辽宁沈阳市东北育才学校2026届高三下学期第九次模拟考试数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁沈阳市东北育才学校2026届高三下学期第九次模拟考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答题时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
3. 已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知数列是等差数列，且，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
5. 已知直线与，则“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 除以5所得的余数是1D.
7. 中，的对边分别为，若且，则的形状是（ ）
A. 顶角为的等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 顶角为的等腰三角形
8. 在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数的虚部为B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. 复数的共轭复数
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是函数定义域内的极小值点.B. 的单调减区间是.
C. 在定义域内无最小值，无最大值.D. .
11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ）
A. 点的轨迹经过线段的中点
B. 点的轨迹长度为
C. 直线与直线为异面直线
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若定义在上的奇函数满足时，，则________．
13. 已知抛物线的焦点为，点在上.若，则到轴的距离为__________.
14. 已知数列满足，，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设向量，，函数.
（1）求的单调减区间；
（2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围.
16. 2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大.
17. 如图，在中，是的中点，是上的点，.将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，设是上靠近的三等分点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
18. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值.
19. 已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，
（i）若，求证：；
（ii）记，求证：.2025—2026学年度下学期东北育才学校
高三年级数学科目第九次模拟考试试题
答题时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，，
所以.
2. 设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量基底定义可判断选项正误.
【详解】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线.
对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，A错误；
对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式，故这组向量共线，B正确；
对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，C错误；
对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，D错误.
3. 已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线及点到直线距离公式得出，即可求解离心率．
【详解】设双曲线的渐近线为，顶点坐标为，
则顶点到渐近线的距离，
所以离心率．
4. 已知数列是等差数列，且，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】应用等差数列下标和性质结合等差数列求和公式计算求解.
【详解】数列是等差数列，且，，
所以，
则.
5. 已知直线与，则“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得.
【详解】若，则，解得或，
当时，，两直线重合，不符；
当时，，符合题意；
所以，即“”是“” 的充要条件.
6. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 除以5所得的余数是1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案.
【详解】对于A，令，可得，所以A错误；
对于B，令，可得，
因为，所以，所以B错误；
对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确；
对于D，由二项式展开式的通项为，
可得为正数，为负数，
所以，
令，可得，
因为，所以，所以D错误.
7. 中，的对边分别为，若且，则的形状是（ ）
A. 顶角为的等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 顶角为的等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由向量条件可先证得，即是以为顶角的等腰三角形；再结合面积条件求出 ，故该三角形为等腰直角三角形.
【详解】由题意，，
又因为，所以，
展开得，
因为，
代入上式，得，
即，整理得，
由于三角形内角满足，
故，于是，
即，所以是以为顶角的等腰三角形.
由且 ，得
另一方面，
又由余弦定理，
从而得到，
解得，
即，
即，
所以，
因为，所以，
故，于是，
从而，因此是等腰直角三角形.
8. 在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 的值可能是13，14，15，
当 时， ，
因为 ，且 为整数，所以 不可能；
当 时，，因为 ，
且 为整数，所以 不可能;
当 时， ，因为 ，且 为整数，
所以当且仅当 时，.
此时.
所以所求极差为 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数的虚部为B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. 复数的共轭复数
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用复数乘法运算，复数相关的概念，复数对应点的坐标的特性，复数模的计算公式和共轭复数的概念逐项分析即可.
【详解】因为，且复数的实部为，
所以，解得：，所以，
对于A，由，所以复数的虚部为，故A正确；
对于B，由复数在复平面内对应的点为，该点位于第三象限，故B正确；
对于C，由，故C正确；
对于D，由复数的共轭复数，故D错误.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是函数定义域内的极小值点.B. 的单调减区间是.
C. 在定义域内无最小值，无最大值.D. .
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，根据结合函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，定义域为，，令可得，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以是函数的极小值点，A正确；
对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确；
对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e，
当时，，当时，，当时，，
简图如下，由图可知，在定义域内无最小值，也无最大值，C正确，
对于D，由题可得，由于增区间为，所以，故，即D正确.
11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ）
A. 点的轨迹经过线段的中点
B. 点的轨迹长度为
C. 直线与直线为异面直线
D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，，则，
且平面，平面，所以平面.
又因为是中点，则，
且平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，
所以点的轨迹为线段（不含端点）.
对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；
对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于C，因为平面，平面，，
所以直线与直线为异面直线，故C正确；
对于D，因为平面，点是棱的中点，
则，所以D正确；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若定义在上的奇函数满足时，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的性质求出a， 再利用函数的奇偶性及题中所给解析式进行求解.
【详解】由题意知，解得，
因为，所以．
故答案为：
13. 已知抛物线的焦点为，点在上.若，则到轴的距离为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】首先求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义得到点到准线的距离，计算到轴的距离.
【详解】抛物线的准线方程为，
点在上.若，
设，所以点到准线的距离为，
即，，
到轴的距离为.
14. 已知数列满足，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】构造数列，根据递推关系，可得，利用等比数列通项公式求出，分组求和即可得解.
【详解】因为，
所以，
令，则，
所以，
则，
所以，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即，
所以
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设向量，，函数.
（1）求的单调减区间；
（2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围.
【答案】（1）的单调减区间为，.
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用向量数量积坐标运算求出表达式，再用三角恒等变换把式子化成的形式再结合正弦函数单调递减区间列不等式，解出的范围即可得到单调减区间.
（2）先代入求出角的大小，再由已知边结合正弦定理把另外两边转化为角的正弦形式，将周长整理为单一三角函数形式，最后根据角的范围求出三角函数值域，进而得到三角形周长的取值范围.
【小问1详解】
.
由，，解得，.
所以的单调减区间为，.
【小问2详解】
由，得，即.
因为，所以，即.
已知，由正弦定理.
所以，.
又，，
则周长
.
由，得，所以.
即周长的取值范围是.
16. 2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大.
【解析】
【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可；
（2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算；
（ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值.
【小问1详解】
根据直方图可得，，
由题知，，则，
等品的质量指标值不小于，
即.
【小问2详解】
（ⅰ）指标值在和的总件数为，
指标值在的件数是，
由题知，可能的取值是.
，，
，，
分布列为：
.
（ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品，
由题知，，
由（1）知，等品的概率为，
则，于是，
，
记，
则，
则递增，
递减，
故当时利润最大.
17. 如图，在中，是的中点，是上的点，.将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，设是上靠近的三等分点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
如图，在中，取中点，连接，
因为，所以，
又，所以是的中点，
因为是的中点，所以，
且，
因为是上靠近的三等分点，所以，所以，
由，平面，平面知平面，
由，平面，平面知平面，
因为，，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
【小问2详解】
在中，作，垂足为，
在中，由是中点，，
可得，
将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，
则，
所以是二面角的平面角，，所以，
因为平面，所以平面，又平面，
所以平面平面，所以平面，
如图，以为原点，过平行于的直线为轴，分别为轴和轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
因为，，所以，，
取得．
同样可求得平面的一个法向量，
设平面与平面所成二面角为，
则，故．
18. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值.
【答案】（1）
（2）是，
（3）24
【解析】
【分析】（1）由直线垂直于轴时知椭圆经过点，结合离心率列出关于的方程组，解得即得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，代入并根据韦达定理求得，再求出，将代入即得答案；
（3）由（2）中韦达定理可得到，分别求出直线、并联立得到，解得，设点的坐标为，根据点在和上，求出直线和的方程，进而求出点的坐标，即可求得.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，可得，即，①
因为过点的直线垂直于轴时截得弦长，
所以椭圆经过点.
所以，②
由①②解得，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
由（1）可知，设直线的方程为，
联立，可得，
可得，
直线的斜率分别为，
，
所以，
因为在直线：上，所以，
所以
，
代入式子可得；
【小问3详解】
由（2）知，可得，所以，
直线的方程为，直线的方程为，
两条直线联立可得
则，
解得，所以设点的坐标为，
因为过原点平行于的直线斜率为，且点在上，
则，
故该直线的方程为，
点在上，则，
故直线的方程为.
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以.
19. 已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，
（i）若，求证：；
（ii）记，求证：.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，将问题转化为，进而求函数的最小值即可求得答案；
（2）（i）构造函数，进而在上单调递增即可证明结论；
（ii）令，进而得.再结合（i）的证明过程中得到的不等式得，，进而得到即可证明；再结合（i）证明过程中得到的不等式和结论得，最后结合等比数列求和即可证明结论.
【小问1详解】
已知，即，
因为，，
所以，即，，
令，
则
，
令，，则，
所以在上单调递减，，即，
所以，当时，，，，单调递减；
当时，，，，单调递增；
所以，当时，取得最小值，
所以，即的取值范围为.
【小问2详解】
（i）当时，，
证明：当，，即，，
令，，
令，，
所以，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，，
所以，，证毕.
（ii）由，令，则，
所以
，
下面先证明，
由（i）知在上恒成立，即在上恒成立，
所以，当时，，
又因为，故当时，，，，
所以，即，
所以，
所以，证毕；
再证明：，
由（i）知和在上恒成立，
所以，当时，，即
，，
所以
所以
所以
，证毕.
综上，.