2026年广东省深圳市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案 (2)

这是一份2026年广东省深圳市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案 (2)，共27页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）0.5的倒数是（ ）
A．5B．2C．﹣0.5D．﹣2
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（3分）十四届全国人大三次会议3月5日上午9时在人民大会堂开幕，李强作政府工作报告，报告中提到：过去一年，国内生产总值达到134.9万亿元、增长5%，增速居世界主要经济体前列，对全球经济增长的贡献率保持在30%左右，其中134.9万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.349×108B．1.349×1012
C．1.349×1013D．1.349×1014
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．23−3=2D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）《数学之美》特种邮票于今年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（ ）
A．13B．14C．34D．16
6．（3分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两条弧交于点P，射线AP交CD于点M，若∠ACD＝114°，则∠AMC的度数为（ ）
A．33°B．35°C．38°D．57°
7．（3分）暑假期间八（1）班的学生在社区开展志愿服务，他们分成5个小组，共需制作360面彩旗，已知每组人数相同，人均工作量相同，现在因1个小组另有任务，其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务，如果设每个小组有学生x名，那么可以列方程（ ）
A．3605x−360x=2B．3605x+3604x=2
C．3604x−3605x=2D．3605x−3604x=2
8．（3分）如图，某公园内有一斜坡AB，坡度i=1：3，AB＝60米，斜坡AB上有一古树OP，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为60°，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为15°，则古树OP的高为（ ）米．
A．60−203B．30C．603−60D．303
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：a2b﹣12ab+36b＝ ．
10．（3分）县林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 ．
11．（3分）如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线AB上，且小量角器的中心点O恰好在大量角器的外边缘上．若它们外边缘上的公共点C在大量角器上对应的度数为50°，则∠ABC的度数为 ．
12．（3分）如图，等腰△ABO的边OA在x轴的负半轴上，点B在第二象限且△ABO的面积为6．反比例函数y=kx的图象经过点B，则k的值是 ．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=AC=45，tanB＝2，点E为BC边上一点，BE＝6，点F是AB边上的动点，将△BEF沿直线EF折叠得到△GEF，若点G恰好落在线段DE上，则AFBF的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（7分）计算：−(−1)2024+(12)−1−(3.14−π)0+|−4|．
15．（9分）先化简，再求值：(1+2x−1)÷x+1x2−2x+1，其中x＝2．
16．（9分）为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了校园安全知识宣传活动，并组织全校所有学生参加“校园安全知识”答题竞赛．现从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100）．下面给出了部分信息：
八年级10名学生的竞赛成绩分别是：81，87，98，97，90，95，98，83，89，92．
九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，94，91，90．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a的值为 ，b的值为 ，c的值为 ，d的值为 ．
（2）你认为该校八、九年级中哪个年级学生在此次竞赛中的成绩更好？请判断并说明理由．
（3）该校八年级有650名学生，九年级有600名学生参加了此次竞赛，请估计该校八、九年级此次竞赛成绩为优秀（x≥95）的学生总人数．
17．（9分）某商场售出A，B两种型号的空调，已知2台A型空调和3台B型空调总售价为19000元，3台A型空调和7台B型空调的总售价为36000元．
（Ⅰ）求A，B两种型号空调每台的售价各是多少元？
（Ⅱ）为了增加A型空调的销量，商场在“五一”和“6•18”期间对A型空调搞了两次“以旧换新”活动：购买一台A型空调，可以用一台旧空调抵价1000元（每台A型空调最多允许用一台旧空调抵价）．
已知“五一”促销，售出的A型空调和收到的旧空调共30台；“6•18”促销，售出A型空调a台，收到的旧空调是“6•18”促销活动中售出A型空调台数的13，统计两次促销活动，收到的旧空调台数是一共售出的A型空调台数的12．
①“五一”促销活动中售出的A型空调的台数为 （用含a的代数式表示）；
②若两次促销活动A型空调的总销售额超过了157000元，求a的最小值．
18．（9分）如图，△ADP是直角三角形，∠PAD＝90°，以AD为直径作⊙O，与PD相交于点B，连接AB．
（1）尺规作图：在劣弧BD上取点C，使得弧AB＝弧BC，连接AC，交BD于点E；
（2）在（1）的条件下，求证：△ABE∽△DBA；
（3）在（2）的条件下，连接CD，若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
19．（9分）根据以下素材，探索完成任务．
20．（9分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．试判断DG与CF的位置关系，并证明所得的结论；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当sinα=55时，判断△BFH的形状，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）0.5的倒数是（ ）
A．5B．2C．﹣0.5D．﹣2
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：∵0.5=12，12的倒数为2，
∴0.5的倒数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：第一个图形是中心对称图形，符合题意；
第二个图形是中心对称图形，符合题意；
第三个图形是中心对称图形，符合题意；
第四个图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键．
3．（3分）十四届全国人大三次会议3月5日上午9时在人民大会堂开幕，李强作政府工作报告，报告中提到：过去一年，国内生产总值达到134.9万亿元、增长5%，增速居世界主要经济体前列，对全球经济增长的贡献率保持在30%左右，其中134.9万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.349×108B．1.349×1012
C．1.349×1013D．1.349×1014
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：134.9万亿＝134900000000000＝1.349×1014．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．23−3=2D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，二次根式的减法的法则，完全平方公式对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B符合题意；
C、23−3=3，故C不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的减法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）《数学之美》特种邮票于今年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（ ）
A．13B．14C．34D．16
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】先画出树状图，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：设“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”、“莫比乌斯带”的4张邮票分别记为A、B、C、D，
树状图如下：
由上可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票图案名称不相同的结果有12种，
∴两次抽取的邮票图案名称不相同的概率是1216=34，
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
6．（3分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两条弧交于点P，射线AP交CD于点M，若∠ACD＝114°，则∠AMC的度数为（ ）
A．33°B．35°C．38°D．57°
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【答案】A
【分析】也考查了平行线的性质．利用基本作图可判断AM平分∠CAB，则∠CAM＝∠BAM，再根据平行线的性质得到∠BAC+∠C＝180°，则∠BAC＝66°，从而得到∠CAM的度数，最后由三角形内角和求解即可．
【解答】解：由作法得AM平分∠CAB，
∴∠CAM＝∠BAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C＝180°，
∵∠ACD＝114°，
∴∠BAC＝66°，
∴∠CAM=12∠BAC=33°．
∴∠AMC＝180°﹣∠CAM﹣∠ACD＝33°．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
7．（3分）暑假期间八（1）班的学生在社区开展志愿服务，他们分成5个小组，共需制作360面彩旗，已知每组人数相同，人均工作量相同，现在因1个小组另有任务，其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务，如果设每个小组有学生x名，那么可以列方程（ ）
A．3605x−360x=2B．3605x+3604x=2
C．3604x−3605x=2D．3605x−3604x=2
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设每个小组有学生x名，根据题意“其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务”列出分式方程，即可求解．
【解答】解：根据题意可列方程得：
3604x−3605x=2，
故选：C．
【点评】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．
8．（3分）如图，某公园内有一斜坡AB，坡度i=1：3，AB＝60米，斜坡AB上有一古树OP，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为60°，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为15°，则古树OP的高为（ ）米．
A．60−203B．30C．603−60D．303
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】作BD∥AC，如图所示，由斜坡AB的坡度i＝1：3，得到tan∠BAC=13=33，求得∠POB＝60°，过PO⊥AB于点E，推出EP＝EB，设EP＝EB＝x，得到EF=33x，PO＝AO=233=x，于是得到结论．
【解答】解：作BD∥AC，如图所示，
∵斜坡AB的坡度i＝1：3，
∴tan∠BAC=13=33，
∴∠BAC＝30°，
∵∠PAC＝60°，
∴∠PAF＝∠APO＝30°，
∴∠POB＝60°，
过PE⊥AB于点E，
∵∠PBD＝15°，BD∥AC，
∴∠DBA＝∠BAC＝30°，
∴∠EBP＝45°，
∴EP＝EB，
设EP＝EB＝x，
∴EF=33x，PO＝AO =233x，
∵AO+OE+EB＝AB＝60米，
∴233x+33x+x＝60，
解得，x＝303−30，
∴OP＝（60﹣203）米，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数进行解答，注意挖掘题目中的隐含条件．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：a2b﹣12ab+36b＝b（a﹣6）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】b（a﹣6）2．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝b（a2﹣12a+36）
＝b（a﹣6）2，
故答案为：b（a﹣6）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．（3分）县林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 0.9 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】0.9
【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
11．（3分）如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线AB上，且小量角器的中心点O恰好在大量角器的外边缘上．若它们外边缘上的公共点C在大量角器上对应的度数为50°，则∠ABC的度数为 32.5° ．
【考点】圆周角定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】32.5°．
【分析】连接AC，CO′，利用圆周角定理、直角三角形的性质求出∠ACO′＝90°，∠CO′A＝65°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ABC即可．
【解答】解：如图所示：连接AC，CO′，
∵AO′是圆O的直径，
∴∠ACO′＝90°，
∵O′C＝O′B，
∴∠CBA＝∠BCO′，
∵∠COB＝50°，
∴∠CAO＝25°，
∴∠CO′A＝65°，
∴∠ABC=12∠CO′A=32.5°，
故答案为：32.5°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题关键是熟练掌握利用圆周角定理、直角三角形的性质求出答案．
12．（3分）如图，等腰△ABO的边OA在x轴的负半轴上，点B在第二象限且△ABO的面积为6．反比例函数y=kx的图象经过点B，则k的值是 ﹣6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】连接BC，根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
【解答】解：根据三角形图形显示，AB＝BO，作BC⊥x轴，垂足为C，
∵AB＝BO，BC⊥x轴，
∴AC＝OC，
∴S△ABC＝S△OBC=12S△ABO，
∵△ABO的面积为6．
∴S△ABC＝S△OBC＝3，
∵点B在反比例函数图象上，
∴丨k丨＝2S△OBC＝2×3＝6，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=AC=45，tanB＝2，点E为BC边上一点，BE＝6，点F是AB边上的动点，将△BEF沿直线EF折叠得到△GEF，若点G恰好落在线段DE上，则AFBF的值为 13 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】13．
【分析】作AM⊥BC于M，作DN⊥BC交BC延长线于N，用勾股定理求出BM的长，进而可求AM、BC，证明Rt△ABM≌Rt△DCN（HL），得BM＝CN，进而可用勾股定理求DE=EN2+DN2=62+82=10，分别延长EF，DA交于点P，由翻折可知，∠BEP＝∠DEP＝∠DPE，DE＝DP＝10，进而可得PA＝10﹣8＝2，根据PD∥BC，得AFBF=PABE=26=13．
【解答】解：作AM⊥BC于M，作DN⊥BC交BC延长线于N，
∴△ABM、△DCN都是直角三角形，
在△ABC中，
∵tanB＝2，
∴tanB=AMBM=2，
∴AM＝2BM，
∵AB=AC=45，BM2+AM2＝AB2，
即BM2+(2BM)2=(45)2，
∴BM＝4，AM＝8，
∵BM=12BC，
∴BC＝8，
∴EC＝ME＝2，
∵▱ABCD中，AB＝CD，BC＝AD＝8，AM＝DN，
∴EN=EC+CN=EC+BM=6，DN=AM=8，DE=EN2+DN2=62+82=10，
∴BM＝CN，
∴EN＝EC+CN＝ME+BM＝6，DN＝AM＝8，
∴DE=EN2+DN2=62+82=10，
分别延长EF，DA交于点P，
由翻折可知，∠BEP＝∠DEP＝∠DPE，
∴DE＝DP＝10，
∴PA＝10﹣8＝2，
∵PD∥BC，
∴△APF∽△BEF，
∴AFBF=PABE=26=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了翻折背景下勾股定理和相似三角形性质和判定的运用，及平行四边形的性质，解直角三角形，根据题意画出图形是突破该题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（7分）计算：−(−1)2024+(12)−1−(3.14−π)0+|−4|．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】4．
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂及乘方、绝对值，最后计算加减法即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣1+4＝4．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
15．（9分）先化简，再求值：(1+2x−1)÷x+1x2−2x+1，其中x＝2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x﹣1，1
【分析】先将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则计算得出化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【解答】解：原式=(x−1x−1+2x−1)⋅(x−1)2x+1
=x+1x−1⋅(x−1)2x+1
＝x﹣1，
当x＝2时，
原式＝2﹣1＝1．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，把所求式子化简．
16．（9分）为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了校园安全知识宣传活动，并组织全校所有学生参加“校园安全知识”答题竞赛．现从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100）．下面给出了部分信息：
八年级10名学生的竞赛成绩分别是：81，87，98，97，90，95，98，83，89，92．
九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，94，91，90．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a的值为 108 ，b的值为 91 ，c的值为 90.5 ，d的值为 98 ．
（2）你认为该校八、九年级中哪个年级学生在此次竞赛中的成绩更好？请判断并说明理由．
（3）该校八年级有650名学生，九年级有600名学生参加了此次竞赛，请估计该校八、九年级此次竞赛成绩为优秀（x≥95）的学生总人数．
【考点】方差；用样本估计总体；扇形统计图；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）108；91；90.5；98；
（2）八年级，见解析；
（3）440人．
【分析】（1）用360乘以九年级D组的人数占比即可求出第一空答案，再根据中位数，平均数和众数的定义求解即可；
（2）八年级成绩的平均数，中位数和众数均大于九年级据此可得结论；
（3）用八年级，九年级对应的人数分别乘以样本中对应的优秀人数占比，再求和即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，α=360×(1−10%−20%−410×100%)=108；
b=81+87+98+97+90+95+98+83+89+9210=91；
10×（10%+20%）＝3，则九年级A、B两个组一共有3人，
把九年级10名学生成绩按照从低到高排列，中位数是第5名和第6名的平均成绩，则c=90+912=90.5；
∵八年级成绩为98分的人数最多，
∴八年级的众数为98分，即d＝98；
故答案为：108；91；90.5；98；
（2）八年级成绩更好，理由如下：
∵八年级成绩的平均数，中位数和众数均大于九年级，
∴八年级的成绩更好；
（3）∵八年级优秀所占百分比为410×100%=40%，
∴650×40%+600×(1−10%−20%−410×100%)=260+180=440（人），
答：估计该校八、九年级此次竞赛成绩为优秀（x≥95）的学生总人数为440人．
【点评】本题主要考查了求中位数，众数，平均数，用样本估计总体，扇形统计图等等，熟知相关知识是解题的关键．
17．（9分）某商场售出A，B两种型号的空调，已知2台A型空调和3台B型空调总售价为19000元，3台A型空调和7台B型空调的总售价为36000元．
（Ⅰ）求A，B两种型号空调每台的售价各是多少元？
（Ⅱ）为了增加A型空调的销量，商场在“五一”和“6•18”期间对A型空调搞了两次“以旧换新”活动：购买一台A型空调，可以用一台旧空调抵价1000元（每台A型空调最多允许用一台旧空调抵价）．
已知“五一”促销，售出的A型空调和收到的旧空调共30台；“6•18”促销，售出A型空调a台，收到的旧空调是“6•18”促销活动中售出A型空调台数的13，统计两次促销活动，收到的旧空调台数是一共售出的A型空调台数的12．
①“五一”促销活动中售出的A型空调的台数为 20−19a （用含a的代数式表示）；
②若两次促销活动A型空调的总销售额超过了157000元，求a的最小值．
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（Ⅰ）每台A型空调的售价是5000元，每台B型空调的售价是3000元；
（Ⅱ）①20−19a；
②a的最小值为18．
【分析】（Ⅰ）设每台A型空调的售价是x元，每台B型空调的售价是y元，根据“2台A型空调和3台B型空调总售价为19000元，3台A型空调和7台B型空调的总售价为36000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（Ⅱ）①设“五一”促销活动中售出A型空调m台，则收到旧空调（30﹣m）台，根据“统计两次促销活动，收到的旧空调台数是一共售出的A型空调台数的12”，可列出关于m的一元一次方程（a当成常数），解之即可用含a的代数式表示出m的值；
②利用总销售额＝销售单价×销售数量，结合两次促销活动A型空调的总销售额超过了157000元，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合a，（20−19a）均为正整数，即可得出a的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设每台A型空调的售价是x元，每台B型空调的售价是y元，
根据题意得：2x+3y=190003x+7y=36000，
解得：x=5000y=3000．
答：每台A型空调的售价是5000元，每台B型空调的售价是3000元；
（Ⅱ）①设“五一”促销活动中售出A型空调m台，则收到旧空调（30﹣m）台，
根据题意得：30﹣m+13a=12（m+a），
解得：m＝20−19a，
∴“五一”促销活动中售出A型空调（20−19a）台．
故答案为：20−19a；
②根据题意得：5000×12（20−19a+a）+（5000﹣1000）×12（20−19a+a）＞157000，
解得：a＞674，
又∵a，（20−19a）均为正整数，
∴a的最小值为18．
答：a的最小值为18．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（Ⅰ）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（Ⅱ）①根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出“五一”促销活动中售出的A型空调的台数；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．（9分）如图，△ADP是直角三角形，∠PAD＝90°，以AD为直径作⊙O，与PD相交于点B，连接AB．
（1）尺规作图：在劣弧BD上取点C，使得弧AB＝弧BC，连接AC，交BD于点E；
（2）在（1）的条件下，求证：△ABE∽△DBA；
（3）在（2）的条件下，连接CD，若E为BD的中点，求tan∠ADC的值．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）证明见解析；
（3）22．
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据圆周角定理得出∠ADB＝∠EAB，即可得证△ABE∽△DBA；
（3）设BE＝DE＝a，则BD＝2a，根据线段比例关系得出AB=2a，根据勾股定理得出AE=3a，证明△ABE∽△DCE，根据线段比例关系得出CD=63a，CE=33a，AC＝AE+EC=433a，即可得出tan∠ADC的值．
【解答】（1）解：如图，
（2）证明：∵AB=BC，
∴∠ADB＝∠EAB，
又∵∠ABD＝∠EBA，
∴△ABE∽△DBA；
（3）解：设BE＝DE＝a，则BD＝2a，
∵△ABE∽△DBA，
∴ABBD=BEAB，
即AB2a=aAB，
故AB=2a，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=3a，
∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABDC=BECE=AEDE，
即2CD=aCE=3aa，
故CD=63a，CE=33a，
∴AC＝AE+EC=3a+33a=433a；
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACDC=433a63a=22．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．（9分）根据以下素材，探索完成任务．
【考点】二次函数的应用；等腰三角形的性质．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】【任务1】y=−136x2+4，
【任务2】17.8米．
【分析】任务1：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，得到点B的坐标为（12，0），顶点为（0，4），利用待定系数法求出即可；
任务2：过点E作EM⊥FK于点M，得到EM＝0.8米．由题意可知，当PQ最大时，点E的纵坐标为0.8+1.26+0.5＝2.56．令y＝2.31，解方程，得出x1＝7.8，由FG＝JK＝0.4米得到MG＝MJ＝1.1米，HI＝2.2米，游船底部HI在P，Q之间通行，即可求得PQ的最大值．
【解答】解：任务1：
以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵AB＝24，CD＝4，
∴点B的坐标为（12，0），顶点为（0，4），
设抛物线解析式为y＝ax2+4，
把B（12，0）代入得0＝a×122+4，
a=−136，
∴y=−136x2+4；
任务2：
过点E作EM⊥FK于点M，图2，
∵EF＝EK＝1.7，FK＝3米，
∴FM＝1.5米，
∴EM=1.72−1.52=0.8（米）．
由题意可知，当PQ最大时，
点E的纵坐标为0.8+1.26+0.25＝2.31．
令y＝2.31，得2.31=−136x2+4，
解得x1＝7.8，x2＝﹣7.8，
∵FG＝JK＝0.4米，
∴MG＝MJ＝1.1米，
∴HI＝2.2米，
∵游船底部HI在P，Q之间通行，
∴PQ的最大值为7.8×2+2.2＝17.8（米）．
【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
20．（9分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．试判断DG与CF的位置关系，并证明所得的结论；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当sinα=55时，判断△BFH的形状，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）45°+α；（2）DG与CF的位置关系为：DG∥CF．理由见解析；（3）△BFH的形状为等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）由折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；
（2）连接AC，理由正方形的性质得到AC=2CD，∠ACD＝45°，AB＝BC，利用（1）的结论计算得到∠AFC＝135°，则△CFG为等腰直角三角形，再利用相似三角形的判定与性质得到∠AFC＝∠DGC＝135°，则∠DGA＝45°，利用内错角相等，两直线平行的性质解答即可得出结论；
（3）过点H作HK⊥BF于点K，利用旋转的性质得到∠ABE＝∠CBH＝α，BH＝BE，AE＝CH，AB＝BC，利用直角三角形的边角关系定理得到AEBE=55=15，设AE＝CH＝a，则BE＝BH=5a，利用勾股定理得到BF＝AB＝2a；再利用直角三角形的边角关系定理求得BK＝a，则KH为BF的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
由题意得：BA＝BF，∠FBE＝∠ABE＝α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴BF＝BC，
∴∠BCF＝∠BFC，∠FBC＝90°﹣2α，
∴∠BCF＝∠BFC=180°−(90°−2α)2=45°+α；
（2）DG与CF的位置关系为：DG∥CF．理由：
连接AC，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=2CD，∠ACD＝45°，AB＝BC，
由（1）知：∠BFC＝45°+α，
∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴BE⊥AF，∠ABE＝∠FBE＝α，
∴∠BFA＝90°﹣α，
∴∠AFC＝∠BFA+∠BEC＝45°+α+90°﹣α＝135°，
∴∠CFG＝45°，
∵CG⊥AF，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴∠FCG＝45°，FC=2CG，
∴ACCD=FCCG=2，∠ACD＝∠FCG＝45°，
∴∠FCA＝∠DCG，
∴△AFC∽△DGC，
∴∠AFC＝∠DGC＝135°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠DGA＝45°，
∴∠DGA＝∠CFG＝45°，
∴DG∥CF．
（3）△BFH的形状为等腰三角形，理由：
过点H作HK⊥BF于点K，如图，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，
∴△BAE≌△BCH，
∴∠ABE＝∠CBH＝α，BH＝BE，AE＝CH，AB＝BC，
∴∠FBC＝90°﹣2α．
∵sinα=55，
∴AEBE=55=15，
设AE＝CH＝a，则BE＝BH=5a，
∴AB=BE2−AE2=2a．
∴BF＝AB＝2a．
∴∠FBH＝∠FBC+∠CBH＝90°﹣α．
∵HK⊥BF，
∴∠KHB＝90°﹣∠FBH＝α，
∴sin∠KHB=sinα=55，
∴BKBH=55，
∴BK5a=55，
∴BK＝a，
∴BK=12BF，
∴BK＝KF，
∴KH为BF的垂直平分线，
∴HB＝HF，
∴△BFH为等腰三角形．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线，连接正方形的对角线和作出三角形的高线是解决此类问题常添加的辅助线．移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13511
成活的频率ba
0.84
0.93
0.84
0.85
0.91
0.90
年级
八年级
九年级
平均数
b
90.8
中位数
91
c
众数
d
97
如何设计警戒线之间的宽度
素材1
图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB＝24米，拱顶离水面的距离为CD＝4米．
素材2
拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：EF＝EK＝1.7米，FK＝3米，GH＝IJ＝1.26米，FG＝JK＝0.4米．
素材3
为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部HI在P，Q之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.25米．
问题解决
任务1
确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式；
任务2
设计警戒线之间的宽度
求PQ的最大值．
移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13511
成活的频率ba
0.84
0.93
0.84
0.85
0.91
0.90
年级
八年级
九年级
平均数
b
90.8
中位数
91
c
众数
d
97
如何设计警戒线之间的宽度
素材1
图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB＝24米，拱顶离水面的距离为CD＝4米．
素材2
拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：EF＝EK＝1.7米，FK＝3米，GH＝IJ＝1.26米，FG＝JK＝0.4米．
素材3
为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部HI在P，Q之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.25米．
问题解决
任务1
确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式；
任务2
设计警戒线之间的宽度
求PQ的最大值．