2026年广东省广州市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案

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A．B．C．D．
2．（3分）如图，数轴上点M的相反数表示的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
3．（3分）下列各式计算结果正确的是（ ）
A．3x+2x＝5x2B．9=±3C．（2x）2＝2x2D．2−1=12
4．（3分）下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（ ）
①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系；
②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系；
③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系；
④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）下列命题成立的有（ ）个．
①等腰三角形两腰上的中线相等；
②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形全等；
③等腰三角形中一角为55°，则它的顶角为55°或70°；
④AD是△ABC的角平分线，则S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）某款“不倒翁”（图1）从正面看的形状图如图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B，若该圆半径是6cm，∠P＝90°，则AMB的长是（ ）
A．3πcmB．92πcmC．12πcmD．9πcm
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象如图所示，则关于x的一次函数y＝（a﹣b）x+c﹣a的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（3分）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣2D．﹣1
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，设⊙O与BC、AC分别相切于点E、F，BO平分∠ABC，连接OA，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．52−3π4B．52−π3C．52−3π8D．54
二．填空题（共6小题，满分21分）
11．（3分）若代数式a有意义，则a的取值范围是 ．
12．（3分）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是 ．
13．（3分）分解因式：3m2n﹣12n＝ ．
14．（3分）中国国粹，是指完全发源于中国，中国固有文化中的精华，是中华文化的瑰宝．中国的四大国粹是指中国武术、中国医学、中国京剧和中国书法．国学老师为了让同学们对国粹有充分了解，让每个小组的同学随机从中抽取两项，搜集资料做手抄报，小明所在的小组恰好抽取“中国武术”和“中国书法”的概率是 ．
15．（3分）某型水管的横截面的周长是157cm，那么这种水管的半径是 cm．（π取3.14）
16．（6分）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝16，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝4，四边形AEFB关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，
（1）当AE＝ 时，点B′与点D重合；
（2）在运动过程中，线段GB′长度的最大值是 ．
三．解答题（共9小题，满分69分）
17．（5分）解关于x，y的方程组2(2x−y)x+3y+12=5(2x−y)92x−y−8x+3y=−1．
18．（8分）如图所示，分别以△ABC的顶点A，C为圆心，边AB，CB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD．求证△ABC≌△ADC．
19．（8分）某校积极开展“书香校园”课外阅读活动．为了解学生最喜爱的图书类别，调查小组将图书分为“科普类”，“艺体类”，“文学类”，“其他”四类，随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图．请根据图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数和文学类的人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“艺体类”扇形圆心角的度数．
（3）该校共有学生1800人，试估计该校学生中最喜爱“文学类”图书的人数．
20．（8分）先化简，再求值：当a=2−1时，求代数式（a−aa+1）÷a2−2aa2−4的值．
21．（8分）在除夕夜前夕，某店购进花灯和福字两种装饰物，销售过程中发现福字比花灯销量大，店主决定将花灯每个降价5元促销，降价后300元可购买花灯的数量是原来可购买花灯数量的1.5倍．
（1）求降价后每个花灯的售价是多少元？
（2）店主用不多于5400元的资金再次购进两种装饰物共1000个，福字进价为6元/个，花灯进价为5元/个，问至少购进花灯多少个？
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数y=kx在第二象限内的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
23．（8分）如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处．晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处．
（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标出太阳光、灯光；
（2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E的距离恰好为5米，求路灯的高度．
24．（8分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP=13时，求BP的长；
②求CQAP的最大值．
25．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+1交于A（a，0），C（3，4）两点．
（1）求a的值及抛物线的解析式；
（2）若点P是位于直线AC上方的抛物线上的一个动点，求△APC面积的最大值及此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）9月23日﹣10月8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，中国运动健儿们奋勇争先、摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．如图表示的是部分运动项目的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：由各选项图形可知，是轴对称图形的是B选项．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（3分）如图，数轴上点M的相反数表示的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【考点】数轴；相反数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】首先从数轴上正确看出点M所对应的数，再根据求一个数的相反数，即在这个数的前面加上负号．
【解答】解：结合数轴，得到点M所对应的数是﹣2．
﹣2的相反数是2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
3．（3分）下列各式计算结果正确的是（ ）
A．3x+2x＝5x2B．9=±3C．（2x）2＝2x2D．2−1=12
【考点】幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂；算术平方根；合并同类项．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】分别利用合并同类项法则，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵3x+2x＝5x≠5x2，
∴选项A不符合题意；
∵9=3≠±3，
∴选项B不符合题意；
∵（2x）2＝4x2≠2x2，
∴选项C不符合题意；
∵2−1=12，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义，掌握这些法则和意义是解决问题的关键．
4．（3分）下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（ ）
①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系；
②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系；
③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系；
④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】逐个写出函数表达式，即可求解．
【解答】解：①由题意得：v=st，s为常数，故该函数为反比例函数；
②由题意得：利润k＝售价a﹣进价x，其中x一定，即x是常数，故该函数不是反比例函数；
③由题意得：S＝ab，即a=Sb，其中S是常数，故该函数是反比例函数；
④由题意得：I=UR，其中U一定，即U是常数，故该函数为反比例函数．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，正确表示出各量之间的函数关系是解决本题的关键．
5．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．
【解答】解：如图所示，该几何体的俯视图是一个三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
6．（3分）下列命题成立的有（ ）个．
①等腰三角形两腰上的中线相等；
②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形全等；
③等腰三角形中一角为55°，则它的顶角为55°或70°；
④AD是△ABC的角平分线，则S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
A．1B．2C．3D．4
【考点】命题与定理；全等三角形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由全等三角形的判定方法“SAS”，即可证明等腰三角形两腰上的中线相等；有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形不一定全等；由等腰三角形的性质，得到等腰三角形中一角为55°，它的顶角为55°或70°；由角平分线的性质，得到AD是△ABC的角平分线，那么S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
【解答】解：①由SAS即可证明命题正确，故①符合题意；
②满足条件的三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故②不符合题意；
③55°角可能是顶角，也可能是底角，因此等腰三角形顶角为55°或70°，故③符合题意；
④由角平分线的点到角两边的距离相等，得到△ABD的边AB上的高，与△ACD的边AC的高相等，因此S△ABD：S△ACD＝AB：AC，故④符合题意．
∴正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
7．（3分）某款“不倒翁”（图1）从正面看的形状图如图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B，若该圆半径是6cm，∠P＝90°，则AMB的长是（ ）
A．3πcmB．92πcmC．12πcmD．9πcm
【考点】由三视图判断几何体；勾股定理的应用；切线的性质；弧长的计算．
【专题】投影与视图；空间观念；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．∠P＝90°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OA，OB，OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣90°＝270°，
∴优弧AMB的长是：270π×6180=9π（cm），
故选：D．
【点评】本题考查由三视图判断几何体、弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象如图所示，则关于x的一次函数y＝（a﹣b）x+c﹣a的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据开口向上，与y轴交于负半轴，得到a＞0，c＜0，则c−a＜0，根据对称轴计算公式得到b＝−2a，由此可得一次函数解析式为y＝3ax+c−a，据此可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
【解答】解；∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴c−a＜0
又∵对称轴为直线x＝−1，
∴−−b2a=−1，
∴b＝−2a，
∴一次函数解析式为y＝（a+2a）x+c−a＝3ax+c−a，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
【点评】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质．
9．（3分）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣2D．﹣1
【考点】代数式求值；规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【专题】规律型；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由2025﹣2＝6×337+1，结合规律求解即可得到答案．
【解答】解：第一次：x＝4，为偶数，则12x=12×4=2；
第二次：x＝2，为偶数，则12x=12×2=1；
第三次：x＝1，为奇数，则x﹣5＝1﹣5＝﹣4；
第四次：x＝﹣4，为偶数，则12x=12×(−4)=−2；
第五次：x＝﹣2，为偶数，则12x=12×(−2)=−1；
第六次：x＝﹣1，为奇数，则x﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6；
第七次：x＝﹣6，为偶数，则12x=12×(−6)=−3；
第八次：x＝﹣3，为奇数，则x﹣5＝﹣3﹣5＝﹣8；
第九次：x＝﹣8，为偶数，则12x=12×(−8)=−4；
第十次：x＝﹣4，为偶数，则12x=12×(−4)=−2；
第十一次：x＝﹣2，为偶数，则12x=12×(−2)=−1；
第十二次：x＝﹣1，为奇数，则x﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6；
第十三次：x＝﹣6，为偶数，则12x=12×(−6)=−3；
……
∴每6个循环一次，
∵2025﹣2＝6×337+1，
∴若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查规律探究，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，设⊙O与BC、AC分别相切于点E、F，BO平分∠ABC，连接OA，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．52−3π4B．52−π3C．52−3π8D．54
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OE、OF，过点O作OG⊥AB，垂足为G，设⊙O与OA、OB分别交于点M、N，由切线性质可得OE⊥BC，OF⊥AC，结合∠ACB＝90°可证四边形OECF是正方形，可得OE＝CE＝CF，设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝OE＝r，AF＝3﹣r，BE＝4﹣r，由角平分线的性质得OG＝OE，可得AB与⊙O相切于点G，进而由切线长定理得AG＝AF＝3﹣r，BG＝BE＝4﹣r，由勾股定理得AB＝5，列方程即可求出半径，由角平分线的判定定理得OA平分∠BAC，结合∠ACB＝90°可得∠AOB＝135°，由S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN即可得出．
【解答】解：如图，连接OE、OF，过点O作OG⊥AB，垂足为G，设⊙O与OA、OB分别交于点M、N，
∵⊙O与BC、AC分别相切于点E、F，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，
∵∠ACB＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝CE＝CF，
设⊙O的半径为r，则AF＝AC﹣CF＝3﹣r，BE＝BC﹣CE＝4﹣r，CE＝CF＝OE＝r，
∵OG⊥AB，OE⊥BC，BO平分∠ABC，
∴∠ABO=12∠ABC，OG＝OE，
∴AB与⊙O相切于点G，
又∵⊙O与BC、AC分别相切于点E、F，
∴AG＝AF＝3﹣r，BG＝BE＝4﹣r，
在Rt△ABC中，
AB=AC2+BC2=5，
∴AG+BG＝AB＝5，
∴（3﹣r）+（4﹣r）＝5，
解得r＝1，
∵OG⊥AB，OF⊥AC，OE＝OG＝OF，
∴OA平分∠BAC，
∴∠BAO=12∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO=12∠ABC+12∠BAC=45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝135°，
∴S阴影=S△OAB−S扇形OMN=12AB⋅OG−135⋅π⋅12360=12×5×1−135⋅π⋅12360=52−3π8．
故选：C．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质、切线长定理、角平分线的性质与判定、扇形面积公式等，利用切线长定理结合勾股定理求出圆的半径是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分21分）
11．（3分）若代数式a有意义，则a的取值范围是a≥0 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】a≥0．
【分析】二次根式有意义的条件即被开方数为非负数，据此即可求得答案．
【解答】解：若代数式a有意义，
则a≥0，
故答案为：a≥0．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．
12．（3分）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是 （﹣1，3） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（﹣1，3）．
【分析】根据点的平移规律，即可解答．
【解答】解：∵点A坐标为（2，1），
∴将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（2﹣3，1+2），即（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13．（3分）分解因式：3m2n﹣12n＝ 3n（m+2）（m﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解；运算能力．
【答案】3n（m+2）（m﹣2）．
【分析】利用提取公因式法进行因式分解．
【解答】解：原式＝3n（m+2）（m﹣2）．
故答案为：3n（m+2）（m﹣2）．
【点评】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
14．（3分）中国国粹，是指完全发源于中国，中国固有文化中的精华，是中华文化的瑰宝．中国的四大国粹是指中国武术、中国医学、中国京剧和中国书法．国学老师为了让同学们对国粹有充分了解，让每个小组的同学随机从中抽取两项，搜集资料做手抄报，小明所在的小组恰好抽取“中国武术”和“中国书法”的概率是 16 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】16
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好恰好抽取A和D的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：A中国武术、B中国医学、C中国京剧、D中国书法．
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好恰好抽取A和D的结果有2种，
∴小明所在的小组恰好抽取“中国武术”和“中国书法”的概率是212=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是掌握概率公式．
15．（3分）某型水管的横截面的周长是157cm，那么这种水管的半径是 25 cm．（π取3.14）
【考点】垂径定理的应用；圆的周长．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】25．
【分析】根据圆的周长，列出关于计算半径的式子计算出结果．
【解答】解：157÷3.14÷2
＝50÷2
＝25（cm），
答：这种水管的半径是25cm．
故答案为：25．
【点评】本题考查了圆的周长，解题关键是熟练掌握和灵活运用圆的周长公式．
16．（6分）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝16，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝4，四边形AEFB关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，
（1）当AE＝ 3 时，点B′与点D重合；
（2）在运动过程中，线段GB′长度的最大值是 45+42 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）45+42．
【分析】（1）当B与点D 重合时，设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x ）2即可解决；
（2）根据图形取EF中点O，通过分析可知只有当B′、O、G 三点共线时，GB′长度最大，利用勾股定理解决即可．
【解答】解：（1）当AE＝3时，点B′与点D重合，
如图：
由于对称：BF＝B′F＝DF，FC＝AE，
设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，
在Rt△CDF中，
由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x ）2；
∴x＝3，
则AE＝3；
故答案为：3；
（2）如图：取EF中点O，
∵AE＝CF，
由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O，
连接 B′O、OG、OB，
在△B′OG中 B′G＜OB′+OG，
∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′，
∴OB＝OB′，故只有当 B′、O、G 三点共线时、GB′长度最大，
此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG，
过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝16，CD＝AB＝8，
∴在Rt△OBH 中，OH=12CD＝4，BH=12BC＝8，
∴OB=OH2+BH2=45，
在Rt△OGH中OH＝4，GH＝BH﹣BG＝4，
∴OG=OH2+GH2=42，
∴GB'＝45+42，
故答案为：45+42．
【点评】本题是四边形的综合题，考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用，属于综合题，理解题意是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题，满分69分）
17．（5分）解关于x，y的方程组2(2x−y)x+3y+12=5(2x−y)92x−y−8x+3y=−1．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】x=117y=17．
【分析】根据换元的思想将原方程组变形即可．
【解答】解：设2x﹣y＝M，（M≠0），x+3y＝N，（N≠0），
则原方程组2(2x−y)x+3y+12=5(2x−y)92x−y−8x+3y=−1可化为：2MN+12=5M9M−8N=−1，
化简得，2M+12N=5MN9N−8M=−MN，
∴57N﹣38M＝0，
∴N=38M57=23M，
∴2M+12×23M=5M×23M，
∴10M=103M2，
∴M=13M2，
解得，M1＝3，M2＝0（舍去），
∴N=23M=2，
∴2x﹣y＝3，x+3y＝2，
解得，x=117，y=17，
∴原方程组的解为x=117y=17．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
18．（8分）如图所示，分别以△ABC的顶点A，C为圆心，边AB，CB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD．求证△ABC≌△ADC．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明：由题意知AB＝AD，BC＝DC，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
【分析】三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】证明：由题意知AB＝AD，BC＝DC，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
【点评】本题考查全等三角形判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS．
19．（8分）某校积极开展“书香校园”课外阅读活动．为了解学生最喜爱的图书类别，调查小组将图书分为“科普类”，“艺体类”，“文学类”，“其他”四类，随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图．请根据图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数和文学类的人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“艺体类”扇形圆心角的度数．
（3）该校共有学生1800人，试估计该校学生中最喜爱“文学类”图书的人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】（1）60人；18人；补全统计图见解答过程；
（2）108°；
（3）约有540人．
【分析】（1）根据科普类的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数减去其他人数，求出文学类的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以“艺体类”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以最喜爱“文学类”图书的人数所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）被调查的学生人数有：15÷25%＝60（人），
文学类的人数有：60﹣15﹣18﹣9＝18（人），
补全统计图如下：
（2）扇形统计图中表示“艺体类”扇形圆心角的度数是：360°×1860=108°；
答：扇形统计图中表示“艺体类”扇形圆心角的度数为108°；
（3）根据题意得：
1800×1860=540（人），
答：估计该校学生中最喜爱“文学类”图书的人数约有540人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．（8分）先化简，再求值：当a=2−1时，求代数式（a−aa+1）÷a2−2aa2−4的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a(a+2)a+1；22．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘除，约分化简后将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式=a2+a−aa+1•(a+2)(a−2)a(a−2)
=a2a+1•a+2a
=a(a+2)a+1；
当a=2−1时，
原式=(2−1)×(2−1+2)2−1+1
=(2−1)(2+1)2
=2−12
=22．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
21．（8分）在除夕夜前夕，某店购进花灯和福字两种装饰物，销售过程中发现福字比花灯销量大，店主决定将花灯每个降价5元促销，降价后300元可购买花灯的数量是原来可购买花灯数量的1.5倍．
（1）求降价后每个花灯的售价是多少元？
（2）店主用不多于5400元的资金再次购进两种装饰物共1000个，福字进价为6元/个，花灯进价为5元/个，问至少购进花灯多少个？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）降价后每个花灯的售价是10元；
（2）至少购进花灯600个．
【分析】（1）通过设降价后售价为未知数，根据数量关系建立分式方程求解；
（2）通过设购进花灯数量为未知数，根据总资金限制建立不等式求解．
【解答】解：（1）设降价后每个花灯的售价是x元，则降价前每个花灯的售价为（x+5）元，
由题意得，300x=1.5×300x+5，
解得x＝10，
经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，
答：降价后每个花灯的售价是10元；
（2）设购进花灯y个，则购进福字（1000﹣y）个，
由题意得，5y+6（1000﹣y）≤5400，
解得y≥600，
答：至少购进花灯600个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意建立方程或不等式求解．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数y=kx在第二象限内的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y=−6x；
（2）（﹣3，0）或（﹣7，0）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出点C（﹣3，2），将点C（﹣3，2）代入y＝k/x之中求出k＝﹣6，由此可得反比例函数的表达式；
（2）依题意有以下两种情况，①当∠CED＝90°时，证明四边形CEOB是矩形得CE＝OB＝2，设点E（t，0），则DE＝﹣2﹣t，CD2＝5，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出t＝﹣3，进而可得点E的坐标；②当∠DCE＝90°时，设E（a，0），则DE＝﹣2﹣a，CE2＝a2+6a+13，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出a＝﹣7，进而点E的坐标，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），
∴OA＝1，OB＝2，OD＝2，
∴AD＝OA+OD＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，BC∥AD，
∴点C的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数y=kx在第二象限内的图象经过点C，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y=−6x；
（2）∵点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，
∴有以下两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1所示：
∴∠CED＝∠BOA＝90°，
∴CE∥OB，
∵BC∥AD，
∴四边形CEOB是矩形，
∴CE＝OB＝2，
设点E的坐标为（t，0），则DE＝﹣2﹣t，
∵CD2＝（﹣3+2）2+（2﹣0）2＝5，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+DE2＝CD2，
∴22+（﹣2﹣t）2＝5，
整理得：（2+t）2＝1，
∴2+t＝1，2+t＝﹣1，
由2+t＝1，解得：t＝1（不合题意，舍去），
由2+t＝﹣1，解得：t＝﹣3，
∴点E的坐标为（﹣3，0）；
②当∠DCE＝90°时，如图2所示：
设E（a，0），
则DE＝﹣2﹣a，
∵CE2＝（﹣3﹣a）2+（2﹣0）2＝a2+6a+13，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2，
∴a2+6a+13+5＝（﹣2﹣a）2，
解得：a＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，0）．
综上所述：点E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
23．（8分）如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处．晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处．
（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标出太阳光、灯光；
（2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E的距离恰好为5米，求路灯的高度．
【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的应用；平行投影；中心投影．
【专题】作图题；投影与视图；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）2.4米．
【分析】（1）作出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为杨老师的头顶所在；
（2）易得杨老师的影长，利用△EGF∽△EDC可得路灯CD的长度．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵上午上学时候高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，
∴小明的影长CF为3米，
∵GF⊥AC，DC⊥AC，
∴GF∥CD，
∴△EGF∽△EDC，
∴GFCD=EFEC，
∴1.5CD=55+3，
解得CD＝2.4．
答：路灯高为2.4米．
【点评】综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例．
24．（8分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP=13时，求BP的长；
②求CQAP的最大值．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；压轴题；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①BP的长为103或509；
②CQAP的最大值为12．
【分析】（1）连接OD，CD，由AC是⊙O的直径，可得∠ADC＝90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC＝MD，根据等腰三角形性质可得∠MDC＝∠MCD，进而可得∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，再利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）①分两种情况：当点P在线段BC上时，过点P作PT⊥AB于点T，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点P在CB的延长线上时，过点B作BK⊥AP于点K，运用勾股定理和解直角三角形即可；
②设CP＝n，则AP=AC2+CP2=64+n2，利用面积法可得CQ•AP＝AC•CP，得出CQ=AC⋅CPAP=8n64+n2，即CQAP=8n64+n2，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点M为边BC的中点，
∴MC＝MD，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82+62=10，
设PT＝x，
∵tan∠BAP=13，
∴PTAT=13，
∴AT＝3PT＝3x，
∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC=PTBT=ACBC，
∴x10−3x=86，
解得：x=83，
∴PT=83，
∵sin∠ABC=PTBP=ACAB，即83BP=810，
∴BP=103；
当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，
∵tan∠BAP=13，
∴BKAK=13，
设BK＝a，则AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，
即（3a）2+a2＝102，
解得：a1=10，a2=−10（舍去），
∴AK＝310，BK=10，
∵S△ABP=12AP•BK=12BP•AC，
∴APBP=ACBK=810，
设BP＝m，则AP=4105m，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
即82+（m+6）2＝（4105m）2，
解得：m1=509，m2=−103（舍去），
∴BP=509；
综上所述，BP的长为103或509；
②设CP＝n，则AP=AC2+CP2=64+n2，
如图，∵AC是⊙O的直径，
∴CQ⊥AP，
∵CQ•AP＝AC•CP，
∴CQ=AC⋅CPAP=8n64+n2，
∴CQAP=8n64+n2，
∵n＞0，
∴（n﹣8）2≥0，
∴64+n2≥16n，
∴CQAP=8n64+n2≤8n16n=12，
∴CQAP的最大值为12．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键．
25．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+1交于A（a，0），C（3，4）两点．
（1）求a的值及抛物线的解析式；
（2）若点P是位于直线AC上方的抛物线上的一个动点，求△APC面积的最大值及此时点P的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣1，y＝﹣x2+3x+4；
（2）△APC的面积最大值为8，此时点P的坐标为（1，6）．
【分析】（1）将A（a，0）代入直线y＝x+1可得a的值，再将A，C两点代入抛物线y＝﹣x2+bx+c即可解答；
（2）过点P作PE⊥x轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ⊥x轴交x轴于点Q，设出点P的坐标，利用S△APC＝S△APF+S△PCF即可解答．
【解答】解：（1）将A（a，0）代入y＝x+1并解得a＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
将A（﹣1，0），C（3，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
得−1−b+c=0−9+3b+c=4，解得b=3c=4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图，过点P作PE⊥x轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ⊥x轴交x轴于点Q，
设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）（﹣1＜m＜3），
则点F的坐标为（m，m+1），
∴PF＝﹣m2+3m+4﹣（m+1）＝﹣m2+2m+3，
又∵点C的坐标为（3，4），
∴点Q的坐标为（3，0），
∴AQ＝3﹣（﹣1）＝4，
∴S△APC=S△APF+S△PCF=12PF⋅AE+12PF⋅EQ
=12PF⋅(AE+EQ)
=12PF⋅AQ
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8，
又∵﹣2＜0，
∴当m＝1时，△APC的面积取最大值，最大值为8，此时点P的坐标为（1，6）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，解题的关键是利用数形结合以及函数思想相结合．