2026年广东省广州市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案 (1)

这是一份2026年广东省广州市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案 (1)，文件包含2026年福建省初中学业水平考试暨中考数学模拟押题预测试卷docx、参考答案与解析docx、2026年福建中考数学模拟试卷命题双向细目表xlsx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m5B．m6÷m2＝m3C．2m+3n＝5mnD．（m2）3＝m5
3．（3分）如图，为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出统计图．观察统计图，下列说法错误的是（ ）
A．本次接受随机抽样调查的男生人数为40
B．本次调查获取的样本数据的平均数为5.8
C．本次调查获取的样本数据的众数为12
D．本次调查获取的样本数据的中位数为6
4．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（a，a+1）在第三象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{4，3}＝4，max{﹣6，2}＝2．若关于x的函数为y＝max{x+7，﹣x+3}，则该函数的最小值是（ ）
A．﹣2B．0C．5D．7
6．（3分）如图，在⊙O中，OA，OB为半径，C为⊙O上一点，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问7200文能买多少株橡？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．4(x−1)=7200xB．7200x−1=4
C．4x−1=7200xD．7200x=4
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝120°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝（ ）
A．833B．5C．4D．23
9．（3分）一元二次方程4x2−2x+14=0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
10．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线垂直
C．对角线互相平分D．对角线垂直且平分
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）﹣8的立方根是 ．
12．（3分）△ABC的三边为2，3，13，则外接圆的半径长为 ．
13．（3分）分解因式：xy2+6xy+9x＝ ．
14．（3分）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2+1图象上，则y1，y2，y3的大小为 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中、将点（3，﹣4）绕点O旋转90°，得到的点的坐标为 ．
16．（3分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）3m+n＝ ；
（2）我们把抛物线y＝﹣x2+mx+n在直线y＝x﹣3的上方的部分与线段BC围成的封闭区域记为“G区域”（包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．则“G区域”的整点的个数为 ．
三．解答题（共9小题，满分81分，每小题9分）
17．（9分）解一元二次方程：x2﹣2x＝3．
18．（9分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD＝BC．求证：
（1）AB=CD；
（2）DE＝BE．
19．（9分）先化简，再求值：(1+2x−1)÷x+1x2−2x+1，其中x＝2．
20．（9分）某校成立了以下社团：篮球，排球，足球，游泳，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；请将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有1500名学生加入了社团，请估计这1500名学生中参加篮球社团的人数；
（3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加市级新一轮比赛，请用画树状图或列表法求参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率．
21．（9分）在学习了特殊平行四边形后，数学兴趣小组的同学做了如下探究：四边形ABCD是平行四边形，E为对角线AC延长线上一点，连结DE，BE．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空：
（1）在平行四边形ABCD的外部，用尺规作∠ADF＝∠CBE，DF交CA的延长线于点F，连结BF．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）问的作图条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴ ，
∵∠DAC+∠DAF＝∠BCA+∠BCE，
∴∠DAF＝∠BCE，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴ （ASA），
∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，
∴ ，
∴四边形BEDF是平行四边形．
进一步思考：若四边形ABCD是菱形，则四边形BEDF是 ．
22．（9分）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2，y2=SS1+S2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
23．（9分）图1是初心园的实景图，图2是它的平面示意图，它是一个正五角星，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J，I四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且BC∥MN，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JA，∠A＝∠C＝∠DEF＝∠FGH＝∠I＝35°．∠FEC＝∠FGE＝36°，现测得EF＝1m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，sin18°≈0.31，cs18°≈0.95）
（1）求B，J两点间的距离．
（2）求点A到地面MN的距离．
24．（9分）我们不妨约定：如果一个二次函数的图象经过四个象限，则称这个二次函数为“完美二次函数”．通过作图，我们发现“完美二次函数”的图象必与x轴有两个交点，并且这两点位于原点的两侧．
（1）判断下列关于x的二次函数是否为“完美二次函数”（若是，打“✓”；若不是，打“×”）．
①y＝x2﹣2x+1（ ）
②y＝﹣2x2+x+1（ ）
③y＝x2+x﹣2（ ）
（2）已知关于x的二次函数y＝ax2+（b﹣2027）x﹣2a﹣1（a＞0）为“完美二次函数”，其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足1OA−1OB=2OC，求b的值．
（3）已知关于x的二次函数y＝（t﹣1）x2+t2x+t﹣2为“完美二次函数”且关于x的一次函数y＝（t−32）x+2025随x的增大而减小．
①求t的取值范围；
②若该“完美二次函数”的顶点为M，与y轴交于点D，直线MD与坐标轴围成的三角形的面积为S，求S的取值范围．
25．（9分）如图，一块等腰三角形钢板ABC的底边BC长为80cm，腰AB，AC长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）求这块等腰三角形钢板ABC外接圆的半径．
（3）求这块等腰三角形钢板ABC的内心与外心之间的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，菱形ABCD中，点O为对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，作射线EO，交边CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【考点】中心对称；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据对称中心的定义，菱形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，点O为对称中心，
∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称、菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m5B．m6÷m2＝m3C．2m+3n＝5mnD．（m2）3＝m5
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可．
【解答】解：根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则逐项分析判断如下：
A、m2•m3＝m5，计算正确，符合题意；
B、m6÷m2＝m4，原选项错误，不符合题意；
C、2m与3n不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、（m2）3＝m6，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（3分）如图，为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出统计图．观察统计图，下列说法错误的是（ ）
A．本次接受随机抽样调查的男生人数为40
B．本次调查获取的样本数据的平均数为5.8
C．本次调查获取的样本数据的众数为12
D．本次调查获取的样本数据的中位数为6
【考点】众数；全面调查与抽样调查；加权平均数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据众数、平均数和中位数的定义进行解答即可．
【解答】解：调查的男生人数：6+12+10+8+4＝40（人），故A选项不符合题意；
（4×6+5×12+6×10+8×7+8×4）÷（6+12+10+8+4）＝5.8，故B选项不符合题意；
5出现的次数最多，所以众数是5，故C选项符合题意；
数据从小到大排列，中间的两个数是6，6，所以中位数是6，故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了众数、平均数和中位数，解题的关键是根据它们的定义来解答．
4．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（a，a+1）在第三象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点可得a＜0a+1＜0，再解不等式组，在数轴上表示出a的取值范围即可．
【解答】解：∵点P（a，a+1）在第三象限，
∴a＜0a+1＜0，
解得：a＜0a＜−1，
在数轴上可表示为：
，
∴该不等式组的解集为：x＜﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了点的特点，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示不等式的取值范围，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{4，3}＝4，max{﹣6，2}＝2．若关于x的函数为y＝max{x+7，﹣x+3}，则该函数的最小值是（ ）
A．﹣2B．0C．5D．7
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】联立y＝x+7与y＝﹣x+3成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【解答】解：联立y＝x+7与y＝﹣x+3得y=x+7y=−x+3，
解得x=−2y=5，
当x≥﹣2时，x+7≥﹣x+3，
∴y＝max{x+7，﹣x+3}＝x+7≥﹣2+7＝5；
当x＜﹣2时，x+7＜﹣x+3，
∴y＝max{x+7，﹣x+3}＝﹣x+3＞﹣（﹣2）+3＝5；
综上可知，该函数的最小值是5，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
6．（3分）如图，在⊙O中，OA，OB为半径，C为⊙O上一点，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】直接利用圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问7200文能买多少株橡？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．4(x−1)=7200xB．7200x−1=4
C．4x−1=7200xD．7200x=4
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，根据“这批椽的价钱为7200文”、“每株椽的运费为4文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解．
【解答】解：设这批椽的数量为x株，
∵这批椽的价钱为7200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴4(x−1)=7200x，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意是解题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝120°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝（ ）
A．833B．5C．4D．23
【考点】含30度角的直角三角形；特殊角的三角函数值；解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】延长AD，BC，两线交于点E，根据已知计算∠A＝60°，∠E＝30°，根据直角三角形的性质，和特殊角的函数值计算即可．
【解答】解：延长AD，BC，两线交于点E，如图，
∵∠C＝120°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠A＝60°，∠E＝30°，
∵BC＝2，CD＝3，
∴EC＝6，BE＝BC+EC＝8，
∵tan∠E=tan30°=ABBE=33，
∴AB8=33，
∴AB=833，
故选：A．
【点评】本题考查了辅助线构造直角三角形，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键．
9．（3分）一元二次方程4x2−2x+14=0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：Δ=(−2)2−4×4×14=0．
∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
10．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线垂直
C．对角线互相平分D．对角线垂直且平分
【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．
【解答】解：A、平行四边形和菱形都不具有对角线相等，不符合题意；
B、菱形具有对角线互相垂直平分，平行四边形具有对角线互相平分，符合题意；
C、平行四边形和菱形都具有对角线互相平分，不符合题意；
D、平行四边形和菱形都具有对角线互相平分，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【考点】立方根．
【专题】实数；应用意识．
【答案】﹣2．
【分析】根据立方根性质化简即可．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．
12．（3分）△ABC的三边为2，3，13，则外接圆的半径长为 132 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】132．
【分析】根据勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵22+32＝13，(13)2=13，
∴22+32=(13)2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆的直径为13，半径为132．
故答案为：132．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题关键．
13．（3分）分解因式：xy2+6xy+9x＝ x（y+3）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；符号意识．
【答案】x（y+3）2
【分析】直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：xy2+6xy+9x
＝x（y2+6y+9）
＝x（y+3）2．
故答案为：x（y+3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
14．（3分）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2+1图象上，则y1，y2，y3的大小为y1＜y2＜y3 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y1＜y2＜y3．
【分析】将三个点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的y1，y2，y3，再比较数值大小．
【解答】解：将三个点的横坐标分别代入二次函数解析式可得：
y1=02+1=1；
y2=12+1=2；
y3=22+1=5．
因为1＜2＜5，所以y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查二次函数的函数值计算，解题的关键是将点的横坐标代入函数解析式求出对应函数值，再比较大小．
15．（3分）在平面直角坐标系中、将点（3，﹣4）绕点O旋转90°，得到的点的坐标为 （4，3）或（﹣4，﹣3） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（4，3）或（﹣4，﹣3）．
【分析】根据题意作图，将点（3，﹣4）绕点O逆时针旋转90°得点B，逆时针旋转90°得点C，可证△AOD≌△BOE（AAS），得到OE＝AD＝4，OD＝BE＝3，且点B在第一象限，根据坐标与图形即可求解；根据点B与点C关于原点对称，可得点C的坐标，由此即可求解．
【解答】解：作图如下：，A（3，﹣4），将点（3，﹣4）绕点O逆时针旋转90°得点B，逆时针旋转90°得点C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
∴OD＝3，AD＝4，∠AOB＝90°，∠AOC＝90°，OA＝OB＝OC，
∴∠BOE＝∠A，∠ADO＝∠BOE＝90°，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴OE＝AD＝4，OD＝BE＝3，
∵点B在第一象限，
∴B（4，3），
由条件可知点B与点C关于原点对称，
∴C（﹣4，﹣3），
综上所述，将点（3，﹣4）绕点O旋转90°，得到的点的坐标为（4，3）或（﹣4，﹣3），
故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．
【点评】本题考查了点关于原点旋转的点的坐标，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．（3分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）3m+n＝ 9 ；
（2）我们把抛物线y＝﹣x2+mx+n在直线y＝x﹣3的上方的部分与线段BC围成的封闭区域记为“G区域”（包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．则“G区域”的整点的个数为 8 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】（1）9；（2）8．
【分析】（1）求出直线y＝x﹣3与x轴、y轴的两个交点B、C的坐标，由于抛物线过点B，把点B的坐标代入抛物线解析式中即可求解；
（2）把点C的坐标代入抛物线解析式中，求得n的值，再代入所求3m+n中，求得m的值，从而得到抛物线解析式，分别求得当x＝1，2时，一次函数与二次函数的函数值，即可确定整数y的值，从而确定整点个数；最后可确定所有整点数．
【解答】解：（1）令y＝x﹣3＝0，得x＝3；令x＝0，得x＝﹣3；
则点B（3，0）、点C（0，﹣3）；
∵抛物线过点B，
∴y＝﹣32+3m+n＝0，
即3m+n＝9；
故答案为：9；
（2）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y＝﹣x2+mx+n中，
得n＝﹣3；
由3m+n＝9，即3m﹣3＝9，
∴m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
当x＝1时，一次函数y＝1﹣3＝﹣2，二次函数y＝﹣12+4×1﹣3＝0，
“G区域”的整点为（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2）；
当x＝2时，一次函数y＝2﹣3＝﹣1，二次函数y＝﹣22+4×2﹣3＝1，
“G区域”的整点为（2，﹣1），（2，0），（2，1）；
而点B、C也是“G区域”的整点，其有8个整点；
∴“G区域”的整点个数为8个．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，掌握以上性质是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分81分，每小题9分）
17．（9分）解一元二次方程：x2﹣2x＝3．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝3，x2＝﹣1．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：由题意得，x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键．
18．（9分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD＝BC．求证：
（1）AB=CD；
（2）DE＝BE．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）证明见解析．
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据等弧所对的弦相等进行证明即可；
（2）根据等弧所对的圆周角证明△ADE≌△CBE即可得证．
【解答】证明：（1）∵AD＝BC，
∴AD=BC，
∴AD+AC=BC+AC，
即AB=CD；
（2）在△ADE和△CBE中，
∠A=∠CAD=BC∠D=∠B，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴DE＝BE．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等是正确解答的关键．
19．（9分）先化简，再求值：(1+2x−1)÷x+1x2−2x+1，其中x＝2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x﹣1，1
【分析】先将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则计算得出化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【解答】解：原式=(x−1x−1+2x−1)⋅(x−1)2x+1
=x+1x−1⋅(x−1)2x+1
＝x﹣1，
当x＝2时，
原式＝2﹣1＝1．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，把所求式子化简．
20．（9分）某校成立了以下社团：篮球，排球，足球，游泳，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 450 人；请将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有1500名学生加入了社团，请估计这1500名学生中参加篮球社团的人数；
（3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加市级新一轮比赛，请用画树状图或列表法求参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）450；补全条形统计图见解答．
（2）约400人．
（3）23．
【分析】（1）求出扇形统计图中游泳的百分比，再用条形统计图中游泳的人数除以扇形统计图中游泳的百分比可得这次被调查的学生人数；用这次被调查的学生人数分别减去条形统计图中篮球、排球、游泳的人数，可求出足球的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用1500乘以样本中参加篮球的人数所占的百分比可得答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及参加市级比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）这次被调查的学生共有150÷120360=450（人）．
故答案为：450．
参加足球的人数为450﹣120﹣75﹣150＝105（人）．
补全条形统计图如图2所示．
（2）1500×120450=400（人）．
∴估计这1500名学生中参加篮球社团的人数约400人．
（3）将两名男生分别记为A，B，将两名女生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中参加市级比赛的两人恰为一男一女的结果有：AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种，
∴参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率为812=23．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
21．（9分）在学习了特殊平行四边形后，数学兴趣小组的同学做了如下探究：四边形ABCD是平行四边形，E为对角线AC延长线上一点，连结DE，BE．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空：
（1）在平行四边形ABCD的外部，用尺规作∠ADF＝∠CBE，DF交CA的延长线于点F，连结BF．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）问的作图条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴ ∠DAC＝∠BCA ，
∵∠DAC+∠DAF＝∠BCA+∠BCE，
∴∠DAF＝∠BCE，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴ △ADF≌△CBE （ASA），
∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，
∴DF∥BE ，
∴四边形BEDF是平行四边形．
进一步思考：若四边形ABCD是菱形，则四边形BEDF是 菱形 ．
【考点】作图—复杂作图；菱形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）∠DAC＝∠BCA；△ADF≌△CBE；DF∥BE；菱形．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法按要求画图即可．
（2）结合平行四边形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质填空即可．
【解答】（1）解：如图，∠ADF即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC+∠DAF＝∠BCA+∠BCE，
∴∠DAF＝∠BCE，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，
∴DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
进一步思考：若四边形ABCD是菱形，则四边形BEDF是菱形．
故答案为：∠DAC＝∠BCA；△ADF≌△CBE；DF∥BE；菱形．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（9分）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2，y2=SS1+S2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【考点】函数的图象；函数关系式；函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象．
【答案】（1)y1=5−2x(0＜x≤52)2x−5(52＜x＜5)，y2=5x(0＜x＜5)；（2）作图见解析，性质：当0＜x≤52时，y1随x的增大而减小，当52＜x＜5时，y随x的增大而增大（不唯一）；当0＜x＜5时，y2随x的增大而减小；（3）0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1或0＜x＜3.2或0＜x＜3.4或0＜x＜3.5）
【分析】（1）利用矩形性质和勾股定理得出AC=AB2+BC2=5，AO＝CO＝5，分两部分：①当0＜x≤52时；②当52＜x＜5时，分别列出y1过点B作BM⊥AC于点M，利用等面积法求出BM=AB⋅BCAC=125，即可表示出△ABE的面积为S1=12AE⋅BM=65x，同理可得△CDF的面积为S2=65x，再结合矩形ABCD的面积为与y2=SS1+S2，即可列出y2；
（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；
（3）根据图象写出y1的图象在y2下方时对应的自变量x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4，
∴∠ABC＝90°，AC=AB2+BC2=5，
∴AO＝CO＝2.5，
当0＜x≤52时，AE＝CF＝x，如图，
∴y1＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣x﹣x＝5﹣2x，
当52＜x＜5时，AE＝CF＝x，如图，
∴y1＝EF＝AE+CF﹣AC＝x+x﹣5＝2x﹣5，
∴y1=5−2x(0＜x≤52)2x−5(52＜x＜5)，
如图，过点B作BM⊥AC 于点M，
∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BM，
∴BM=AB⋅BCAC=125，
∴△ABE的面积为S1=12AE⋅BM=12x×125=65x，
同理可得△CDF 的面积为S2=65x，
又∵矩形ABCD的面积为S＝3×4＝12，
∴y2=SS1+S2=1265x+65x=5x，
∴y2=5x(0＜x＜5)；
（2）作图如下：
性质：当0＜x≤52时，y1随x的增大而减小；
当52＜x＜5时，y1随x的增大而增大（不唯一）；
当0＜x＜5时，y2随x的增大而减小；
（3）结合函数图象，可得y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1或0＜x＜3.2或0＜x＜3.4或0＜x＜3.5）．
【点评】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键．
23．（9分）图1是初心园的实景图，图2是它的平面示意图，它是一个正五角星，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J，I四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且BC∥MN，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JA，∠A＝∠C＝∠DEF＝∠FGH＝∠I＝35°．∠FEC＝∠FGE＝36°，现测得EF＝1m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，sin18°≈0.31，cs18°≈0.95）
（1）求B，J两点间的距离．
（2）求点A到地面MN的距离．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）B，J两点间的距离是0.6m；
（2）点A到地面MN的距离为2.5m．
【分析】（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，在Rt△ABK中，利用锐角三角函数先求出BK，再求BJ；
（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，在Rt△AEL中，利用锐角三角函数求出AL．
【解答】解：（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，如图所示：
∵AB＝AJ＝lm，∠BAJ＝36°，
∴∠BAK＝18°，
∴BK＝AB•sin18°≈1×0.31＝0.31（m），
∴BJ＝0.62m≈0.6m．
答：B，J两点间的距离是0.6m；
（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，如图所示：
则BD＝BJ＝0.6m，
∴AE＝1+0.6+1＝2.6（m），
在Rt△AEL中，AL＝AE•cs18°＝2.6×0.95＝2.47≈2.5（m），
∴点A到地面MN的距离为2.5m．
答：点A到地面MN的距离为2.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解决本题的关键．
24．（9分）我们不妨约定：如果一个二次函数的图象经过四个象限，则称这个二次函数为“完美二次函数”．通过作图，我们发现“完美二次函数”的图象必与x轴有两个交点，并且这两点位于原点的两侧．
（1）判断下列关于x的二次函数是否为“完美二次函数”（若是，打“✓”；若不是，打“×”）．
①y＝x2﹣2x+1（ × ）
②y＝﹣2x2+x+1（ √ ）
③y＝x2+x﹣2（ √ ）
（2）已知关于x的二次函数y＝ax2+（b﹣2027）x﹣2a﹣1（a＞0）为“完美二次函数”，其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足1OA−1OB=2OC，求b的值．
（3）已知关于x的二次函数y＝（t﹣1）x2+t2x+t﹣2为“完美二次函数”且关于x的一次函数y＝（t−32）x+2025随x的增大而减小．
①求t的取值范围；
②若该“完美二次函数”的顶点为M，与y轴交于点D，直线MD与坐标轴围成的三角形的面积为S，求S的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）①×；
②√；
③√；
（2）b＝2025；
（3）①1＜t＜32；
②19＜S＜1．
【分析】（1）①令y＝0，求出相应方程的解即可判断交点情况；
②令y＝0，求出相应方程的解即可判断交点情况；
③令y＝0，求出相应方程的解即可判断交点情况；
（2）由解析式y＝ax2+（b﹣2027）x﹣2a﹣1可知点C坐标为（0，﹣2a﹣1），设A，B两点的横坐标分别为x1、x2，根据根系关系则x1+x2=2027−ba，x1x2=−2a−1a，则1OA−1OB=OB−OAOA⋅OB=x2−(−x1)2027−ba2a+1a=2027−b2a+1，2OC=22a+1，再利用1OA−1OB=2OC建立方程即可求解b的值；
（3）①由“完善二次函数”定义可得其图象与x轴交点的横坐标的符号相反，即t−2t−1＜0，解得1＜t＜2，又关于x的一次函数y＝（t−32）x+2025随x的增大而减小，所以t＜32，综上可得t的取值范围；
②先求出顶点坐标M（−t22(t−1)，4(t−1)(t−2)−t44(t−1)），由①中1＜t＜32可知其开口向上，对称轴为直线x=−t22(t−1)＜0，画出草图并作MF⊥y轴于点F，直线MD交x轴于点E，再表示出OD和MF、DF的长，利用△DMF∽△DEO建立比例关系，可表示出OE的长，进而可得S=12OD⋅OE=4t2−4t+1，令p=1t，则S＝4p2﹣4p+1＝4（p−12）2，利用二次函数的性质可求出S的范围．
【解答】解：（1）①令y＝x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，
此时抛物线与x轴有一个交点，不符合“完美二次函数”的定义，
故答案为：×；
②令y＝﹣2x2+x+1＝0，解得x1＝1，x2=−12，
此时抛物线与x轴有两个不同交点，且分居原点两侧，符合“完美二次函数”的定义，
故答案为：√；
③令y＝x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，
此时抛物线与x轴有两个不同交点，且分居原点两侧，符合“完美二次函数”的定义，
故答案为：√；
（2）由解析式y＝ax2+（b﹣2027）x﹣2a﹣1可知点C坐标为（0，﹣2a﹣1），
设A，B两点的横坐标分别为x1、x2，
则有x1+x2=2027−ba，x1x2=−2a−1a，
∵1OA−1OB=OB−OAOA⋅OB=x2−(−x1)2027−ba2a+1a=2027−b2a+1，
2OC=22a+1，
∵1OA−1OB=2OC，
∴2027−b2a+1=22a+1，解得b＝2025；
（3）①由“完善二次函数”定义可得其图象与x轴交点的横坐标的符号相反，
故t−2t−1＜0，解得1＜t＜2，
又∵关于x的一次函数y＝（t−32）x+2025随x的增大而减小，
∴t＜32，
综上可得t的取值范围为1＜t＜32；
②y＝（t﹣1）x2+t2x+t﹣2的顶点坐标M（−t22(t−1)，4(t−1)(t−2)−t44(t−1)），
由①中1＜t＜32可知其开口向上，对称轴为直线x=−t22(t−1)＜0，
画出草图如图所示，作MF⊥y轴于点F，直线MD交x轴于点E，
则D（0，t﹣2），OD＝2﹣t，MF=t22(t−1)，OF=t4−4(t−1)(t−2)4(t−1)=t44(t−1)−t+2，
∴DF＝OF﹣OD=t44(t−1)，
∵MF∥OE，
∴△DMF∽△DEO，
∴OEMF=ODDF，即OEt22(t−1)=2−tt44(t−1)，
则OE=2(2−t)t2，
则S＝S△ODE=12OD⋅OE=12（2﹣t）2(2−t)t2=(2−t)2t2=4t2−4t+1，
令p=1t，则S＝4p2﹣4p+1＝4（p−12）2，
∵1＜t＜32，
∴23＜p＜1，
故19＜S＜1．
【点评】本题以新定义为背景考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系，一次函数的性质，根系关系，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上内容并灵活运用是解题关键．
25．（9分）如图，一块等腰三角形钢板ABC的底边BC长为80cm，腰AB，AC长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）求这块等腰三角形钢板ABC外接圆的半径．
（3）求这块等腰三角形钢板ABC的内心与外心之间的距离．
【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）403；
（2）这块等腰三角形钢板ABC外接圆的半径为40cm．
（3）25．
【分析】（1）由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD＝30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解；
（3）根据题意得到AO′＝R=1253，AO＝30−403=503，于是得到OO′=1253−503=25．
【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D
则AD＝30，BD＝CD＝40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC=12BC•AD=12（AB+BC+CA）r=12∴12×80×30=12×（80+50+50）r，
∴r=403；
∴截得的最大圆的半径为403；
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD＝CD＝40，AD=502−402=30，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2＝402+（R﹣30）2，
∴R=1253；
∴这块等腰三角形钢板ABC外接圆的半径为40cm．
（3）外接圆的圆心为O′，内切圆的圆心为O，
AO′＝R=1253，AO＝30−403=503，
所以OO′=1253−503=25．
【点评】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．