浙江省北斗星盟2026届高三下学期二模数学试卷含答案（word版）

这是一份浙江省北斗星盟2026届高三下学期二模数学试卷含答案（word版），共26页。试卷主要包含了 考试结束后, 只需上交答题纸， 已知椭圆 C等内容，欢迎下载使用。
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟;
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；
3. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试卷上无效;
4. 考试结束后, 只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={0,1,2,3} ， B={x∣0≤lnx≤1} ，则 A∩B= ()
A. {0,1} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {1,2,3}
2. 已知函数 fx=sinx ，则 f′π6= ( )
A. 12 B. −12 C. 32 D. −32
3. 已知圆 O:x2+y2=4 ，过点 P0,−4 作圆 O 的两条切线，则这两条切线的夹角为( )
A. 2π3 B. π6 C. π4 D. π3
4. 已知 a,b 是两个不共线的向量，且 AB=2a+5b,BC=a+2b,CD=−a−3b ，则四边形 ABCD 的形状是( )
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法构成四边形
5.AI 算法是基于数学理论和逻辑规则设计的, 当 AI 算法在计算机上运行时, 所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理. 设正整数 n=a0⋅20+a1⋅21+⋯+ak−1⋅2k−1+ak⋅2k ,其中 al∈{0,1} , i=0,1,2,⋯,k . 记 pn=a0+a1+⋯+ak . 则 p26= ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 26
6. 已知 a,b∈R 且 a,b>0 ,若函数 fx=ex+e−xa−bcsx2 有唯一零点,则 2a+b 的最小值为 ( )
A. 22 B. 32 C. 42 D. 52
7. 已知椭圆 C:x24+y23=1,F1,F2 为椭圆 C 的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上在第一象限内的一点， 且 △F1PF2 的面积为 32 ，则 ∠F1PF2 的角平分线所在的直线方程为( )
A. 2x−2y+1=0 B. 4x−2y−1=0 C. 8x−2y−5=0 D. 3x−2y=0
8. 如图所示，由 4 个边长为 1 的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形网格，质点从顶点 A 出发， 沿着网格线运动至顶点 B 停止，规定运动过程中任意顶点(含起点和终点)均不可重复经过. 设随机变量 X 表示质点从 A 到 B 经过的路径总长度,若质点所有可能的运动路径是等可能的,则 EX= ( )
A. 112 B. 163 C. 265 D. 407
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 若经过点 P2,4 的直线与抛物线 C:y2=2pxp>0 恒有公共点,则 C 的准线可能是 ( )
A. x=−1 B. x=−4 C. x=−2 D. x=−2
10. 已知函数 fx=sinωx+csωxω>0 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 ω=1 ，则 fx 在 −π2,0 上单调递增
B. 若 fπ4=1 ，则 ω 的最小值为 1
C. 若将函数 fx 的图象向右平移 π4 个单位,所得图象与 fx 关于 y 轴对称,则 ω 的最小值为 3
D. 若 fx 在 π2,π 上无零点,则 ω 的取值范围为 0,34∪32,74
11. “杨辉三角” 由南宋数学家杨辉在所著《详解九章算法》中首次提出，它揭示了二项式系数在三角形数表中的几何排列规律. 如图所示，记 “杨辉三角” 第 i 行第 j 个数为 ai,j ，并由此构造新的 P -数表,记 P -数表的第 i 行第 j 个数为 Pi,j ,满足 Pi,j=j−1⋅ai,j,P -数表第 n 行所有数字之和记为 an ，则下列说法正确的是( )
A. P4,4=12
B. 当 i≥2,j≥2 时, Pi,j=i⋅ai−1,j−1
C. a55 除以 7 的余数为 1
D. i=1n1sinai+1i+1=1tan1−1tan2n
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 a∈R ，若复数 1+ai2−i 是纯虚数，则实数 a 的值为_____.
13. 若函数 fx=x3−3x 在区间 m,m+2 上存在最小值-2，则实数 m 的取值范围是_____.
14. 已知正四面体 A−BCD 的棱长为 26 ，点 E 为 △BCD 的重心，点 P 在正四面体表面上的动点， 且满足点 P 到点 E 的距离恒为 263 ，则点 P 的运动轨迹的总长度为_____.
非选择题部分
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 acsC=b+12c .
(1)求角 A 的大小；
(2)已知 BC=8,D为BC 的中点，且 AD=3 ，求 △ABC 的周长.
16. (15 分)近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续 6 年的年度销售数据,设年份编码为 x (第 1 年、第 2 年……第 6 年),年度总销量为 y (单位: 千辆)，对应数据如下:
(1)求这 6 年销售量数据的极差与第 75 百分位数；
(2)从这 6 年销售量数据中随机抽取 2 个数据，已知其中一个数据不小于 400(千辆)，求另一个数据也不小于 400(千辆)的概率；
(3)销售量 y 与年份编码 x 具有较强的线性相关关系，试求 y 关于 x 的经验回归方程，并预测第 8 年该市新能源汽车的年度销售量(单位:千辆，结果保留小数后两位).
参考公式及数据: (1) l=16xlyl=8296 (2) b=l=1nxl−xyl−yl=1nxl−x2,a=y−bx .
17. (15 分) 如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD=3BC=32,AB=2 ，点 E 是边 AD 上靠近点 D 的三等分点,将 △ABE 沿直线 BE 翻折至 △A1BE 的位置.
(1)若 A1D=14 ，求证: CE⊥ 平面 A1BC ；
(2)记平面 A1BE 与平面 A1CD 的夹角为 θ ，求 csθ 的最小值.
18.(17分)已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 2，直线 l:y=1 与双曲线 C 交于 M,N 两点,且 MN=433 .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)若 A,B 是双曲线 C 的左右顶点，点 D 是线段 MN 上一点(异于 MN 两点)，直线 AD 与双曲线 C 交于点 P ,直线 BD 与双曲线 C 交于点 Q ,直线 AQ 与直线 BP 交于点 H .
(i) 求四边形 ADBH 面积的最大值;
(ii) 是否存在定点 T ,使得以 TH 为直径的圆始终与某条定直线 l​′ 相切? 若存在,求出该定点 T 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
19.(17 分)对于定义在区间 I 上的函数 fx,gx ，若对 ∀x∈I ，都有 fx≤gx ，则称 gx 为 fx 在区间 I 上的 “上域函数” ; 若对 ∀x∈I ,都有 fx≥gx ,则称 gx 为 fx 在区间 I 上的 “下域函数”.
(1)试判断以下函数中，哪些是 y=lnx+1 在 [0,+∞) 上的 “上域函数” ? 哪些是 y=lnx+1 在 [0,+∞) 上的 “下域函数”? (直接写出结论,无需证明)
① y=x ； ② y=xx+1 ； ③ y=−12x2+x ；
(2)已知实数 k>0 ， y=kxx+2 是 y=lnx+1 在区间 [0,+∞) 上的 “下域函数”，求实数 k 的取值范围；
(3)求证: i=1n33i−1−ln1+32n