2026年浙江省杭州市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案

这是一份2026年浙江省杭州市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案，共10页。
A．0B．+2025C．3.14D．﹣11
2．（3分）古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构．榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）2025年五一假期，长沙再度掀起“味蕾游”热潮．从繁华商圈到网红店门口，游客们慕名而来，“打卡”地道湘味．数据显示，5月1日，长沙五一商圈核心区累计客流量达1126000人次．将数据1126000用科学记数法表示为（ ）
A．1.126×107B．0.1126×107
C．11.26×105D．1.126×106
4．（3分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+2024＞b+2024B．2024a＞2024b
C．1﹣2024a＜1﹣2024bD．ac＞bc
5．（3分）已知m2﹣3m＝3，则多项式2m2﹣6m+2019的值为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
6．（3分）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠GFH＝40°，∠CEF＝120°，则∠HFB的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．50°
7．（3分）某校组织全体同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每分钟撤离的人数比第一次的多60，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了20分钟，若设第一次平均每分钟撤离x人，则可列方程为（ ）
A．2000x=2000x+60−20B．2000x=2000x+60+20
C．2000x=2000x−60+20D．2000x=2000x−60−20
8．（3分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．用尺规作图法，在AC边上求作一点P，不能使∠PBC＝45° 的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BE＝CD，∠BAC＝108°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠ADB＝144°B．△ABD≌△ADE
C．AD2＝CE•CDD．CD2﹣CE2＝BE•CE
10．（3分）已知m，n为整数，抛物线y＝x2+bx（b为常数）经过点（m，y1），（n，y2）．现有两个命题：①若b＝1，则y1与y2+1可能相等；②若b＝2，则y1与y2+1可能相等．则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都是真命题
B．①，②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：（y2﹣8）2﹣64＝ ．
12．（3分）学生在体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2）．如果∠1＝120°，则∠2等于 ．
13．（3分）如图，A，B两点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，4），线段AB绕原点O按顺时针方向旋转后，点A的对应点是点A′（2，3），则点B的对应点的坐标是 ．
14．（3分）据新华社消息，四川作为第五批高考综合改革省份之一，从2022年启动高考综合改革，2025年起实施．改革后，四川高考将不再分文理科，实行“3+1+2”模式，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应从历史和物理2门科目中首选1门科目，从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中再选2门科目．张颖同学从再选的4门科目中随机选择科目，恰好选到生物学和化学的概率为 ．
15．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则3a2﹣6a+2021的值为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，AF＝BF，则CGGF的值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：2cs30°+（12）﹣1+|3−1|−12．
18．（8分）计算：
（1）（a﹣2b）2+a（a+4b）；
（2）x2x2−2x+1÷（2x−1x−1−1）．
19．（8分）（1）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）
①用尺规作∠BAC的角平分线AE．
②用三角板作BC边上的高AD．
③用尺规作AB边上的垂直平分线．
（2）如图，OM，ON是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？（不写作法，保留作图痕迹）
20．（8分）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值如表：
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长λ（m）关于频率f（MHz）的函数表达式．
（2）当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？
21．（8分）3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校为提倡节约用水，增强节约用水意识，在七、八年级开展了节约用水知识竞赛活动（百分制）．七、八年级各有200名学生参加了知识竞赛活动，为了解两个年级的竞赛答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：a．七年级学生的成绩数据如下：（单位：分）
60 67 80 80 75 75 88 88 78 96
80 80 69 75 86 86 77 77 89 78
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如下：（数据分成四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）其中成绩在80≤x＜90的数据如下：（单位：分）
81 81 81 82 83 84 85 86 87 89
c．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）估计 年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多；
（3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计两个年级此次竞赛成绩优秀学生共有多少人？
22．（10分）在如图1、图2，图3中，点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点：下面请你根据相应的条件解决问题．
特例探索：
（1）在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），∠EAF＝45°，延长CD至G，使DG＝BE，BE＝3，DF＝4．则EF＝ ．
在图2中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，BE＝2，FD＝3；则EF＝ ．
（2）归纳证明：在图3中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD．且∠EAF=12∠BAD，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
23．（10分）经过市场调查发现，某商品的售价为每件70元时，每周可卖出300件．为扩大销售、增加盈利，采取降价措施，每降价1元，每周可多卖出15件．若商品的进价为每件40元，售价为多少时每周利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且点C是劣弧BD的中点，AC与BD交于点E，连接AD，BC，OC，OD．
（1）求证：△ADC∽△DEC；
（2）若AE＝2，EC＝1．求证：四边形DOBC是菱形；
（3）过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，则△OCH的面积等于 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列既不是正数又不是负数的数是（ ）
A．0B．+2025C．3.14D．﹣11
【考点】正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正数是大于零的数，负数是小于零的数，零既不是正数也不是负数求解即可．
【解答】解：∵正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数，
∴A选项符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负数的定义是解题的关键．
2．（3分）古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构．榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：它的主视图是：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）2025年五一假期，长沙再度掀起“味蕾游”热潮．从繁华商圈到网红店门口，游客们慕名而来，“打卡”地道湘味．数据显示，5月1日，长沙五一商圈核心区累计客流量达1126000人次．将数据1126000用科学记数法表示为（ ）
A．1.126×107B．0.1126×107
C．11.26×105D．1.126×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1126000＝1.126×106．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+2024＞b+2024B．2024a＞2024b
C．1﹣2024a＜1﹣2024bD．ac＞bc
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不等式a＞b的两边都加上2024可得a+2024＞b+2024，原变形正确，故本选项不符合题意；
B．不等式a＞b的两边都乘以2024可得2024a＞2024b，原变形正确，故本选项不符合题意；
C．不等式a＞b的两边都乘以﹣2024，然后加1可得1﹣2024a＜1﹣2024b，原变形正确，故本选项不符合题意；
D．不等式a＞b的两边都除以c，只有c＞0才可得ac＞bc，所以，不等式ac＞bc不一定成立，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
5．（3分）已知m2﹣3m＝3，则多项式2m2﹣6m+2019的值为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
【考点】代数式求值．
【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力．
【答案】B．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：当m2﹣3m＝3时，原式＝2（m2﹣3m）+2019＝2×3+2019＝2025．
故选：B．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
6．（3分）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠GFH＝40°，∠CEF＝120°，则∠HFB的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．50°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FEC＝120°，
∴∠FED＝∠GFB＝60°，
∵∠HFG＝40°，
∴∠BFH＝∠GFB﹣∠HFG＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（3分）某校组织全体同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每分钟撤离的人数比第一次的多60，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了20分钟，若设第一次平均每分钟撤离x人，则可列方程为（ ）
A．2000x=2000x+60−20B．2000x=2000x+60+20
C．2000x=2000x−60+20D．2000x=2000x−60−20
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设第一次平均每分钟撤离x人，则第二次平均每分钟撤离（x+60）人，根据“结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了20分钟”列出分式方程即可．
【解答】解：设第一次平均每分钟撤离x人，则第二次平均每分钟撤离（x+60）人，
由题意得：2000x=2000x+60+20，
故选：B．
【点评】本题考查从实际问题抽象出分式方程，找出等量关系是解答本题的关键．
8．（3分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．用尺规作图法，在AC边上求作一点P，不能使∠PBC＝45° 的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】利用基本作图，根据作一个角等于已知点可对A选项进行判断；根据线段垂直平分线的作法和线段垂直平分线的性质可对B选项进行判断；根据过一点作直线的垂线的作法和互余关系可对C选项进行判断；利用角平分线的画法可对D选项进行判断．
【解答】解：A．根据作图痕迹，作∠PBC＝∠C，所以A选项不符合题意；
B．根据作图痕迹，P点为BC的垂直平分线与AC的交点，则PB＝PC，所以∠PBC＝∠C，所以B选项不符合题意；
C．根据作图痕迹，BP⊥AC，则∠PBC＝90°﹣45°＝∠C，所以C选项不符合题意；
D．根据作图痕迹，BP平分∠ABC，因为∠ABC≠90°，则∠PBC≠∠C，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BE＝CD，∠BAC＝108°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠ADB＝144°B．△ABD≌△ADE
C．AD2＝CE•CDD．CD2﹣CE2＝BE•CE
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】依据题意，由AB＝AC＝BE＝CD，∠BAC＝108°，从而∠B＝∠C＝36°，∠ADC＝72°，∠AEB＝72°，∠ADE＝∠AED＝72°，∠DAE＝36°，故∠DAE＝∠ACD＝36°，∠ADE＝∠CDA，可得△ADE∽△CDA，△AEC∽△BAC，结合对应边成比例即可逐个判断得解．
【解答】解：∵AB＝AC＝BE＝CD，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
又∵AC＝CD＝BE＝AB，
∴∠ADC＝72°，∠AEB＝72°
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣72°＝108°，故A错误．
由∠ADB＝108°，而△ADE中，∠ADE＝∠AED＝72°，∠DAE＝36°，
∴△ABD与△ADE不全等，故B错误．
∵∠ADE＝∠AED＝72°，
∴∠DAE＝36°．
∴∠DAE＝∠ACD＝36°，∠ADE＝∠CDA．
∴△ADE∽△CDA．
∴ADCD=DEDA．
∴AD2＝CD•DE．
又∵DE≠CE，
∴C错误．
由题意，∵∠AEC＝∠BAC＝108°，∠C＝∠C，
∴△AEC∽△BAC．
∴ACBC=ECAC．
∴AC2＝BC•CE．
又∵CD＝AC，BC＝BE+CE，
∴CD2＝（BE+CE）•CE．
∴CD2＝BE•CE+CE2．
∴CD2﹣CE2＝BE•CE，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能根据相似三角形的对应边成比例是关键．
10．（3分）已知m，n为整数，抛物线y＝x2+bx（b为常数）经过点（m，y1），（n，y2）．现有两个命题：①若b＝1，则y1与y2+1可能相等；②若b＝2，则y1与y2+1可能相等．则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都是真命题
B．①，②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
【考点】命题与定理；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】①当b＝1时，y1＝m2+bm，y2＝n2+bn，不妨假设y1＝y2+1，则m2+m＝n2+n+1，整理得（m+n+1）（m﹣n）＝1，根据m，n都是整数得m+n+1=1m−n=1或m+n+1=−1m−n=−1，由此解出m=12n=−12，或m=−32n=−12，据此可对命题①是进行判断；
②当b＝2时，y1＝m2+2m，y2＝n2+2n，不妨假设y1＝y2+1，则m2+2m＝n2+2n+1，整理得（m+n+2）（m﹣n）＝1，根据m，n都是整数得m+n+2=1m−n=1或m+n+2=−1m−n=−1，由此解出m=0n=−1或m=−2n=−1，据此可对命题②是进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx（b为常数）经过点（m，y1），（n，y2），
∴y1＝m2+bm，y2＝n2+bn，
①当b＝1时，y1＝m2+m，y2＝n2+n，
∴y2+1＝n2+n+1
不妨假设y1＝y2+1，
∴m2+m＝n2+n+1，
∴m2﹣n2+m﹣n＝1，
即（m+n+1）（m﹣n）＝1，
∵m，n都是整数，
∴m+n+1，m﹣n均为整数，
又∵（m+n+1）（m﹣n）＝1，
∴m+n+1=1m−n=1或m+n+1=−1m−n=−1，
由∴m+n+1=1m−n=1，解得：m=12n=−12，
∵m，n不是整数，
∴不合题意，舍去；
由或m+n+1=−1m−n=−1，解得：m=−32n=−12，
∵m，n不是整数，
∴不合题意，舍去；
∴b＝1时，y1与y2+1不可能相等；
故命题①是假命题；
②当b＝2时，y1＝m2+2m，y2＝n2+2n，
∴y2+1＝n2+2n+1，
不妨假设y1＝y2+1，
∴m2+2m＝n2+2n+1，
∴m2﹣n2+2m﹣2n＝1，
即（m+n+2）（m﹣n）＝1，
∵m，n都是整数，
∴m+n+2和m﹣n均为整数，
又∵（m+n+2）（m﹣n）＝1，
∴m+n+2=1m−n=1或m+n+2=−1m−n=−1，
由m+n+2=1m−n=1，解得：m=0n=−1，
由或m+n+2=−1m−n=−1，解得：m=−2n=−1，
∴b＝2时，y1与y2+1可能相等，
故命题②是真命题．
综上所述：命题①是假命题，命题②是真命题．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上的点，命题的真假，理解二次函数图象上的点满足二次函数的表达式是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：（y2﹣8）2﹣64＝y2（y+4）（y﹣4） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】y2（y+4）（y﹣4）．
【分析】运用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：（y2﹣8）2﹣64＝（y2﹣8+8）（y2﹣8﹣8）＝y2（y2﹣16）＝y2（y+4）（y﹣4），
故答案为：y2（y+4）（y﹣4）．
【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解．熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．
12．（3分）学生在体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2）．如果∠1＝120°，则∠2等于 30° ．
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】30°．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，因此即可计算．
【解答】解：由三角形的外角性质得到：∠2＝∠1﹣∠3＝120°﹣90°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．（3分）如图，A，B两点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，4），线段AB绕原点O按顺时针方向旋转后，点A的对应点是点A′（2，3），则点B的对应点的坐标是 （4，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（4，1）．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后即可写出点B的对应点的坐标．
【解答】解：连接OA，OA′，OB，如图，
由图可知，∠AOA′＝90°，则∠BOB′＝90°，
则点B′的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化—旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）据新华社消息，四川作为第五批高考综合改革省份之一，从2022年启动高考综合改革，2025年起实施．改革后，四川高考将不再分文理科，实行“3+1+2”模式，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应从历史和物理2门科目中首选1门科目，从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中再选2门科目．张颖同学从再选的4门科目中随机选择科目，恰好选到生物学和化学的概率为 16 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】16．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种，
∴恰好选择化学和生物的概率为212=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15．（3分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则3a2﹣6a+2021的值为 2024 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2024．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1，再把3a2﹣6a+2021变形为3（a2﹣2a）+2021，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a+2021＝3（a2﹣2a）+2021＝3×1+2021＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，AF＝BF，则CGGF的值是 83 ．
【考点】正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】83．
【分析】延长BE与CD的延长线相交于点H，设ED＝a，则AE＝3a，由正方形性质得AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AD∥BC，AB∥CD，进而得AF＝BF＝2a，HC＝HD+4a，证明△HED和△HBC性质，利用相似三角形性质得HD=4a3，则HC=16a3，再证明△CGH和△FGB性质，然后利用相似三角形性质即可得出答案．
【解答】解：延长BE与CD的延长线相交于点H，如图所示：
∵AE＝3ED，
∴设ED＝a，则AE＝3a，
∴AD＝AE+ED＝4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AD∥BC，AB∥CD，
∴AF＝BF=12AB＝2a，HC＝HD+CD＝HD+4a，
∵AD∥BC，
∴△HED∽△HBC，
∴HDHC=EDBC，
∴HDHD+4a=a4a，
∴HD=4a3，
∴HC＝HD+4a=4a3+4a=16a3，
∵AB∥CD，
∴△CGH∽△FGB，
∴CGGF=16a32a=83．
故答案为：83．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：2cs30°+（12）﹣1+|3−1|−12．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简分别计算即可．
【解答】解：2cs30°+（12）﹣1+|3−1|−12
=2×32+2+3−1−23
=3+2+3−1−23
＝1．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简是解题的关键．
18．（8分）计算：
（1）（a﹣2b）2+a（a+4b）；
（2）x2x2−2x+1÷（2x−1x−1−1）．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】计算题；整式；分式；运算能力．
【答案】（1）2a2+4b2；
（2）xx−1．
【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab+4b2+a2+4ab
＝2a2+4b2；
（2）原式=x2(x−1)2÷（2x−1x−1−x−1x−1）
=x2(x−1)2÷xx−1
=x2(x−1)2•x−1x
=xx−1．
【点评】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据整式和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
19．（8分）（1）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）
①用尺规作∠BAC的角平分线AE．
②用三角板作BC边上的高AD．
③用尺规作AB边上的垂直平分线．
（2）如图，OM，ON是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；三角形；几何直观．
【答案】（1）①如图所示，射线AE即为所求；
②如图所示，高AD即为所求；
③如图所示，MN为AB的垂直平分线；
（2）如图所示，点P为所求．
【分析】（1）①根据角平分线的做法作图即可；
②利用直角三角板，一条直角边与BC重合，另一条直角边过点A，再画垂线即可；
③根据线段垂直平分线的作法作图；
（2）连接AB，作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P．
【解答】解：（1）①如图所示，射线AE即为所求；
②如图所示，高AD即为所求；
③如图所示，MN为AB的垂直平分线；
（2）如图所示，点P为所求．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，尺规作图，正确地作出图形是解题的关键．
20．（8分）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值如表：
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长λ（m）关于频率f（MHz）的函数表达式．
（2）当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）λ=300f；
（2）6．
【分析】（1）根据变量的变化规律解答即可；
（2）将f＝50代入（1）中求得的函数表达式，求出对应λ的值即可．
【解答】解：（1）由表格可知，fλ＝300，
∴λ与f的函数表达式为λ=300f．
（2）当f＝50时，λ=30050=6，
答：当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是6m．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键．
21．（8分）3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校为提倡节约用水，增强节约用水意识，在七、八年级开展了节约用水知识竞赛活动（百分制）．七、八年级各有200名学生参加了知识竞赛活动，为了解两个年级的竞赛答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：a．七年级学生的成绩数据如下：（单位：分）
60 67 80 80 75 75 88 88 78 96
80 80 69 75 86 86 77 77 89 78
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如下：（数据分成四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）其中成绩在80≤x＜90的数据如下：（单位：分）
81 81 81 82 83 84 85 86 87 89
c．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ 80 ，n＝ 81 ；
（2）估计 八 年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多；
（3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计两个年级此次竞赛成绩优秀学生共有多少人？
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）80，81；
（2）八；
（3）210人．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义可得出答案；
（2）分别求出七、八年级的成绩在平均数以上的占比，再乘以总人数可得七、八年级学生的成绩高于平均分的总人数，比较即可；
（3）由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为1020=12，八年级成绩优秀的人数占比为1120，再用总数分别乘以所占的百分比，然后求和即可．
【解答】解：（1）根据七年级的成绩可知，出现次数最多的是80，所以m＝80，
由题意知，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是81，81，
∴n=81+812=81，
故答案为：80，81；
（2）由题意知，七年级成绩在平均分以上的有10人，占总数的1020=12，
∴估计七年级学生的成绩高于平均分的人数为200×12=100（人）；
八年级成绩在平均分以上的有11人，占总数的1120，
∴估计八年级学生的成绩高于平均分的人数为200×1120=110（人）；
∵100＜110，
∴估计八年级学生的成绩高于平均分的人数更多，
故答案为：八；
（3）200×1020+200×1120=210（人）．
答：估计两个年级此次竞赛成绩优秀学生共有210人．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数和众数，样本估计总体的思想等，从统计图和表中获取信息是解题的关键．
22．（10分）在如图1、图2，图3中，点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点：下面请你根据相应的条件解决问题．
特例探索：
（1）在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），∠EAF＝45°，延长CD至G，使DG＝BE，BE＝3，DF＝4．则EF＝ 7 ．
在图2中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，BE＝2，FD＝3；则EF＝ 5 ．
（2）归纳证明：在图3中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD．且∠EAF=12∠BAD，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）7；5；
（2）图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系是：EF＝BE+FD，证明如下：
延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图3所示：
∵∠ADG+∠BDC＝180°，∠B+∠BDC＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ADG和△ABE中，
AB=AD∠ADG=∠BDG=BE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF=12∠BAD，
∴∠DAG+∠DAF=12∠BAD，
即∠GAF=12∠BAD，
∴∠GAF＝∠EAF=12∠BAD，
在△GAF和△EAF中，
AG=AE∠GAF=∠EAFAF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∵FG＝DG+FD＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD．
【分析】（1）先依据“SAS”判定△ADG和△ABE全等得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，由此可证明∠EAF＝∠GAF＝45°，进而依据“SAS”判定△EAF和△GAF全等得EF＝FG，再根据FG＝DF+BE＝5可得EF的长；
延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，先依据“SAS”判定△ADG和△ABE全等得AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，由此可证明∠GAF＝∠EAF＝30°，进而依据“SAS”判定△GAF和△EAF全等得FG＝EF，再根据FG＝DF+BE＝2.5可得EF的长；
（2）延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，先证明∠ADG＝∠B，进而依据“SAS”判定△ADG和△ABE全等得AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，由此可证明∠GAF＝∠EAF=12∠BAD，继而依据“SAS”判定△GAF和△EAF全等得FG＝EF，再根据FG＝BE+FD可得线段BE，EF，FD之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵点G是CD延长线上的点，且DG＝BE，
∴∠ADG＝∠B＝90°，
在△ADG和△ABE中，
AD=AB∠ADG=∠B=90°DG=BE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DF+DG＝DF+BE，
∴EF＝DF+BE，
∵BE＝3，DF＝4，∴EF＝7，
故答案为：7；
延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图2所示：
∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠ADG＝∠B＝90°，
在△ADG和△ABE中，
AB=AD∠ADG=∠B=90°DG=BE
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝30°，
∴∠DAG+∠DAF＝30°，
即∠GAF＝30°，
∴∠GAF＝∠EAF＝30°，
在△GAF和△EAF中，
AG=AE∠GAF=∠EAFAF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∵FG＝DF+DG＝DF+BE，
∴EF＝DF+BE，
∵BE＝2，FD＝3，∴EF＝5，
故答案为：5；
（2）图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系是：EF＝BE+FD，证明如下：
延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图3所示：
∵∠ADG+∠BDC＝180°，∠B+∠BDC＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ADG和△ABE中，
AB=AD∠ADG=∠BDG=BE，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF=12∠BAD，
∴∠DAG+∠DAF=12∠BAD，
即∠GAF=12∠BAD，
∴∠GAF＝∠EAF=12∠BAD，
在△GAF和△EAF中，
AG=AE∠GAF=∠EAFAF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∵FG＝DG+FD＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23．（10分）经过市场调查发现，某商品的售价为每件70元时，每周可卖出300件．为扩大销售、增加盈利，采取降价措施，每降价1元，每周可多卖出15件．若商品的进价为每件40元，售价为多少时每周利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】售价为65元时，周利润最大，最大利润是9375元．
【分析】依据题意，设这种商品每件降价x元，商场销售这种商品每周的利润为y元，根据每周的利润等于每件的利润乘以销售量，可列出y关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：设这种商品每件降价x元，商场销售这种商品每周的利润为y元，由题意得：
y＝（70﹣40﹣x）（300+15x）
＝﹣15x2+150x+9000
＝﹣15（x﹣5）2+9375，
又∵70﹣x﹣40＞0，且x＞0，
∴0＜x＜30，
∵a＝﹣15＜0，
∴当x＝5时，y有最大值9375，即售价为70﹣5＝65元．
答：售价为65元时，周利润最大，最大利润是9375元．
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且点C是劣弧BD的中点，AC与BD交于点E，连接AD，BC，OC，OD．
（1）求证：△ADC∽△DEC；
（2）若AE＝2，EC＝1．求证：四边形DOBC是菱形；
（3）过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，则△OCH的面积等于 332 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）332．
【分析】（1）利用圆周角定理及相似三角形的判定定理即可得证；
（2）利用相似三角形的性质得到ACCD=CDCE，利用勾股定理求出AB，利用菱形的判定即可得证；
（3）利用切线的性质定理得到∠OCH＝90°，证明△OBC为等边三角形，利用勾股定理即可解答．
【解答】（1）证明：∵点C是劣弧BD的中点，
∴BC=CD，
∴∠DAC＝∠CDB，
∵∠ACD＝∠DCE，
∴△ADC∽△DEC．
（2）证明：∵AE＝2，EC＝1，
∴AC＝3，
∵△ADC∽△DEC，
∴ACCD=CDCE，
∴DC2＝CE•AC＝1×3＝3，
即CD=3，
∵点C是劣弧BD的中点，
∴OC是∠DOB的平分线，BC＝DC=3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+BC2=32+(3)2=23，
∴OB＝OC＝OD＝CD＝BC=3，
∴四边形DOBC为菱形．
（3）解：∵CH是⊙O的切线，
∴OC⊥CH，
即∠OCH＝90°，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠H＝180°﹣∠COB﹣∠OCH＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴OH=2OC=2×3=23，
∴CH=OH2−OC2=12−3=3，
∴S△OCH=12CH⋅OC=12×3×3=332．
【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质，切线的性质定理，菱形的判定定理，掌握这些性质定理是解题的关键．频率f（MHz）
5
10
15
20
25
30
波长λ（m）
60
30
20
15
12
10
年级
平均数
中位数
众数
七年级
79.2
79
m
八年级
80.3
n
78
思想政治
地理
化学
生物
思想政治
（思想政治，地理）
（思想政治，化学）
（思想政治，生物）
地理
（地理，思想政治）
（地理，化学）
（地理，生物）
化学
（化学，思想政治）
（化学，地理）
（化学，生物）
生物
（生物，思想政治）
（生物，地理）
（生物，化学）
频率f（MHz）
5
10
15
20
25
30
波长λ（m）
60
30
20
15
12
10
年级
平均数
中位数
众数
七年级
79.2
79
m
八年级
80.3
n
78