DPM=60°，
∴∠APB=∠MPB=（180°−∠DPM）÷2=60°，
∴∠ABP=∠MBP=30°，
∴∠MBC=90°−∠ABP−∠MBP=30°，
故答案为：30；
【迁移探究】（2）设CQ的长为x，
∵正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，
∴DQ=4−x，MQ=BQ2−BM2=BC2+CQ2−BM2=x，PM=AP=12×4=2，
在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2，
即2+x2=22+4−x2，
解得x=43，
故答案为：43．
【分析】【操作感知】：根据折叠性质可得∠APB=∠MPB，∠ABP=∠MBP，∠A=∠M=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
【迁移探究】（1） 根据折叠性质可得AB=BM=BC，∠A=∠BMP=∠BMQ=∠C=90°，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）设CQ的长为x，根据勾股定理看额的MQ，根据线段中点可得PM，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：△AGE≌△ECF，理由如下：
如图，取AB的中点G，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90∘，
∵G,E分别是AB,BC的中点，
∴BG=AG=12AB，BE=CE=12BC，
∴BG=BE，AG=CE，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=180°−∠BGE=135°，
∵CF是∠BCD的外角的平分线，且∠BCD=90∘，
∴∠DCF=45∘，
∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°=∠AGE，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠GAE=90°−∠AEB=∠CEF，
∴△AGE≌△ECFASA，
∴AE=EF．
（2）证明：如图，在AB上取点G，使BG=BE，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90∘，
∵BG=BE，
∴∠BGE=∠BEG=45°，AG=CE，
∴∠AGE=180°−∠BGE=135°，
∵CF是∠BCD的外角的平分线，且∠BCD=90∘，
∴∠DCF=45∘，
∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°=∠AGE，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠GAE=90°−∠AEB=∠CEF，
∴△AGE≌△ECFASA，
∴AE=EF；
(3)EF的长为5或41
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：分两种情况：
当点E在边BC上时，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90∘，BC=AB=4，
∴BE=BC−CE=4−1=3，
由勾股定理，得AE=AB2+BE2=42+32=5，
由（2）知，EF=AE=5，
当点E是直线BC上的一点时，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90∘，BC=AB=4，
∴BE=BC+CE=4+1=5，
由勾股定理，得AE=AB2+BE2=42+52=41，
连接AC，过点F作FG⊥BC，交BC延长于G，在FG上截取FH=CE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90∘，∠ACD=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，∠BAE+∠AEB=90∘，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEG=90∘，
∵FG⊥BC，
∴∠FEG+∠EFG=90∘，
∴∠EFG=∠AEB，
∵CF是正方形的外角平分线，
∴∠ECF=12×90°=45°，
∵FG⊥BC，
∴∠GFC=∠ECF=45°，
∴CG=FG，
∵FH=CE，
∴CG−CE=FG−FH，即GE=GH，
∴∠GHE=∠GEH=45°，
∴∠FHE=180°−45°=135°，
∴∠ACE=∠FHE，
在△ACE和△EHF中，
∠AEC=∠EFHCE=FH∠ACE=∠FHE，
∴△ACE≌△EHFASA，
∴EF=AE=41，
综上，EF的长为5或41．
【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，根据正方形性质可得AB=BC，∠B=∠BCD=90∘，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得BG=AG=12AB，BE=CE=12BC，则BG=BE，AG=CE，根据等边对等角可得∠BGE=∠BEG=45°，根据补角可得∠AGE，再根据角平分线定义可得∠DCF=45∘，再根据角之间的关系可得∠GAE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）在AB上取点G，使BG=BE，连接EG，根据正方形性质可得AB=BC，∠B=∠BCD=90∘，再根据补角可得∠AGE，根据角平分线定义可得∠DCF=45∘，再根据角之间的关系可得∠GAE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点E在边BC上时，根据正方形性质可得∠B=90∘，BC=AB=4，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理即可求出答案；当点E是直线BC上的一点时，根据正方形性质可得∠B=90∘，BC=AB=4，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理可得AE，连接AC，过点F作FG⊥BC，交BC延长于G，在FG上截取FH=CE，连接EH，根据正方形性质可得∠B=∠BCD=90∘，∠ACD=45°，根据角之间的关系可得∠EFG=∠AEB，根据角平分线定义可得∠ECF，再根据角之间的关系可得∠ACE=∠FHE，再根据全等三角形判定定理即性质即可求出答案.