2026年广东省深圳市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案

这是一份2026年广东省深圳市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案，共26页。试卷主要包含了“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各对数中互为相反数的是（ ）
A．﹣（+5）和+（﹣5）B．+（﹣5）和﹣5
C．﹣（﹣5）和+（+5）D．﹣（﹣5）和﹣5
2．（3分）徐州剪纸是一种江苏省的传统民俗工艺品，鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2
B．（b﹣2a）（2a+b）＝b2﹣4a2
C．（a+b）2＝a2+b2
D．a2b+2a＝2ab
4．（3分）如图，△ABC与△DEF是点O为位似中心的位似图形，BC：EF＝2：3，若OB＝8，则BE的值是（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
6．（3分）一传送带和地面所成斜坡的坡比为1：2.4，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（ ）
A．12米B．13米C．24米D．26米
7．（3分）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学每人写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列方程为（ ）
A．x（x+1）＝1560B．x（x﹣1）＝1560
C．x（x+1）＝1560×2D．x（x﹣1）＝1560×2
8．（3分）你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ）
A．当t＝2s时，v＝20m/sB．当t＝2s时，h＝20m
C．v和h均随t的增大而增大D．t每增加1s，h的增加量相同
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）把多项式xy2﹣x分解因式的结果是 ．
10．（3分）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽3个、红枣粽5个，小明任意选取一个，选到豆沙粽的概率是 ．
11．（3分）计算：(−54)2024×(−0.8)2023= ．
12．（3分）已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（a，3），（﹣1，b）．设点P（x，y1）Q（x，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时x的取值范围为 ．
13．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D，AD＝6，点E为AC边的中点，点P为AD上一个动点，则PE+PC的最小值为 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（9分）计算：20230+(13)−1+2sin60°−|−3|．
15．（9分）先化简，再求值：(x2x−3−2xx−3)÷xx−3，其中x=2+1．
16．（9分）某校为了了解八年级学生对哪条研学线路最感兴趣，从该校八年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 名，在扇形统计图中，E所在的圆心角的度数是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校八年级有560名学生，请估计选择D“游山西，读汇通天下晋商史”的有多少人；
（4）小文和小尹作为本校八年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率．
17．（9分）为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍．
（1）求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？
18．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）FM⊥AB，垂足为M，若OM＝1，AC=42，求CD的长．
19．（9分）根据以下情境信息，探索完成任务．
20．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P，Q分别从点B，D同时出发，沿BD相向而行且运动速度均为每秒1个单位长度，当点Q到达点B时，两点均停止运动，设运动的时间为t．
（1）当t＝2秒时，PQ＝ ．
（2）若M，N分别是边AB，CD上的点，且AM＝CN，连结PM，MQ，QN，NP．
①当四边形PMQN是矩形时，请直接写出t的取值范围；
②在①的条件下，若△MNC是以MC为腰的等腰三角形，求t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各对数中互为相反数的是（ ）
A．﹣（+5）和+（﹣5）B．+（﹣5）和﹣5
C．﹣（﹣5）和+（+5）D．﹣（﹣5）和﹣5
【考点】相反数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】先把各项中多重符号化简，再根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：A、﹣（+5）＝﹣5，+（﹣5）＝﹣5，所以﹣（+5）＝+（﹣5），故此选项不符合题意；
B、+（﹣5）＝﹣5，故此选项不符合题意；
C、﹣（﹣5）＝5，+（+5）＝5，故此选项不符合题意；
D、﹣（﹣5）＝5，所以﹣（﹣5）和﹣5互为相反数，故此选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了化简多重符号、相反数，属于基础题目，熟知相反数的定义是关键．
2．（3分）徐州剪纸是一种江苏省的传统民俗工艺品，鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2
B．（b﹣2a）（2a+b）＝b2﹣4a2
C．（a+b）2＝a2+b2
D．a2b+2a＝2ab
【考点】平方差公式；合并同类项；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、平方差公式分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．2a+3a＝5a，故此选项不合题意；
B．（b﹣2a）（2a+b）＝b2﹣4a2，故此选项符合题意；
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意；
D．a2b和2a无法合并，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）如图，△ABC与△DEF是点O为位似中心的位似图形，BC：EF＝2：3，若OB＝8，则BE的值是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据位似图形的定义得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴OBOE=BCEF，
∴8OE=23，
∴OE＝12
∴BE＝OE﹣OB＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【考点】正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形；故不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形、正方形、矩形的判定，熟练掌握菱形、正方形、矩形的判定定理是解题的关键．
6．（3分）一传送带和地面所成斜坡的坡比为1：2.4，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（ ）
A．12米B．13米C．24米D．26米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据坡度的概念求出物体运动的水平距离，再根据勾股定理求出物体所经过的路程．
【解答】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡比为1：2.4，
∴物体从地面送到离地面的高度：物体运动的水平距离＝1：2.4，
∵物体从地面送到离地面10米高的地方，
∴物体运动的水平距离为24米，
由勾股定理得：物体所经过的路程为：102+242=26（米），
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
7．（3分）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学每人写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列方程为（ ）
A．x（x+1）＝1560B．x（x﹣1）＝1560
C．x（x+1）＝1560×2D．x（x﹣1）＝1560×2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】每名学生需要给其他（x﹣1）名学生写留言，因此总留言数为x（x﹣1）份，根据题意列出方程即可．
【解答】解：∵全班有x名学生，且每名同学都要给其他同学每人写一份毕业留言作为纪念，
∴每名同学需写（x﹣1）份毕业留言．
根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
8．（3分）你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ）
A．当t＝2s时，v＝20m/s
B．当t＝2s时，h＝20m
C．v和h均随t的增大而增大
D．t每增加1s，h的增加量相同
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】D
【分析】根据函数图象，逐一判断选项的正误即可．
【解答】解：A．由题图②可知，当t＝2s时，v＝20m/s，不符合题意；
B．由题图③可知，当t＝2s时，h＝20m，不符合题意：
C．由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，不符合题意：
D．由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加1s，h的增加量不同．符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，结合函数的图象理解题目意思是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）把多项式xy2﹣x分解因式的结果是 x（y﹣1）（y+1） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】x（y﹣1）（y+1）．
【分析】先提取公因式x，再用平方差公式分解因式．
【解答】解：xy2﹣x
＝x（y2﹣1）
＝x（y﹣1）（y+1），
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
【点评】本题主要考查分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．（3分）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽3个、红枣粽5个，小明任意选取一个，选到豆沙粽的概率是 38 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】38．
【分析】根据概率公式即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：粽子总数为8个，其中3个为豆沙粽，
所以小明任意选取一个，选到豆沙粽的概率是38．
故答案为：38．
【点评】本题主要考查了根据概率公式求解概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．
11．（3分）计算：(−54)2024×(−0.8)2023= −54 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】−54．
【分析】先将小数改写成分数，再利用积的乘方的逆运算法则进行解答即可．
【解答】解：(−54)2024×(−0.8)2023
=(−54)2024×(−45)2023
=(−54)2023×(−45)2023×(−54)
=[(−54)×(−45)]2023×(−54)
=1×(−54)
=−54．
故答案为：−54．
【点评】本题考查了逆用积的乘方，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则．
12．（3分）已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（a，3），（﹣1，b）．设点P（x，y1）Q（x，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时x的取值范围为 x＞2或﹣1＜x＜0 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】x＞2或﹣1＜x＜0．
【分析】把A（a，3），B（﹣1，b）分别代入一次函数y1＝3x﹣3中，即可求得a、b的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，根据交点坐标，再结合函数图象即可解答．
【解答】解：∵一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b），
∴3＝3a﹣3，b＝﹣3﹣3，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴A（2，3），B（﹣1，﹣6），
把A（2，3）代入反比例函数y2=mx，则3=m2，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式是y2=6x；
∵点P（x，y1），Q（x，y2）分别是两函数图象上的点．

当y1＞y2时x的取值范围是x＞2或﹣1＜x＜0．
故答案为：x＞2或﹣1＜x＜0．
【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，求得反比例函数解析式是解题的关键．
13．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D，AD＝6，点E为AC边的中点，点P为AD上一个动点，则PE+PC的最小值为 6 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将PC转化为PB，根据两点之间线段最短，确定PC+PE最小时的情况，根据全等三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：如图，连接PB，BE，
∵等边三角形ABC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴PC＝PB，
∴PC+PE＝PB+PE，
当P、B、E共线时，PB+PE最小，即PC+PE最小，最小值为BE的长．
又∵E是AC中点，△ABC是等边三角形，
∴∠BAD=12∠BAC=12∠ABC=30°=∠CBE，AB＝BC，∠BEC＝∠ADB＝90°，
∴△BEC≌△ADB（ASA），
∴BE＝AD＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质（三线合一），线段垂直平分线的性质，轴对称﹣最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（9分）计算：20230+(13)−1+2sin60°−|−3|．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】1+3．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：20230+(13)−1+2sin60°−|−3|
＝1+3+2×32−3
＝1+3+3−3
＝1+3．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
15．（9分）先化简，再求值：(x2x−3−2xx−3)÷xx−3，其中x=2+1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x﹣2，2−1．
【分析】先进行括号内的同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝x﹣2，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=x2−2xx−3•x−3x
=x(x−2)x−3•x−3x
＝x﹣2，
当x=2+1时，原式=2+1﹣2=2−1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
16．（9分）某校为了了解八年级学生对哪条研学线路最感兴趣，从该校八年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 80 名，在扇形统计图中，E所在的圆心角的度数是 90 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校八年级有560名学生，请估计选择D“游山西，读汇通天下晋商史”的有多少人；
（4）小文和小尹作为本校八年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式；条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）80，90；
（2）图形见解析；
（3）估计选择“D游山西，读汇通天下晋商史”的有119人；
（4）15．
【分析】（1）由A的人数和所占百分比求出调查的学生人数，由360°乘以E所占的比例即可；
（2）求出D的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）由该校八年级共有的学生人数乘以D所占的比例即可；
（4）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小文和小尹选择同一条线路的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：16÷20%＝80（名），
在扇形统计图中，E所在的圆心角的度数是360°×2080=90°，
故答案为：80，90；
（2）D的人数为：80﹣16﹣13﹣14﹣20＝17（名），
将条形统计图补充完整如图：
（3）560×1780=119（人），
答：估计选择“D游山西，读汇通天下晋商史”的有119人；
（4）画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小文和小尹选择同一条线路的结果有5种，
∴小文和小尹选择同一条线路的概率为525=15．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（9分）为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍．
（1）求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元；
（2）至少购进“乾坤圈”牌的服装28套．
【分析】（1）设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为（x﹣25）元，根据哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装（2a+4）套，根据两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，列出一元一次不等式，解之取其最小整数值即可．
【解答】解：（1）设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为（x﹣25）元，
由题意得：2000x=750x−25×2，
解得：x＝100，
经检验：x＝100是原分式方程的解，且符合题意，
∴x﹣25＝100﹣25＝75，
答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元；
（2）设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装（2a+4）套，
由题意得：（130﹣100）a+（95﹣75）（2a+4）≥2000，
解得：a≥2737，
∵a为整数，
∴a的最小值为28，
答：至少购进“乾坤圈”牌的服装28套．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
18．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）FM⊥AB，垂足为M，若OM＝1，AC=42，求CD的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）CD的长为423．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，由FA＝FE，得∠FEA＝∠FAE，可证明∠BEC＝∠BCE，因为∠DCE＝∠ACE，所以∠BDC＝∠DCE+∠BEC＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，则CD⊥AB；
（2）连接OF，则AB＝2FO，由FM⊥AB于点M，得∠FMO＝90°，由∠ACF=12∠FOM，∠ACF＝∠DCF=12∠ACD，推导出∠FOM＝∠ACD＝∠B，即可由OMFO=cs∠FOM＝csB=BCAB，求得BC=ABFO•OM＝2，而AC＝42，则AB=AC2+BC2=6，因为sinB=CDBC=ACAB，所以CD=AC⋅BCAB=423．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵FA＝FE，
∴∠FEA＝∠FAE，
∵∠FEA＝∠BEC，∠FAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，
∴∠DCE＝∠ACE，
∴∠BDC＝∠DCE+∠BEC＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB．
（2）解：连接OF，则AB＝2FO，
∵FM⊥AB，垂足为M，
∴∠FMO＝∠ACB＝90°，
∵∠ACF=12∠FOM，∠ACF＝∠DCF=12∠ACD，
∴12∠FOM=12∠ACD，
∴∠FOM＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠B＝90°﹣∠BCD，
∴∠FOM＝∠B，
∴OMFO=cs∠FOM＝csB=BCAB，
∴BC=ABFO•OM=2FOFO×1＝2，
∵AC＝42，
∴AB=AC2+BC2=(42)2+22=6，
∵sinB=CDBC=ACAB，
∴CD=AC⋅BCAB=42×26=423，
∴CD的长为423．
【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
19．（9分）根据以下情境信息，探索完成任务．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】任务一：y=−125x2+6；
任务二：14.5m；
任务三：a的最大值分别为2.4和2.9．
【分析】任务一：以G为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得出E（0，6），结合D（10，2）算出抛物线的表达式；
任务二：设圆心为O，劣弧AED所在圆的半径为R，连结OE交AD于点F，连结OD．得出OF垂直平分AD，DF＝10，OF＝R﹣4，在Rt△DOF中用勾股定理即可求解；
任务三：（1）按方案一改造．当y＝5.5时，求出x=±522，即可求解．
（2）按方案二改造．由题意知改造后为双向车道，且隔离带宽为a，作MN⊥OE于点N．由任务二知半径OM＝14.5m．求出GN＝5.5时，ON的值，在Rt△OMN中由勾股定理求出MN，即可求解．
【解答】解：任务一：如图1，以G为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，∵EG＝6，
∴E（0，6），
故设抛物线的表达式为y＝ax2+6，
把点D（10，2）代入得：100a+6＝2，
解得：a=−125．
∴y=−125x2+6．
任务二：如图2，设圆心为O，劣弧AED所在圆的半径为R，连结OE交AD于点F，连结OD．
由题意得OF垂直平分AD，
∵BC＝20，
∴DF＝10，OF＝R﹣（6﹣2）＝R﹣4．
在Rt△DOF中，由勾股定理，得DF2+OF2＝OD2，
即102+（R﹣4）2＝R2，解得R＝14.5．
即劣弧AED所在圆的半径为14.5m．
任务三：
（1）按方案一改造．
解：当y＝5.5时，5.5=−125x2+6，
解得：x=±522．
∴a≤2(522−2.3)=52−4.6≈2.45．
从而a的最大值为2.4．
（2）按方案二改造．理由如下：
如图3，由题意易知改造后为双向车道，且隔离带宽为a，
∴MN=2.3+a2，
作MN⊥OE于点N．
由任务二知半径OM＝14.5m．
当GN＝5.5时，ON＝OG+GN＝（14.5﹣6）+5.5＝14．
在Rt△OMN中，由勾股定理得：MN=14．52−142=572，
∴2.3+a2=572，
解得a=57−4.6≈2.95．
从而a的最大值为2.9．
综上所述，a的最大值分别为2.4和2.9．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式求解，垂径定理，勾股定理以及线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
20．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P，Q分别从点B，D同时出发，沿BD相向而行且运动速度均为每秒1个单位长度，当点Q到达点B时，两点均停止运动，设运动的时间为t．
（1）当t＝2秒时，PQ＝ 6 ．
（2）若M，N分别是边AB，CD上的点，且AM＝CN，连结PM，MQ，QN，NP．
①当四边形PMQN是矩形时，请直接写出t的取值范围；
②在①的条件下，若△MNC是以MC为腰的等腰三角形，求t的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）6；
（2）①t的取值范围为0＜t≤2或8≤t＜10；
②15−973秒或54秒．
【分析】（1）先矩形的性质及勾股定理求出BD=AB2+AD2=10，再根据题意可得0≤t≤10，DQ＝BP＝t，当t＝2秒时，得DQ＝BP＝2，可得答案；
（2）①如图，连接MN交BD于点O，连接AO，证明△OBM≌△ODN（ASA）得OM＝ON，OB＝OD，继而得到OA=12BD=5=OB=OD，则OP＝5﹣t，根据矩形的性质得OM＝OP＝5﹣t，根据垂线段最短，当OM⊥AB时，OM的长度最小，然后分两种情况：当点P在线段OB上时，当点P在线段OD上时，分别求解即可；
②分两种情况：当MC＝MN时，当MC＝NC时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
在直角三角形ABD中，AB＝8，AD＝6，
由勾股定理得：BD=AB2+AD2=82+62=10，
∵动点P，Q分别从点B，D同时出发，沿BD相向而行，且运动速度均为每秒1个单位长度，运动的时间为t，
∴0≤t≤10，DQ＝BP＝t，
当t＝2秒时，DQ＝BP＝2，
∴PQ＝BD﹣DQ﹣BP＝10﹣2﹣2＝6，
故答案为：6；
（2）①t的取值范围为0＜t≤2或8≤t＜10；理由如下：
如图1，四边形ABCD是矩形，AM＝CN，连接MN交BD于点O，连接AO，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠BMO＝∠DNO，∠MBO＝∠NDO，BM＝DN，
在△OBM和△ODN中，
∠BMO=∠DNOBM=DN∠MBO=∠NDO，
∴△OBM≌△ODN（ASA），
∴OB＝OD，OM＝ON，
∵BD＝10，∠BAD＝90°，
∴OA=12BD=5=OB=OD，
∵四边形PMQN是矩形，
∴OM＝OP，
当OM⊥AB时，OM的长度最小，
此时点M为AB的中点，
∵OB＝OD，即点O为BD的中点，
∴OM为△ABD的中位线，
∴OP=OM=12AD=12×6=3，
当点P在线段OB上时，
3≤OP＜OB，即3≤5﹣t＜5，
∴0＜t≤2；
当点P在线段OD上时，
OP＝t﹣5，且3≤OP＜5，
即3≤t﹣5＜5，
∴8≤t＜10；
综上所述，当四边形PMQN是矩形时，t的取值范围为0＜t≤2或8≤t＜10；
②当MC＝MN时，如图2，过点O作OE⊥AB于点E，
由①知：OE＝3，点E为AB的中点，OM＝5﹣t，
∴MC＝MN＝2OM＝2（5﹣t），∠OEM＝90°，∠MNC＝∠MCN＜90°，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，BC＝AD＝6，EB=12AB=12×8=4，
∴∠AMN＝∠MNC＝∠MCN＜90°，
∴点M线段EB上，
在Rt△OEM中，由勾股定理得：EM=OM2−OE2=(5−t)2−32，
在Rt△CBM中，由勾股定理得：BM=MC2−BC2=[2(5−t)]2−62=2(5−t)2−32，
∴BM＝2EM，
∴BM=23EB=23×4=83，
在Rt△CBM中，由勾股定理得：MC2＝BM2+BC2，
∴[2(5−t)]2=(83)2+62，
解得：t=15+973（不合题意，舍去）或t=15−973；
当MC＝NC时，如图3，过点M作MF⊥CD于点F，
∴∠MFD＝90°，
由①知：OM＝5﹣t，点O为MN和BD的中点，
∴MN＝2OM＝2（5﹣t），OC⊥MN，∠CMN＝∠CNM＜90°，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°＝∠MFD，AB∥DC，
∴四边形ADFM是矩形，OC=12BD=12×10=5，∠AMN＝∠CNM＝∠CMN＜90°，
∴MF＝AD＝6，点M线段AB中点的右侧，
∵S△CMN=12NC⋅MF=12MN⋅OC，
∴NC=MN⋅OCMF=2(5−t)×56=5(5−t)3，
在Rt△OCN中，由勾股定理得：NC2＝ON2+OC2，
∴[5(5−t)3]2=(5−t)2+52，
解得：t=354（舍去）或t=54；
综上所述，在①的条件下，若△MNC是以MC为腰的等腰三角形，t的值为15−973秒或54秒．
【点评】本题属于四边形综合题，考查矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等知识点．正确理解题意，掌握利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．公路涵洞改造方案的设计与解决
情境1
图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点O的劣弧AED和矩形ABCD构成．测得公路宽BC＝12m，涵洞直壁高AB＝2m，涵洞顶端E高出道路（BC）6m（即EG＝6m）．
情境2
现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为a（m）的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽BC＝20m，涵洞直壁高AB和涵洞顶端E到BC的距离保持不变．
改造方案
方案一
如图4，将涵洞上半部分劣弧AED改造成顶点为E的抛物线一部分的形式．
方案二
如图5，将涵洞上半部分劣弧AED改造成仍为劣弧的形式
问题解决
任务1
按方案一改造
以点G为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
按方案二改造
求涵洞上半部分劣弧AED所在圆的半径．
任务3
隔离带最大宽度a的确定
要使高5.5m，宽2.3m的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下a的最大值（2≈1.41，57≈7.55，结果精确到0.1m）．
公路涵洞改造方案的设计与解决
情境1
图1是某公路涵洞，图2是其截面示意图，它由圆心在点O的劣弧AED和矩形ABCD构成．测得公路宽BC＝12m，涵洞直壁高AB＝2m，涵洞顶端E高出道路（BC）6m（即EG＝6m）．
情境2
现需对公路进行拓宽，改造成双向隔离车道，并同步拓宽涵洞，中间设置宽为a（m）的隔离带，两边为机动车道．如图3，改造后的公路宽BC＝20m，涵洞直壁高AB和涵洞顶端E到BC的距离保持不变．
改造方案
方案一
如图4，将涵洞上半部分劣弧AED改造成顶点为E的抛物线一部分的形式．
方案二
如图5，将涵洞上半部分劣弧AED改造成仍为劣弧的形式
问题解决
任务1
按方案一改造
以点G为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
按方案二改造
求涵洞上半部分劣弧AED所在圆的半径．
任务3
隔离带最大宽度a的确定
要使高5.5m，宽2.3m的货运车能通过此公路涵洞，分别求出两种改造方案下a的最大值（2≈1.41，57≈7.55，结果精确到0.1m）．