2026年广东省深圳市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案 (1)

这是一份2026年广东省深圳市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案 (1)，共25页。
A．零上2℃B．零下2℃C．零上8℃D．零下10℃
2．（3分）近日，央视公布了2026年马年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”．下列生肖剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．（﹣b）5÷b3＝b2
C．−12÷3×(−23)=6D．38+6×(−32)=1
4．（3分）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋子里红球的个数估计是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）▱ABCD中，∠A比∠B大40°，则∠C的度数为（ ）
A．60°B．70°C．100°D．110°
6．（3分）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．端午节期间，某商店对一款粽子推出优惠活动，决定每个粽子打八折，打折后120元买到的粽子数量比打折前多了6个，设粽子的原价为x（元/个），可列出方程（ ）
A．120x+6=1200.8xB．120x=1200.8x+6
C．120x×0.8=120x+6D．120x=120x+6×0.8
8．（3分）2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC＝120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（ ）
A．nsinθ+m2sinθB．nsinθ+msin（θ﹣60°）
C．ncsθ+msin（θ+60°）D．nsinθ+mcs（θ﹣60°）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）已知x−y=12，xy=43，则x2y﹣xy2的值是 ．
10．（3分）已知数轴上表示﹣2和﹣101的两个点分别为A，B，那么A，B两点间的距离等于 ．
11．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，且满足∠ABC＝125°，AD＝12，则CD的长为 ．
12．（3分）在双曲线y=−6x上有一点P（m，n），PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，原点为O，则矩形AOBP的面积为 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，．若DE＝4，BG＝6，则正方形ABCD的边长是 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：0.16+3−27×30.125−|1−2|．
15．（7分）先化简，再求值：(1a+2+1a−2)÷6a2−4，其中a＝﹣3．
16．（7分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝ ，n＝ ，P＝ ；
（3）请通过数据说明哪个班级的成绩更好一些；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
17．（8分）
18．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，延长BC到点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF．若BC＝2，tan∠AEC＝2，求BF．
19．（11分）在平面直角坐标系中，若点的坐标为(1m，0)，且m为整数，就称这样的点为x轴上的“单位长度等分点”．已知函数y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2（实数a为常数）．
（1）若该函数的图象过点（1，3），求a的值；
（2）当该函数图象与x轴只有一个交点时，求函数的解析式；
（3）无论a取任何实数，该函数图象与x轴的公共点中都有单位长度等分点吗？若有，求出单位长度等分点；若没有，请说明理由．
20．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8．动点E从点A出发沿AD方向运动，将△ABE沿着BE翻折，点A落在F点处．
（1）当∠ABE＝20°，求∠DEF的度数；
（2）连接DF并延长交矩形ABCD的AB边于点K，当∠ABF＝2∠ADK时，求AE的长；
（3）若∠FBC的角平分线交EF的延长线于点G，设AE＝x（x≤5），FG＝y，请直接写出y与x的函数关系式 ，并写出当x＝2时，点G运动的路径长为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上8℃记作+8℃，则﹣2℃表示气温为（ ）
A．零上2℃B．零下2℃C．零上8℃D．零下10℃
【考点】正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，零上为正、零下为负即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，﹣2℃表示气温为零下2℃．
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是关键．
2．（3分）近日，央视公布了2026年马年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”．下列生肖剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意；
C、选项图形能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，是轴对称图形，符合题意；
D、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．（﹣b）5÷b3＝b2
C．−12÷3×(−23)=6D．38+6×(−32)=1
【考点】同底数幂的除法；实数的运算；幂的乘方与积的乘方．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用实数的运算的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣a2）3＝﹣a6，故A符合题意；
B、（﹣b）5÷b3＝﹣b2，故B不符合题意；
C、﹣12÷3×（−23）=83，故C不符合题意；
D、38+6×(−32)
＝2﹣3
＝﹣1，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查实数的运算，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋子里红球的个数估计是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】B
【分析】根据频率估计概率，摸到红球的概率约为0.2，则摸到白球的概率约为0.8，利用白球个数和概率求总球数，进而求红球个数．
【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在0.2，
∴摸到红球的概率约为0.2，
∴摸到白球的概率约为1﹣0.2＝0.8，
∵白球有12个，
∴总球数约为12÷0.8＝15，
∴红球个数约为15﹣12＝3，
故选：B．
【点评】此题考查了频率估计概率的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
5．（3分）▱ABCD中，∠A比∠B大40°，则∠C的度数为（ ）
A．60°B．70°C．100°D．110°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：画出图形如下所示：
则∠A+∠B＝180°，
又∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝110°，∠B＝70°，
∴∠C＝∠A＝110°．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，难度一般．
6．（3分）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】选项D中，连接AP．证明PA+PB＝BC即可．
【解答】解：选项D中，连接AP．
由作图可知PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，满足条件．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（3分）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．端午节期间，某商店对一款粽子推出优惠活动，决定每个粽子打八折，打折后120元买到的粽子数量比打折前多了6个，设粽子的原价为x（元/个），可列出方程（ ）
A．120x+6=1200.8xB．120x=1200.8x+6
C．120x×0.8=120x+6D．120x=120x+6×0.8
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据打折后120元买到的粽子数量比打折前多了6个，列出分式方程即可．
【解答】解：由题意得：120x+6=1200.8x，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC＝120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（ ）
A．nsinθ+m2sinθB．nsinθ+msin（θ﹣60°）
C．ncsθ+msin（θ+60°）D．nsinθ+mcs（θ﹣60°）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，作BF⊥AD于点F，证明四边形BEDF为矩形，得出BE＝DF，∠EBF＝90°，求出∠ABF＝120°﹣90°﹣（90°﹣θ）＝θ﹣60°，然后根据三角函数分别求出BE＝BC×sin∠BCE＝nsinθ，AF＝AB×sin∠ABF＝msin（θ﹣60°），即可得出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，作BF⊥AD于点F，如图所示：
∵∠BED＝∠EDF＝∠BFD＝90°，
∴四边形BEDF为矩形，
∴BE＝DF，∠EBF＝90°，
∵∠BCE＝θ，
∴∠CBE＝90°﹣θ，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABF＝120°﹣90°﹣（90°﹣θ）＝θ﹣60°，
在Rt△BCE中，BE＝BC×sin∠BCE＝nsinθ，
∴DF＝BE＝nsinθ，
在Rt△ABF中，AF＝AB×sin∠ABF＝msin（θ﹣60°），
∴AD＝DF+AF＝nsinθ+msin（θ﹣60°）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质，函数的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，准确计算．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）已知x−y=12，xy=43，则x2y﹣xy2的值是 23 ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】23．
【分析】将多项式因式分解，利用整体代入可得．
【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）．
∵x−y=12，xy=43，
∴原式=43×12=23．
故答案为：23．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，正确因式分解是解答本题的关键．
10．（3分）已知数轴上表示﹣2和﹣101的两个点分别为A，B，那么A，B两点间的距离等于 99 ．
【考点】数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】99．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：∵数轴上表示﹣2和﹣101的两个点分别为 A，B，
∴A，B两点间的距离为：﹣2﹣（﹣101）＝99，
故答案为：99．
【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
11．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，且满足∠ABC＝125°，AD＝12，则CD的长为 7π3 ．
【考点】弧长的计算；圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】7π3．
【分析】由圆周角定理得到∠ABD＝90°，求出∠CBD＝125°﹣90°＝35°，得到∠COD＝2∠CBD＝70°，由弧长公式即可求出CD的长为=70π×6180=7π3．
【解答】解：连接BD，OC，
∵AD是圆的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝125°，
∴∠CBD＝125°﹣90°＝35°，
∴∠COD＝2∠CBD＝70°，
∵AD＝12，
∴OD=12AD＝6，
∴CD的长为=70π×6180=7π3．
故答案为：7π3．
【点评】本题考查圆周角定理，弧长的计算，关键是由圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠COD＝2∠CBD，掌握弧长公式．
12．（3分）在双曲线y=−6x上有一点P（m，n），PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，原点为O，则矩形AOBP的面积为 6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据解析式得到xy＝﹣6，点P（m，n）在反比例函数图象上，mn＝﹣6，依据S矩形AOBP＝丨mn丨＝丨﹣6丨＝6即可．
【解答】解：∵双曲线解析式为y=−6x，
∴xy＝﹣6，
∵点P（m，n）在反比例函数图象上，
∴mn＝﹣6，
∴S矩形AOBP＝丨mn丨＝丨﹣6丨＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值几何意义是解答本题的关键．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，．若DE＝4，BG＝6，则正方形ABCD的边长是 12 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据折叠及正方形的性质证明Rt△ABG≌Rt△AFG，设正方形的边长为x，则在Rt△CGE中由勾股定理建立方程（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102，再求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，
由折叠的性质可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，DE＝EF＝4，
∴∠AFG＝90°，AB＝AF，
∴∠AFG＝∠B．
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AB=AFAG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴BG＝FG＝6，
∴GE＝4+6＝10，
设正方形的边长为x，则CE＝x﹣4，CG＝x﹣6，
在Rt△CGE中，CE2+GC2＝EG2，
∴（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102，
解得x＝12或x＝﹣2（舍去），
∴正方形的边长为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明出Rt△ABG≌Rt△AFG时解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：0.16+3−27×30.125−|1−2|．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣0.1−2．
【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝0.4﹣3×0.5﹣（2−1）
＝0.4﹣1.5−2+1
＝﹣0.1−2．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．（7分）先化简，再求值：(1a+2+1a−2)÷6a2−4，其中a＝﹣3．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a3；﹣1．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入即可．
【解答】解：原式＝[a−2(a+2)(a−2)+a+2(a+2)(a−2)]•(a+2)(a−2)6
=2a(a+2)(a−2)•(a+2)(a−2)6
=a3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16．（7分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝ 91 ，n＝ 92.5 ，P＝ 90 ；
（3）请通过数据说明哪个班级的成绩更好一些；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【考点】列表法与树状图法；条形统计图；中位数；众数；方差；概率公式．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）补全条形统计图，如图即为所求；
（2）91，92.5，90；
（3）八年级（1）班成绩更好一些；
（4）25．
【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统即可；
（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得a＝4，b＝7，根据平均数和中位数的定义进行计算即可；
（3）从平均数，中位数和众数综合分析得八年级（1）班成绩较好；
（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【解答】解：（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得：90分学生有7人，95分学生有6人，
补全条形统计图，如图即为所求；
故答案为：91，92.5，90；
（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得a＝4，b＝7，
∴m=80×3+85×3+90×4+95×7+100×320=91，
一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数，
n=95+902=92.5，
∵90分的人数最多，
∴P＝90，
故答案为：91，92.5，90；
（3）八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好；
（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，从5名得100分的学生中随机抽取2名学生参加市级知识竞赛，列表如下：
一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有AB、AC、BA、BC、CA、CB、XY、YX共8种，
∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为：820=25．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，条形统计图，中位数，众数，方差，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
17．（8分）
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式；二元一次方程组的应用．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（任务1）该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元；
（任务2）（1.6m+291），（1.8m+288）；
（任务3）当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
【分析】（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元，利用总价＝单价×数量，结合“买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务2）利用在线下商店购买所需费用＝购买会员卡的费用+A款亚运盲盒的销售单价×0.8×购买A款亚运盲盒的数量+B款亚运盲盒的销售单价×0.8×购买B款亚运盲盒的数量，可用含m的代数式表示出在线下商店购买所需费用；利用在线上淘宝店购买所需费用＝A款亚运盲盒的销售单价×0.9×购买A款亚运盲盒的数量+B款亚运盲盒的销售单价×0.9×购买B款亚运盲盒的数量，可用含m的代数式表示出在线上淘宝店购买所需费用；
（任务3）根据线下购买方式更合算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜40，即可得出结论．
【解答】解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元，
根据题意得：15x+10y=23025x+25y=450，
解得：x=10y=8．
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元；
（任务2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）；
在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）．
故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）；
（任务3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288，
解得：m＞15，
又∵0＜m＜40，
∴15＜m＜40．
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（任务1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（任务2）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出在线下商店购买及在线上淘宝店购买所需费用；（任务3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，延长BC到点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF．若BC＝2，tan∠AEC＝2，求BF．
【考点】矩形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）13．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，进而证明AD＝CE，再证明四边形ACED是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义求出AC＝2CE＝4，过点F作FM⊥CE于点M，则∠FMB＝∠FME＝90°，进而由矩形的性质得EF=12AE，CF=12CD，AE＝CD，则EF＝CF，再由等腰三角形的性质得∴CM＝EM＝1，则BM＝BC+CM＝3，进而求出FM＝2EM＝2，然后由勾股定理求出BF的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形；
（2）解：∵CE＝BC＝2，∠ACE＝90°，tan∠AEC＝2=ACCE，
∴AC＝2CE＝4，
如图，过点F作FM⊥CE于点M，
则∠FMB＝∠FME＝90°，
由（1）可知，四边形ACED是矩形，
∴EF=12AE，CF=12CD，AE＝CD，
∴EF＝CF，
∴CM＝EM=12CE＝1，
∴BM＝BC+CM＝2+1＝3，
∵tan∠AEC＝2=FMEM，
∴FM＝2EM＝2，
∴BF=BM2+FM2=32+22=13．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19．（11分）在平面直角坐标系中，若点的坐标为(1m，0)，且m为整数，就称这样的点为x轴上的“单位长度等分点”．已知函数y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2（实数a为常数）．
（1）若该函数的图象过点（1，3），求a的值；
（2）当该函数图象与x轴只有一个交点时，求函数的解析式；
（3）无论a取任何实数，该函数图象与x轴的公共点中都有单位长度等分点吗？若有，求出单位长度等分点；若没有，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；新定义；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）a＝﹣2；
（2）y=327x2+327x+87或y=163x+83；
（3）存在，单位长度等分点为：（−12，0）．
【分析】（1）将（1，3）代入函数表达式，即可求解；
（2）分类讨论，即可求解；
（3）分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2＝（6a+2）+（5﹣a）﹣2a+2＝3，
解得：a＝﹣2；
（2）6a+2≠0时，
由题意得：Δ＝（5﹣a）2﹣4（6a+2）（2﹣2a）＝0，
解得：a=37，
则抛物线的表达式为：y=327x2+327x+87；
当6a+2＝0时，
函数为一次函数y=163x+83，此时与x轴也只有一个交点（−12，0），
综上，函数的表达式为：y=37x2+37x+328或y=163x+83；
（3）存在，理由：
当6a+2≠0时，
y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2＝a（2x+1）（3x﹣2）+2x2+5x+2，
令（2x+1）（3x﹣2）＝0，
则x=−12或23，
当x=−12时，y＝a（2x+1）（3x﹣2）+2x2+5x+2＝0，
即点（−12，0）在抛物线上，且符合题意，
即单位长度等分点为：（−12，0）；
当6a+2＝0时，一次函数y=163x+83，此时与x轴也只有一个交点（−12，0），
综上，单位长度等分点为：（−12，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、函数过定点、根和系数判别式等，综合性强，难度适中．
20．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8．动点E从点A出发沿AD方向运动，将△ABE沿着BE翻折，点A落在F点处．
（1）当∠ABE＝20°，求∠DEF的度数；
（2）连接DF并延长交矩形ABCD的AB边于点K，当∠ABF＝2∠ADK时，求AE的长；
（3）若∠FBC的角平分线交EF的延长线于点G，设AE＝x（x≤5），FG＝y，请直接写出y与x的函数关系式 y=25−5xx+5 ，并写出当x＝2时，点G运动的路径长为 207 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠DEF的度数是40°；
（2）AE的长是52；
（3）y=25−5xx+5，207．
【分析】（1）由翻折得∠F＝∠A＝90°，∠FBE＝∠ABE＝20°，则∠ABF＝2∠ABE＝40°，由∠DEF+∠AEF＝180°，∠ABF+∠AEF＝180°，得∠DEF＝∠ABF＝40°；
（2）连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可证明∠ABE＝∠ADK，而∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠BAF，所以∠ADK＝∠DAF，则AF＝DF，求得FB＝AB＝5，AM＝DM＝4，则BN＝AM＝4，MN＝AB＝5，求得FN＝3，则FM＝2，由勾股定理得22+（4﹣AE）2＝AE2，求得AE=52；
（3）过点G作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，可证明△BQG≌△BFG，得QB＝FB＝5，QG＝FG，则AP＝QB＝5，由勾股定理得（5﹣x）2+（5﹣y）2＝（x+y）2，整理得y=25−5xx+5，当x＝2时，y=157，PG＝5−157=207，所以点G运动的路径长为207，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵将△ABE沿着BE翻折，点A落在F点处，∠ABE＝20°，
∴∠F＝∠A＝90°，∠FBE＝∠ABE＝20°，
∴∠ABF＝2∠ABE＝40°，
∵∠DEF+∠AEF＝180°，∠ABF+∠AEF＝360°﹣2×90°＝180°，
∴∠DEF＝∠ABF＝40°，
∴∠DEF的度数是40°．
（2）如图2，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
∵∠ABF＝2∠ABE，∠ABF＝2∠ADK，
∴∠ABE＝∠ADK，
∵点F与点A关于直线BE对称，
∴BE垂直平分AF，
∴∠AOB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠BAF，
∴∠ADK＝∠DAF，
∴AF＝DF，
∵AB＝5，AD＝BC＝8，
∴FB＝AB＝5，AM＝DM=12AD＝4，
∵∠BAM＝∠AMN＝∠ABN＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝4，MN＝AB＝5，∠BNF＝90°，
∴FN=FB2−BN2=52−42=3，
∴FM＝MN﹣FN＝5﹣3＝2，
∵FM2+EM2＝FE2，且EM＝4﹣AE，FE＝AE，
∴22+（4﹣AE）2＝AE2，
解得AE=52，
∴AE的长是52．
（3）如图3，过点G作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，
∵∠FBC的角平分线交EF的延长线于点G，
∴∠QBG＝∠FBG，
∵∠BAP＝∠APQ＝∠ABQ＝90°，
∴四边形ABQP是矩形，
∴∠BQG＝∠BFG＝90°，PQ＝AB＝5，
∵BG＝BG，
∴△BQG≌△BFG（AAS），
∴QB＝FB＝5，QG＝FG，
∴AP＝QB＝5，
∵AE＝x（x≤5），FG＝y，
∴FE＝AE＝x，QG＝FG＝y，PE＝5﹣x，
∴PG＝5﹣y，EG＝x+y，
∵PE2+PG2＝EG2，
∴（5﹣x）2+（5﹣y）2＝（x+y）2，
∴y=25−5xx+5，
∵四边形ABQP是矩形，AP＝PQ＝5，
∴四边形ABQP是正方形，
∴点G在边长为5的正方形ABQP的边PQ上自点P向点Q运动，
当x＝2时，y=25−5×22+5=157，
∴PG＝5−157=207，
∴点G运动的路径长为207，
故答案为：y=25−5xx+5，207．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、四边形的内角和等于360°、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
统计量班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
m
n
95
41.5
八年级（3）班
91
90
P
26.5
背景
亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1
某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元．
素材2
该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1
某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2
小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），
若在线下商店购买，共需要 元；
若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）
任务3
请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
统计量班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
m
n
95
41.5
八年级（3）班
91
90
P
26.5
（1）班
（3）班
A
B
C
X
Y
A
﹣
AB
AC
AX
AY
B
BA
﹣
BC
BX
BY
C
CA
CB
﹣
CX
CY
X
XA
XB
XC
﹣
XY
Y
YA
YB
YC
YX
﹣
背景
亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1
某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元．
素材2
该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1
某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2
小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），
若在线下商店购买，共需要 （1.6m+291） 元；
若在线上淘宝店购买，共需要 （1.8m+288） 元．（均用含m的代数式表示）
任务3
请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？