2026年北京市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案

这是一份2026年北京市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案，文件包含第三章高考培优5利用导数研究函数的零点问题pptx、第三章高考培优5利用导数研究函数的零点问题教师版docx、第三章高考培优5利用导数研究函数的零点问题学生版docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共17页， 欢迎下载使用。
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，OD是∠BOC的平分线，则∠AOD的度数为（ ）
A．35°B．55°C．40°D．60°
3．（2分）截至2025年10月，我国的郭守敬望远镜（LAMOST）累计发布光谱数达到28070000条，数据量稳居世界第一．其中“28070000”用科学记数法表示为（ ）
A．0.2807×108B．28.07×106
C．2.807×107D．2.807×109
4．（2分）如图，数轴上点O、A、B、C、D所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点P对应的数是7，则点P落在哪两点之间（ ）
A．O和AB．A和BC．B和CD．C和D
5．（2分）若x＝3是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
6．（2分）已知一组数据：a，b，c，d，a，把这组数据中的每个数据都加上1后得到一组新数据，新数据与原数据相比，统计量不会发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．（2分）在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC．小赵和小刘同学先画出了∠MB'N＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是（ ）
A．小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长
C．小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是ASA
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长
8．（2分）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，再分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点H．若csA=45，AH＝8，则CH的长为（ ）
A．72B．4C．92D．2
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）方程7x+13=12x的解为 ．
10．（2分）把多项式ax2﹣9a分解因式的结果是 ．
11．（2分）若关于x的方程1x+1x+2=2mx(x+2)无解，则m的值为 ．
12．（2分）将分别标有“魅”“力”“呼”“兰”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其它区别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字笔画数大于6画的概率是 ．
13．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，设∠BAD＝α，则∠BCD＝ ．
14．（2分）点（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，﹣3），(−32，2)中，只有一个点不在同一个反比例函数的图象上，这个点是 ．
15．（2分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE＝AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，连接AF．当AF的长最小时，tan∠CDE的值为 ．
16．（2分）某校在3月14日国际数学节来临之际举办趣味数学活动．活动共有A，B，C，D，E五个数学游戏项目，每个游戏项目的游戏时间和规定参与人数固定（不满足规定参与人数，游戏无法开始），如表所示．
（1）若只有1位同学，则他可以参与的游戏项目的总时间为 min；
（2）若有3位同学，他们希望能够体验全部游戏项目（每个游戏项目至少有人参与过一次），则体验全部游戏项目的最短时间为 min．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：−12024+(3.14−π)0+(12)−1+38−2tan45°．
18．（5分）解不等式组4−x≥05x−12+1＞x，并求出所有整数解的和．
19．（5分）先化简，再求值：(a2a+1−a+1)÷a2−1a2+2a+1，其中a＝2．
20．（6分）春节期间，小李和小张两人相约到某区电影娱乐城看3D电影，他们家到电影娱乐城的路程分别为1600米和2280米．两人从各自家中同时出发，已知小李和小张的速度之比为2：3，结果小李比小张晚2分钟到达电影娱乐城，求两人的速度．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，过点D作AB的垂线交BC于点E，过点A作AF∥BE交ED的延长线于点F，连结AE，BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若sin∠EBF=45，AE＝5，连结CD，求CD的长．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x≥1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+m（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（5分）种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：（t），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.20块试验田每公顷产量的频数分布表和每公顷产量的统计图如下：
b．试验田每公顷产量在7.55＜x≤7.60这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59
（1）写出表中m的值；
（2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为 ；
（3）下列推断合理的是 .（填序号）；
①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于7.50t的试验田数量占试验田总数的25%；
②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名．
（4）1～10号试验田使用的是甲种种子，11～20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为7.537t及7.545t，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是 .（“甲“或“乙”）．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD⊥BC于点E．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）过点A的切线交DO延长线于点F．若tan∠BAD=12，BC＝8，求OF的长．
25．（5分）鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成分，某校科学小组连续28天监测了25℃恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为y1，B品类鸡蛋的蛋黄指数记为y2，部分数据如下：
通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系xOy中，画出了函数y1，y2的图象．
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
（1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数；
（2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；
（3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）．
26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求m的值；
（2）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
27．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．求证：DE∥BC．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和射线PQ，若图形M′与图形M关于直线PQ对称，且图形M和图形M′上分别存在点A，B，使得∠APB＝α，则称图形M与图形M′关于射线PQ“α对称”，点B为图形M关于射线PQ的一个“α对称点”．
（1）点C（0，2），D（2，0）．若⊙O半径为1．
①在P1（2，3），P2(52，2+32)，P3（1，2）中， 是⊙O关于射线CD的“60°对称点”；
②若直线y＝kx﹣1上存在⊙O关于射线CD的“60°对称点”，则k的取值范围是 ；
（2）已知T（1，0），E(0，3)，F（3，0），R（0，t），点G是半径为2的⊙T关于射线EF的“45°对称点”，若⊙T上的任意一点H，都不能使△HRG形成一个以∠HGR为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形，直接写出t的取值范围 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图形中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是关键．
2．（2分）如图，∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，OD是∠BOC的平分线，则∠AOD的度数为（ ）
A．35°B．55°C．40°D．60°
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据已知，∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，由∠AOB﹣∠AOC得出∠BOC的度数，再根据OD平分∠BOC，由角平分线的定义，可得∠BOD=12∠BOC，最后由∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣20°＝70°．
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=12∠BOC=12×70°＝35°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键．
3．（2分）截至2025年10月，我国的郭守敬望远镜（LAMOST）累计发布光谱数达到28070000条，数据量稳居世界第一．其中“28070000”用科学记数法表示为（ ）
A．0.2807×108B．28.07×106
C．2.807×107D．2.807×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：28070000＝2.807×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2分）如图，数轴上点O、A、B、C、D所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点P对应的数是7，则点P落在哪两点之间（ ）
A．O和AB．A和BC．B和CD．C和D
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】先估算7的大小，然后根据各点表示的数，结合图形，进行判断即可．
【解答】解：∵2＜7＜3，
∴点P落在点B和点C之间，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数．
5．（2分）若x＝3是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【考点】一元二次方程的解；解一元一次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把x＝3代入方程得到关于b的方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：x＝3为方程x2+bx﹣3＝0的一个根，
∴32+3b﹣3＝0，
解得b＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．（2分）已知一组数据：a，b，c，d，a，把这组数据中的每个数据都加上1后得到一组新数据，新数据与原数据相比，统计量不会发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】把一组数据中的每个数据都加1后，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加1，方差不变，据此可得答案．
【解答】解：把一组数据：a，b，c，d，a的每个数据都加1后，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加1，方差不变，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
7．（2分）在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC．小赵和小刘同学先画出了∠MB'N＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是（ ）
A．小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长
C．小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是ASA
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL，正确，本选项符合题意；
B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长，错误，应该是AC的长，不相信不符合题意；
C、小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是ASA，错误，应该是SAS，本选项不符合题意；
D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长，错误，应该是AB的长，本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2分）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，再分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点H．若csA=45，AH＝8，则CH的长为（ ）
A．72B．4C．92D．2
【考点】作图—基本作图；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】作图题．
【答案】D
【分析】作垂线（尺规作图），等腰三角形的性质．由锐角的余弦定义得到AB＝AC＝10，据此求解即可．
【解答】解：由作图知，BH⊥AC，
∴∠BHA＝90°，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴csA=AHAB=45，
∵AH＝8，
∴AB＝AC＝10，
∴CH＝AC﹣AH＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的相关计算，掌握其相关性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）方程7x+13=12x的解为 x＝1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝1．
【分析】方程两边都乘2x（x+13）得出14x＝x+13，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：7x+13=12x，
方程两边都乘2x（x+13），得：14x＝x+13，
移项，得：14x﹣x＝13
合并同类项得，13x＝13，
解得，x＝1，
检验：当x＝1时，2x（x+13）＝28≠0，
所以分式方程的解是x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
10．（2分）把多项式ax2﹣9a分解因式的结果是 a（x﹣3）（x+3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】a（x﹣3）（x+3）．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：ax2﹣9a
＝a（x2﹣9）
＝a（x﹣3）（x+3），
故答案为：a（x﹣3）（x+3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．（2分）若关于x的方程1x+1x+2=2mx(x+2)无解，则m的值为 ±1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】±1．
【分析】根据分式方程的定义即可解答．
【解答】解：1x+1x+2=2mx(x+2)，
x+2+x＝2m，
m＝x+1，
∵关于x的方程1x+1x+2=2mx(x+2)无解，
∴x＝0或x+2＝0，
∴x＝0或x＝﹣2，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
【点评】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
12．（2分）将分别标有“魅”“力”“呼”“兰”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其它区别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字笔画数大于6画的概率是 12 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】12．
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【解答】解：在“魅”“力”“呼”“兰”四个汉字中，笔画数大于6画的有“魅”“呼”两个，
所以搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字笔画数大于6画的概率是24=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握该知识点是关键．
13．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，设∠BAD＝α，则∠BCD＝ 180°−α2 ．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】180°−α2．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，进而根据内角和求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∠BCD=∠BCA+∠DCA=360°−∠BAD2=360°−α2=180°−α2，
故答案为：180°−α2．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（2分）点（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，﹣3），(−32，2)中，只有一个点不在同一个反比例函数的图象上，这个点是 （﹣1，﹣3） ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（﹣1，﹣3）．
【分析】设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，利用待定系数法逐个判断即可得．
【解答】解：设反比例函数的解析式为k＝xy，
将点（﹣1，3）代入得：k＝﹣1×3＝﹣3，
将点（﹣1，﹣3）代入得：k＝﹣1×（﹣3）＝3，
将点（1，﹣3）代入得：k＝1×（﹣3）＝﹣3，
将点(−32，2)代入得：k=−32×2=−3，
由此可知，只有点（﹣1，﹣3）不在同一个反比例函数的图象上，
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
15．（2分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE＝AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，连接AF．当AF的长最小时，tan∠CDE的值为 2−1 ．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】2−1．
【分析】通过证明△ABF∽△OBE，可得AF=2OE，则当点E在AC上时，OE有最小值为2−2，即AF的最小值为22−2，由等腰直角三角形的性质和锐角函数的性质可求解．
【解答】解：如图，连接AC，BD，交于点O，连接OE，BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BO，∠ABO＝45°，AC⊥BD，
∴AB=2BO＝2，
∴BO＝AO=2，
∵将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，
∴BE＝EF，∠BEF＝90°，
∴BF=2BE，∠FBE＝45°，
∴∠FBE＝∠ABO，
∴∠ABF＝∠OBE，
又∵ABBO=BFBE=2，
∴△ABF∽△OBE，
∴AFOE=2，
∴AF=2OE，
∵AB＝AE＝2，
∴当点E在AC上时，OE有最小值为2−2，
∴AF的最小值为22−2，
此时，如图，过点E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE＝22−2，
∴EH＝CH＝2−2，
∴DH=2，
∴tan∠CDE=EHDH=2−22=2−1，
方法二：连接EC，AC，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，
∴BE＝EF，∠BEF＝90°＝∠ABC，
∴∠AEF＝∠CBE，
又∵AB＝AE＝BC，
∴△AEF≌△CBE（SAS），
∴AF＝EC，
∴当点E在AC上时，AF有最小值，
此时，如图，过点E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE＝22−2，
∴EH＝CH＝2−2，
∴DH=2，
∴tan∠CDE=EHDH=2−22=2−1，
故答案为：2−1．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键．
16．（2分）某校在3月14日国际数学节来临之际举办趣味数学活动．活动共有A，B，C，D，E五个数学游戏项目，每个游戏项目的游戏时间和规定参与人数固定（不满足规定参与人数，游戏无法开始），如表所示．
（1）若只有1位同学，则他可以参与的游戏项目的总时间为 7 min；
（2）若有3位同学，他们希望能够体验全部游戏项目（每个游戏项目至少有人参与过一次），则体验全部游戏项目的最短时间为 15 min．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力；应用意识．
【答案】（1）7；（2）15．
【分析】（1）根据不满足规定参与人数，游戏无法开始列出算式4+3，进行计算即可求解；
（2）根据每个游戏项目至少有人参与过一次列出算式6+6+3，进行计算即可求解．
【解答】解：（1）4+3＝7（min）．
故他可以参与的游戏项目的总时间为7min；
故答案为：7；
（2）6+6+3＝15（min）．
故体验全部游戏项目的最短时间为15min．
故答案为：15．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：−12024+(3.14−π)0+(12)−1+38−2tan45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、开立方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：−12024+(3.14−π)0+(12)−1+38−2tan45°
＝﹣1+1+2+2﹣2×1
＝﹣1+1+2+2﹣2
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（5分）解不等式组4−x≥05x−12+1＞x，并求出所有整数解的和．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】−13＜x≤4，所有整数解的和为10．
【分析】先解出每个不等式的解集，然后即可求出该不等式组的解集，从而可以得到该不等式组的整数解．
【解答】解：解不等式4﹣x≥0，得x≤4，
解不等式5x−12+1＞x，得x＞−13，
∴不等式组的解集为−13＜x≤4，
∴所有整数解的和为：0+1+2+3+4＝10．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
19．（5分）先化简，再求值：(a2a+1−a+1)÷a2−1a2+2a+1，其中a＝2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】1a−1，1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[a2a+1−(a−1)(a+1)a+1]•(a+1)2(a+1)(a−1)
=1a+1•a+1a−1
=1a−1，
当a＝2时，原式=12−1=1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．（6分）春节期间，小李和小张两人相约到某区电影娱乐城看3D电影，他们家到电影娱乐城的路程分别为1600米和2280米．两人从各自家中同时出发，已知小李和小张的速度之比为2：3，结果小李比小张晚2分钟到达电影娱乐城，求两人的速度．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】小李的速度为40米/分，则小张的速度为60米/分．
【分析】设小李的速度为2x米/分，则小张的速度为3x米/分，利用时间＝路程÷速度，结合小李比小张晚2分钟到达电影娱乐城，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入2x，3x中，即可求出结论．
【解答】解：设小李的速度为2x米/分，则小张的速度为3x米/分，
根据题意得：16002x−22803x=2，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×20＝40，3x＝3×20＝60．
答：小李的速度为40米/分，则小张的速度为60米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，过点D作AB的垂线交BC于点E，过点A作AF∥BE交ED的延长线于点F，连结AE，BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若sin∠EBF=45，AE＝5，连结CD，求CD的长．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）25．
【分析】（1）先证明△FAD≌△EBD（AAS），则AF＝BE，则四边形AEBF是平行四边形，又EF⊥AB，即可得到四边形AEBF是菱形；
（2）由四边形AEBF是菱形得到AE∥BF，AE＝EB＝BF＝AF＝5，则∠AEC＝∠EBF，由sin∠AEC=sin∠EBF=45得到AC＝4，由勾股定理得CE＝3，由勾股定理得到AB=45，由点D为AB的中点即可得到答案．
【解答】（1）解：∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∵AF∥BE，
∴∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，
∴△FAD≌△EBD（AAS），
∴AF＝BE，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形．
（2）解：∵四边形AEBF是菱形．
∴AE∥BF，AE＝EB＝BF＝AF＝5，
∴∠AEC＝∠EBF，
∴sin∠AEC=sin∠EBF=45，
∵∠ACB＝90°，
∴ACAE=AC5=45，
∴AC＝4，
∴CE=AE2−AC2=3，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+BC2=42+(3+5)2=45，
∵点D为AB的中点，
∴CD=12AB=25．
【点评】此题考查了菱形判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x≥1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+m（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）m＞1．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝﹣x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点（1，2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝﹣x平移得到，
∴k＝﹣1，
将点（1，2）代入y＝﹣x+b，
得﹣1+b＝2，解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵当x≥1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+m（m≠0）的值大于一次函数y＝﹣x+3的值，
把点（1，2）代入y＝mx+m，求得m＝1，
∵当x≥1时，对于x的每一个值，函数y＝x+1的值大于一次函数y＝﹣x+3的值，
∴m＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23．（5分）种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：（t），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.20块试验田每公顷产量的频数分布表和每公顷产量的统计图如下：
b．试验田每公顷产量在7.55＜x≤7.60这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59
（1）写出表中m的值；
（2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为 7.55 ；
（3）下列推断合理的是 ① .（填序号）；
①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于7.50t的试验田数量占试验田总数的25%；
②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名．
（4）1～10号试验田使用的是甲种种子，11～20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为7.537t及7.545t，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是 乙 .（“甲“或“乙”）．
【考点】方差；频数（率）分布表；加权平均数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）4；（2）7.55；（3）①；（4）乙．
【分析】（1）根据部分之和等于调查总数，可求出m值；
（2）根据中位数的概念，即可求解；
（3）用每公顷产量低于7.50t的试验田数量除以调查的试验田总数量，可判断①；根据统计图和频数分布表，即可判断②；
（4）根据方差和平均数的定义和意义，即可作答．
【解答】解：（1）20﹣3﹣2﹣6﹣5＝4（块），
∴m＝4；
（2）将20块试验田每公顷产量数据从小到大排列，可知第10个和第11个数据数据均为7.55，
所以这组数据的中位数为（7.55+7.55）÷2＝7.55，
故答案为：7.55；
（3）①（2+3）÷20＝25%，所以①说法正确，
②从统计图可以看出，7.60≤x≤7.65共有5块试验田，分别是1、3、5、6、17，其中1、5、6的试验田数据略高于3号，17号略小于3号，
所以3号田的数据从高到低排第4名，②说法错误，
故答案为：①；
（4）首先，从统计图可以看出，甲的数据主要分布于7.40﹣7.65，乙的数据主要分布于7.45﹣7.60，
所以与甲的数据相比，乙的数据波动较低，离散程度较低，数据更加稳定，
其次，乙的平均数大于甲的平均数，
所以这个地区比较适合种植的种子是乙，
故答案为：乙．
【点评】本题考查了频数分布表、中位数、平均数和方差，熟练掌握中位数、平均数和方差的概念并结合题干解题读懂统计图和频数分布表是解题的关键．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD⊥BC于点E．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）过点A的切线交DO延长线于点F．若tan∠BAD=12，BC＝8，求OF的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）OF的长是253．
【分析】（1）由OD⊥BC于点E，根据垂径定理得CD=BD，即可由圆周角定理证明∠CBD＝∠BAD；
（2）由切线的性质得AF⊥AB，因为OD垂直平分BC，且BC＝8，所以∠OAF＝∠OEB＝∠BED＝90°，BE＝CE=12BC＝4，由DEBE=tan∠CBD＝tan∠BAD=12，求得DE=12BE＝2，由OE2+BE2＝OB2，且OE＝OB﹣2，得（OB﹣2）2+42＝OB2，则OA＝OB＝5，OE＝3，由OAOF=cs∠AOF＝cs∠EOB=OEOB=35，求得OF=53OA=253．
【解答】（1）证明：∵OD是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，且OD⊥BC于点E，
∴CD=BD，
∴∠CBD＝∠BAD．
（2）解：如图，过点A的切线交DO延长线于点F，
∵AB是⊙O的直径，
∴AF⊥AB，
∵OD垂直平分BC，垂足为点E，且BC＝8，
∴∠OAF＝∠OEB＝∠BED＝90°，BE＝CE=12BC＝4，
∵∠CBD＝∠BAD，
∴DEBE=tan∠CBD＝tan∠BAD=12，
∴DE=12BE＝2，
∵OD＝OB，
∴OE＝OD﹣DE＝OB﹣2，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴（OB﹣2）2+42＝OB2，
∴OA＝OB＝5，
∴OE＝3，
∵∠AOF＝∠EOB，
∴OAOF=cs∠AOF＝cs∠EOB=OEOB=35，
∴OF=53OA=53×5=253，
∴OF的长是253．
【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地求出DE的长及OB的长是解题的关键．
25．（5分）鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成分，某校科学小组连续28天监测了25℃恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为y1，B品类鸡蛋的蛋黄指数记为y2，部分数据如下：
通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系xOy中，画出了函数y1，y2的图象．
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
（1）第 11 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数；
（2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 27 天（结果保留整数）起基本失去弹性；
（3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 0.09 （结果保留小数点后两位）．
【考点】一次函数的应用；函数的图象．
【专题】数形结合；数据分析观念．
【答案】（1）11；
（2）21，27；
（3）0.09．
【分析】（1）观察函数图象，找到B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的交点，即可判断出B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数大约在几天之后；
（2）取y＝0.18，看A品类鸡蛋和B品类鸡蛋所对应的天数即可；
（3）从表格中易得第21天n的值，观察函数图象可得在第22天时，n的值最大，根据所给函数图象判断n的最大值即可．
【解答】解：
（1）观察图象可得：B品类鸡蛋的蛋黄指数等于A品类鸡蛋的蛋黄指数的天数大约为11，
∴第11天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数．
故答案为：11；
（2）观察函数图象，当y＝0.18时，对应A品类鸡蛋的天数约为21，对应B品类鸡蛋的天数约为27，
∴A品类鸡蛋从第21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性．
故答案为：21，27；
（3）∵第21天时，n＝0.26﹣0.18＝0.08，第22天时，y2的值变化不大，y1的值明显下降，
∴n的最大值约为0.09，
故答案为：0.09．
【点评】本题考查函数及其图象的相关知识．根据图象结合表格判断出相应的数值是解决本题的关键．
26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求m的值；
（2）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）m＝1；
（2）m＞1或m＜−12．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当x＝0，y＝2m+1，当x＝1时，y＝﹣2m+2，当交点在线段OA之间时，那么2m+1＞0且﹣2m+2＜0，或者当2m+1＜0时，﹣2m+2＞0，从而解得答案．
【解答】解：（1）由条件可知3＝42﹣16m+2m+1，
解得m＝1；
（2）当x＝0，y＝2m+1，
当x＝1时，y＝﹣2m+2，
当交点在线段OA之间时，当2m+1＞0时，﹣2m+2＜0，
解得m＞1；
当2m+1＜0时，﹣2m+2＞0，
解得m＜−12；
综上，m＞1或m＜−12．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
27．（7分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．求证：DE∥BC．
【考点】旋转的性质；平行线的判定；等边三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】由旋转的性质可得CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，可得∠CDE＝60°＝∠ACB，可证DE∥BC．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°＝∠ACB，
∴DE∥BC．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和射线PQ，若图形M′与图形M关于直线PQ对称，且图形M和图形M′上分别存在点A，B，使得∠APB＝α，则称图形M与图形M′关于射线PQ“α对称”，点B为图形M关于射线PQ的一个“α对称点”．
（1）点C（0，2），D（2，0）．若⊙O半径为1．
①在P1（2，3），P2(52，2+32)，P3（1，2）中，P3 是⊙O关于射线CD的“60°对称点”；
②若直线y＝kx﹣1上存在⊙O关于射线CD的“60°对称点”，则k的取值范围是 2−233≤k≤3 ；
（2）已知T（1，0），E(0，3)，F（3，0），R（0，t），点G是半径为2的⊙T关于射线EF的“45°对称点”，若⊙T上的任意一点H，都不能使△HRG形成一个以∠HGR为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形，直接写出t的取值范围 t＞33+2或33−2＜t＜23+1或t＜3−2 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；压轴题．
【答案】（1）①P3；②2−233≤k≤3；（2）t＞33+2或33−2＜t＜23+1或t＜3−2．
【分析】（1）①先求出⊙O关于射线CD对称的⊙O的圆心坐标，验证点P1P2P3均是否在⊙O上，然后分别连接CP1、CP2、CP3，再将其顺时针旋转60°，得到CP'1，CP′2、CP′3，通过数形结合的方法得到CP'1，CP2′、CP3′是否与⊙O有交点即可判断；
②根据①的方法得到⊙O上在直径GH下半部分的点均满足⊙O关于射线CD的“60°对称点”，然后根据直线y＝kx﹣1经过点S（0，﹣1），可知当直线 y＝kx﹣1 经过点G时，k取得最大值，求得此时的k值；当直线y＝kx﹣1与⊙O相切于点L时，k取得最小值，设L（x，kx﹣1），利用SO和SL的距离列出方程，联立解得x，求得此时的k值即可；
（2）根据（1）中的方法得到G点运动的范围，然后根据等腰三角形的性质，利用数形结合的方法，分情况讨论求得t值，即可得到结论．
【解答】解：（1）①根据题意，作⊙O关于射线CD对称的⊙O，连接OO′、CO'，DO'，则OO′⊥CD，垂足为K，OK＝O′K，如图所示，
∵C（0，2），D（2，0），
∴OC＝OD＝2，
∵∠COD＝90°，
∴△COD为等腰直角三角形，
∵OK⊥CD，
∴CK＝DK＝OK，
又∵OK＝O′K，
∴四边形ODO′C为平行四边形，
∵CK＝DK＝OK＝O′K，OK⊥CD，
∴四边形ODO′C为正方形，
∴O′C⊥OC，O′D⊥OD，O′C＝O′D＝OC＝2，
∴O′（2，2），
∵P1（2，3），P2（52，2+32），P3（1，2），
∴O′P1=(2−2)2+(2−3)2=1，O′P2=(2−52)2+[2−(2+32)]2=1，O′P3=(2−1)2+(2−2)2=1，
∴点P1，P2，P3均在⊙O关于射线CD对称的⊙O′上，
根据题意，分别连接CP1、CP2、CP3，再将其顺时针旋转60°，得到CP1′，CP2′，CP3′，如图所示，
由图可知，CP1′，CP2′与⊙O无交点，
∴P1，P2不是⊙O关于射线CD的“60°对称点”；
过点O作OM⊥CP3′的延长线于点M，则∠CMO＝90°，
∵C（0，2），P3（1，2），
∴CP3⊥y轴，即∠OCP3＝90°，OC＝2，
又∵∠P3CM＝60°，
∴∠OCM＝∠OCP3﹣∠P3CM＝90°﹣60°＝30°，
∴OM=12OC=12×2＝2，
∵⊙O半径为1，
∴点M在圆上，
∴P3是⊙O关于射线CD的“60°对称点”；
故答案为：P3；
②由①可知，O′（2，2），连接CO′交⊙O′于点G，并延长CO′交⊙O′于点H，过点C作⊙O′的切线，切点为J，连接O′J，如图所示，
则∠CJO'＝90°，
在Rt△CJO′中，CO′＝2，O′J＝1，
∴sin∠O′CJ=O′JCO=12，
∴∠O'CJ＝30°，
∵∠OCO'＝90°，
∴∠OCJ＝∠OCO′﹣∠O'CJ＝90°﹣30°＝60°，
即点I为⊙O关于射线CD的60°对称点”，
又∵由①可知，将CH绕点C顺时针旋转60°，其与⊙O相切，
即⊙O′上在直径GH下半部分的点均满足⊙O关于射线CD的“60°对称点”，
在y＝kx﹣1上，当x＝0时，y＝﹣1，即直线y＝kx﹣1经过点S（0，﹣1），如图所示，
∴当直线y＝kx﹣1经过点G时，k取得最大值，
∵CO′＝2，O′G＝1，
∴G（1，2），
将G（1，2）代入y＝kx﹣1，得k＝3；
当直线y＝kx﹣1与⊙O相切于点L时，k取得最小值，设L（x，kx﹣1），则 O′L⊥SL，
∵S（0，﹣1），O′（2，2），
∴在Rt△S′OL中，SO2＝22+[2﹣（﹣1）]2＝13，
O′L2＝1﹣（x﹣2）2+（kx﹣1﹣2）2，
∴SL2＝SO′2﹣O′L2＝13﹣1＝12＝x2+（kx﹣1+1）2，
联立(x−2)2+(kx−1−2)2=1①x2+(kx−1+1)2=12②，
整理②x2+k2x2＝12③，即x2=121+k2④，
将③代入①整理得x=123k+2⑤，
联立④⑤，解得k＝2±233，
∵2+233＞3，
∴k＝2−233，
综上，直线y＝kx﹣1上存在⊙O关于射线CD的“60°对称点”，则k的取值范围是2−233≤k≤3；
（2）根据题意，作⊙T关于射线EF对称的⊙T′，连接TT'，ET′，FT'，则TT′⊥EF，垂足为V，TV＝T′V，如图所示，
∵T（1，0），E(0，3)，F（3，0），
∴OE=3OT＝1，TF＝3﹣1＝2，ET=(3)2+12=2，
∴ET＝FT，
∴TV⊥EF，
∴EV＝FV，
∵TV＝T′V，
∴四边形ETFT是平行四边形，
∵ET＝FT，
∴四边形ETFT是菱形，
∴ET'＝ET＝2，ET′∥TF，点T到x轴=OE=3，
∴T′（2，3）；
过点E作⊙T的切线EU，切点为U，连接TU，将直线EU绕点E逆时针旋转45°，交⊙T'于G1G2，交x轴负半轴于点N，如图，
则∠UEG1＝45°，
∵∠EUT＝90°，ET＝2，TU=2，
∴sin∠TEU=TUET=22，
∴∠TEU＝45°，
∴∠TEG1＝∠TEU+∠UEG1＝45°+45°＝90°，
∵sin∠OET=OTET=12，
∴∠OET＝30°，
∴∠NEO＝90°﹣30°＝60°，
∴ON=OE⋅tan∠NEO=3×tan60°=3，
∴N（﹣3，0），
设直线NE的表达式为y＝ax+b，代入N（﹣3，0），E(0，3)，
得−3a+b=0b=3，解得a=33b=3，
∴直线NE的表达式为y=33x+3；
不妨设直线NE与⊙T′的交点坐标为(m，33m+3)，
∵T′（2，3），⊙T'的半径为2，
∴(m−2)2+(33m+3−3)2=(2)2
解得m=3±32，
∴33m+3=33±12，
∴G1(3+32，33+12)，
过点E作⊙T′的切线EW，切点为W，连接T′W，则∠EWT′＝90°，
∵ET′＝2，WT′=2，
∴sin∠WET′=WT′ET′=22，
∴WET′＝45°，
∴∠OEW＝45°，
即⊙T上优弧G1G2上的点均满足⊙T关于射线EF的45°对称点”；
设⊙T和y轴交于点弧G1′和G2′，⊙T和⊙T′的一个交点为X，连接G1G1′、G2G2′、G1X、G1′X，如图所示，
∵OT＝1，G1T=2，
∴OG1=G1T2−OT2=(2)2−12=1，
∴EG1′=OE+OG1′=3+1 EG1=(3+32)2+(33+12−3)2=3+1，
∴EG1＝EG1，tan∠OEF=OFOE=33=3，∠OEG1＝120°，
∴∠OEF＝60°=12∠OEG1，即EF平分∠G1′EG1，
∴G1G1′⊥EF，G1、G2关于射线EF的对称点分别为G1′、G2′，∠EG1′G1＝30°，同理∠EG2′G2＝30°，
∵E(0，3)，F（3，0），设直线EF的表达式为y＝cx+d，代入得，3c+d=0d=3，解得c=−33d=3，
∴直线EF的表达式为y=−33x+3，
∵点X在直线EF上，不妨设其坐标为(n，−33n+3)，
∵T（1，0），⊙T的半径为2，
∴(n−1)2+(−33n+3)2=(2)2，解得n=3+32（较小值已舍去），
∴−33m+3=3−12，
∴X(3+32，3−12)，
∴G1X=33+12−3−12=3+1，G1X=(0−3+32)2−(−1−3−12)2=3+1，
∴G1X=G1′X=G1′E=EG1=3+1，
∴四边形EG1′XG1为菱形，
∴∠EG1X＝60°，G1X∥y轴，
∴当⊙T上的点H在G1′和X上，与R（0，t）形成一个以∠HGR为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形HRG′时，G′的轨迹直线G1′G1，
同理当点H在G2′和⊙T与⊙T'的另一个交点上，与R（0，t）形成一个以∠HG′R为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形HRG′时，G的轨迹直线G2G2′
同时，当R（0，t）为定点，点H在⊙T上运动时G′的轨迹为圆，如图所示，
∴当G轨迹与⊙T′相切于点G1，当G'与G1重叠时，此时⊙T上有一点H，能使△HRG1形成一个以∠HG1R为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形，即点H与G1重合，
如图所示，
∵∠REG1＝∠NEO＝60°，∠ERG1＝30°，
∴∠EG1R＝90°，
∴RE=2EG1=2(3+1)=23+2，
∴OR=OE+ER=33+2，即t=33+2，
∴当t＞33+2时，⊙T上的任意一点H，都不能使△HRG形成一个以∠HGR为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形；
同理，当G′轨迹与⊙T'相切于直线G1G1′与⊙T的另一交点G''时，当G'与G1重叠，此时点H与X重合，如图所示，
∵G1(3+32，33+12)，G1′（0，﹣1），设直线G1G1′的表达式为y＝ex+f，代入得e=3f=−1，
∴直线G1G1′的表达式为y=3x﹣1；
∵点G1″在直线EF上，不妨设其坐标为（q，3q﹣1），
∵T′（2，3），⊙T′的半径为2，
∴(q−2)2+(3q−1−3)2=(2)2，
解得q＝1，（较大值已舍去），
∴3q﹣1=3−1，
∴G1''（1，3−1），
∴G1″H=(1−3+32)2+(3−1−3−12)=2，
∴G1″R＝G1″H=2，
∴(0−1)2+[t−(3−1)]2=(2)2，
解得t=3−2或3（舍去），
∴当t＜3−2时，⊙T上的任意一点H，都不能使△HRG形成一个以∠HGR为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形；
当G′轨迹与⊙T'相交于点G1，另一个交点在劣弧G1G2上时，如图所示，
当G与G1重叠时，当此时点H与X重合，
∵∠RG′H＝120°，∠EGH＝60°，
∴∠RG1E＝60°＝∠REG1，
∴△REG1为等边三角形，
∴RE＝EG1=3+1，
∴OR＝OE+ER＝23+1即t＝23+1，同理当G轨迹与⊙T相交于G2，另一个交点在劣弧G1G2上时，如图所示，
当G与G2重叠时，此时点H与G2重合，EG2=(3−32)2+(33−22−3)2=3−1，
∵∠HRG'＝30°，∠REG2＝60°，
∴∠EG2R＝90°，
∴RE=2EG2=23−2，
∴OR=OE+ER=33−2，即t=33−2，
∵⊙T′上优弧G1G2上的点G才满足⊙T关于射线EF的“45°对称点”；
∴当33−2＜t＜23+1时，⊙T上的任意一点H，都不能使△HRG 形成一个以∠HGR为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形；
综上所述，当t＞33+2或33−2＜t＜23+1或t＜3−2时，⊙T上的任意一点H，都不能使△HRG形成一个以∠HGR为顶角且顶角度数为120°的等腰三角形．
【点评】本题考查了图形新定义，轴对称的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标求两点间的距离，解直角三角形等等，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思维是解题的关键．游戏项目
A
B
C
D
E
游戏时间（min）
3
6
6
4
3
规定参与人数（人）
2
3
2
1
1
每公顷产量（
频数
7.40≤x＜7.45
3
7.45≤x＜7.50
2
7.50≤x＜7.55
m
7.55≤x＜7.60
6
7.60≤x≤7.68
5
x/天
0
7
14
21
28
y1
0.45
0.35
0.26
0.18
0.13
y2
0.45
0.33
0.28
0.26
0.15
游戏项目
A
B
C
D
E
游戏时间（min）
3
6
6
4
3
规定参与人数（人）
2
3
2
1
1
每公顷产量（
频数
7.40≤x＜7.45
3
7.45≤x＜7.50
2
7.50≤x＜7.55
m
7.55≤x＜7.60
6
7.60≤x≤7.68
5
x/天
0
7
14
21
28
y1
0.45
0.35
0.26
0.18
0.13
y2
0.45
0.33
0.28
0.26
0.15