江苏省镇江一中2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷含答案（word版）

这是一份江苏省镇江一中2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷含答案（word版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (本小题 13 分)
解:
(1)一次试验中基本事件总数为 C52=10 ， 2 分
设事件 A 为 2 个小球中至少含有 1 个红球, 3 分
则事件 A ,即抽取的 2 个小球中没有红球所含有的基本事件数为 C22=1 .
所以 PA=1−PA=1−110=910 , 5 分
故至少含有一个红球的概率为 910 . 6 分
(2)由于进行 3 次独立的上述抽取试验,
则随机变量 X∼B3,910 . 8 分
则 PX=k=C3k910k1103−k,k=0,1,2,3 .
即 PX=0=1103=11000 ,
PX=1=C31⋅910⋅1102=271000
PX=2=C32⋅9102⋅110=2431000,
PX=3=9103=7291000, 11 分
所以数学期望 EX=3×910=2.7 . 13 分
注:(1)该小问中概率值每错一个扣 1 分，扣满 3 分为止；
(2)两个小问若无结论意识，即未用文字语言叙述结果，各扣 1 分。
16. (本小题 15 分)
解:
(1)根据 Cn2−2Cn1=12 ,知 nn−12−2n=12 ,
整理得 n2−5n−24=0 , 2 分
即 n−8n+3=0 , 3 分
所以 n=8 . 4 分
(2)由于 n=8 ,所以 fx=1x+2x8 .
则 y=fx 展开式中第 r+1 项 Tr+1=C8r⋅2xr⋅x−8−r=C8r⋅2r⋅x2r−8,r=0,1,2,…,8 . 6 分
当 x2r−8=x4 时,解得 r=6 . .7 分
所以含 x4 项的系数为 C86⋅26=1792 . 8 分
(3)设第 r+1 项的系数 ar+1=C8r⋅2r,r=0,1,2,…,8 .
不妨设第 ak+1 最大, k=1,2,…,7 ,
则 ak+1≥ak,ak+1≥ak+2 ,
即 C8k⋅2k≥C8k−1⋅2k−1,C8k⋅2k≥C8k+1⋅2k+1 , 11 分
解得 5≤k≤6 , 13 分
即 a6=a7=1792 为最大项.
所以系数最大的项为第 6 项 1792x2 和第 7 项 1792x4 . 15 分
注:(1)该小问采用逐个列项并比较系数大小的方法亦可，参照上述评分细则给分。
(2)若第(1)小问未正确求解出 n 值，则(2)(3)小问不得分。
17. (本小题 15 分)
解:
(1)在圆台 ABCD 中， O1 ， O2 分别为上下底面的圆心，
有 O1O2⊥ 平面 CDE , 1 分
由于 O2E⊂ 平面 CDE ,
所以 O1O2⊥O2E . 2 分
且 O2E⊥CD,O1O2,CD⊂ 平面 ABCD,O1O2∩CD⊂O2 ,
所以 O2E⊥ 平面 ABCD . 5 分
(2)由台体体积公式: 圆台 V=πh3R2+Rr+r2 可知 O1O2=3 . 6 分
由于 O2E,O2C,O1O2 两两相交且垂直,
则以 O2E,O2C,O1O2 为一组正交基地建立如图所示的空间直角坐标系. 7 分
则 O20,0,0,C0,2,0,B0,1,3,E2,0,0,O10,0,3 ,
且 F 为 O1E 的中点,则 F1,0,32 . 8 分
(i) 设 Gx,y,0 满足 x2+y2=r2 . 9 分
则 FG=x−1,y,−32,BC=0,1,−3 ,
由于 FG//BC ,即 FG=λBC ,
则 x−1=0y=λ−32=−3λ ,
得 λ=12,x=1,y=12 ,
即 G1,12,0 , 11 分
所以半径 r=12+122=52 . 12 分
(ii) 由于 O2E⊥ 平面 ABCD ,
不妨设平面 ABCD 的一个法向量 n1=1,0,0 .
设平面 O2CF 的一个法向量 n2=x,y,z ,
有 n2⋅O2C=0n2⋅O2F=0 ,即 2y=0x+32z=0 ,
取 z=2 ,则 n2 可以为 −3,0,2 . 14 分
平面 ABCD 与平面 O2CF 夹角 θ 的余弦 csθ=csn1,n2=n1⋅n2n1n2=n1⋅n2n1n2=31313 . 15 分
注:本题若采用其他方法，参照上述评分细则给分。
18. (本小题 17 分)
解:
(1)不妨设日期代号 x 的取值依次为 x1,x2,x3,x4,x5 ;
购物人数 y 的取值依次为 y1,y2,y3,y4,y5 .
则 x=i=15xi5=3,y=i=15yi5=90 , 2 分
且 i=15xi−x2=i=15xi2−5x2=10 , 3 分
i=15xi−xyi−y=i=15xiyi−5xy=58, 4 分
从而 b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=5.8 ,
a=y−bx=72.6.
所以 y 关于 x 的一元线性回归方程为 y=5.8x+72.6 , 6 分
从而当 x=7 时, y=113.2≈113 , 7 分
即根据此模型型预测当年 5 月 25 日在该店购物的人数约为 113 人. 8 分
(2)设事件 A1 为 “选取的单日购物人数不超过 90 人”,
事件 A2 为 “选取的单日购物人数超过 90 人”,
事件 B 为 “抽取的顾客消费超过 30 元”. 9 分
由表格数据可知:
购物人数不超过 90 人共 2 天,故 PA1=25 ,
购物人数超过 90 人共 3 天,故 PA2=35 . 11 分
并且 PB∣A1=0.5,PB∣A2=0.7 . 12 分
(i) PB=PBA1+A2=PBA1+BA2=PBA1+PBA2
=PA1PB∣A1+PA2PB∣A2=25×0.5+35×0.7=0.62 ,
所以该顾客消费超过 30 元的概率为 0.62 . 14 分
(ii) 由条件概率公式知 PA2∣B=PA2BPB ,
其中 PA2B=PB∣A2PA2=0.42 ,
所以 PA2∣B= ,
故该天购物人数超过 90 人的概率为 2131 . 17 分
19. (本小题 17 分)
解:
(1)在空间直角坐标系 O−xyz 中,
由于点 A,P 位于 z 轴,则 PA⊥ 平面 xOy ,且 AB,AC,BC 在该平面内,
则 PA⊥AB,PA⊥AC . 2 分
此外 AB⋅BC=0 ,即 AB⊥BC . 3 分
且 PA⊥BC,AB∩PA=A ,
从而 BC⊥ 平面 PAB ,所以 BC⊥PB . 4 分
综上可知三棱锥 P−ABC 的四个面均为直角三角形. 5 分
注:本小问若采用向量数量积运算求解，参照上述评分细则给分。
(2)设 An=0,0,an,Bn=xn,yn,zn ，则 PBn=xn,yn,zn−6 ，
由于 P,B,Bn 共线,即 PBn=λPB=3λ,33λ,−6λ ,
所以 PBn 可整理为 xn,3xn,−2xn,Bn=xn,3xn,−2xn+6 .
由于 AnBn⊥PB ,即 AnBn⋅PB=0 ,解得 4xn−6+an=0 ,
同理设 Cn=0,tn,pn ,其中 PCn=μPC ,
由于 BnCn⋅PC=0 ,得 pn=6−32tn,732tn−12xn=0 ,
且 4xn−6+an=0 ,化解得 pn=6−37⋅6−an .
由于 CnAn⊥PA ,则 An+1=0,0,pn ,
从而 PAnPAn−1=37 ,即 dndn−1=37 , 9 分
所以 dn 是公比为 3 的等比数列.
对于平面 PBC ,不妨设其法向量 n=x,y,z ,
由于 PC⋅n=0,PB⋅n=0 ,则 n 可以是 3,3,23 . 11 分
故 d0=AC⋅nn=32,d1=37d0=927 . 13 分
(3)由于 dx,dy,dz 成等比数列,则 dy2=dxdz ,即 d037y2=d037xd037z ,
化简得 2y=x+z ,即 x,y,z 成等差数列. 14 分
若 m 为偶数,设 m=2k,k∈N∗,k≥3 ,
当 d=1 时,共有 2k−1 种,
当 d=2 时,共有 2k−3 种,
当 d=n 时,共有 2k−2n+1 种,
当 d=k 时,共有 1 种,
则共有 1+3+…+2k−1=k2 种,
此时 Pm=P2k=k2C2k+13=3k4k2−1=34k−1k ,
其中 4k−1k≥4×3−13=353 ,则 P2k≤3353=935