2026年北京市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案 (1)

这是一份2026年北京市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案 (1)，文件包含2026年山东菏泽市东明县九年级中考二模语文试题pdf、2026年山东菏泽市东明县九年级中考二模语文试题答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。

A．1.42×10﹣4B．1.42×10﹣7C．1.42×10﹣8D．1.42×10﹣9
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）我国四个城市某天的平均温度如下，其中平均温度最低的是（ ）
A．﹣10℃B．12℃C．0℃D．﹣5℃
4．（2分）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个白球、7个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．512B．712C．57D．1
5．（2分）如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，连接OC，OD⊥OC交BC于点D，若csA=35，则CD的长为（ ）
A．6B．254C．203D．5
6．（2分）如图，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，∠B＝30°，D是射线BA上的动点，连接CD，过点D作DE⊥射线CA于点E，点F在边BC上（F不与点B，C重合），作FM∥CD交射线BA于点M，若∠CDE＝50°，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（ ）
甲：当点D在线段AB上时，∠FMA＝60°；
乙：当点D在射线BA上时，∠CFM的度数为40°或130°．
A．只有甲的正确B．只有乙的正确
C．两人的都正确D．两人的都不正确
7．（2分）方程组x+y=3x−y=−1的解是（ ）
A．x=1y=2B．x=1y=−2C．x=2y=1D．x=0y=−1
8．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿着A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为xcm，下列图象中能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）
9．（2分）若分式3x−2有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）把多项式ma2﹣mb2分解因式的结果是 ．
11．（2分）请补全一个真命题：若a2＞b2，则 ，它的逆命题是 ．逆命题是 命题．
12．（2分）如图，将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D，C的对应点分别为D′，C′，线段D′C′交线段BC于点G，若∠DEF＝55°，则∠FGC′的度数是 ．
13．（2分）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，给出下列结论：①AB=CD；②BD=AC；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．其中结论正确的是 ．（填序号）
14．（2分）聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔为八角形楼阁式佛塔．八边形的内角和为 ．
15．（2分）已知a，b满足（a2+1）（b2+4）＝8ab，则a(b+1b)= ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
16．（5分）计算：(−1)2025−|−7|+9×(7−π)0+(15)−1．
17．（5分）解不等式组2x≥2−x①4x−7＜x+2②．
18．（5分）已知，⊙O的半径为1，A、B、C、D是圆上四点，且满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）请在图1中直接用尺规作出弦CD与点H（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2所示，延长AH至点F，使得2HF＝AF，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，PD=12AD，点M为AP的中点，连结HM．求证：MH⊥CP．
19．（5分）如图所示，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）若AB＝16cm，求菱形BDEF的周长．
20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（3，5）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＜0时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，且大于函数y＝2x﹣k的值，直接写出m的取值范围．
21．（6分）小明和小杰拥有的图书之比为3：2，如果小明送给小杰15本，两人的图书就一样多，问两人共有多少本图书．
22．（5分）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比富，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：
甲：8，7，9，8，8；乙：9，6，10，8，7．
（1）将下表填写完整．
（2）根据以上信息，若你是教练你会选择谁参加射击比赛，理由是什么？
（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会 （填“变大”或“变小”或“不变”）．
23．（6分）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，C，D两点在半圆上，连接AC，BD．过点C作半圆的切线交AB的延长线于点E．
（1）证明：∠BAC＝∠BCE；
（2）若BC＝CD，BE＝2，CE＝4．
①求AB的长；
②求tan∠CBD的值．
24．（6分）能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．为了解某品牌一款新能源汽车的耗电量，相关技术人员在汽车试验基地对该款新能源汽车做了耗电量试验，发现汽车剩余电量Q（kW•h）是汽车行驶路程s（km）的一次函数，试验数据记录如下．
（1）根据表中的数据，求Q与s之间的函数表达式；
（2）当汽车剩余电量为39.2kW•h时，若以75km/h的速度匀速行驶，该汽车最多还能行驶多长时间？
25．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）m的值为 ；
（2）当x满足0≤x≤4时，则y的取值范围是 ；
（3）当x满足 时，y＞0．
26．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B，C的对应点分别为B′，C′，B'C'的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．
（1）求证：∠B′AB＝∠B′DB；
（2）若AC＝4，CD＝3，求线段CC'的长．
27．（7分）阅读以下材料，完成问题．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．若已知∠A的对边与邻边的比值，则可得到∠A的度数．如：若BCAB=1，则∠A＝45°；若BCAB=3，则∠A＝60°．
在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，C为AB中点．
（1）小试牛刀：如图1，根据材料，∠BAO＝ ；
（2）新知探究：如图2，若D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一动点，求OD+CD的最小值；
（3）实践应用：
【选做1】如图3，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于Q，P两点，C为PQ中点．E是线段PQ上一动点，以O为直角顶点，OE为腰在OE下方作等腰直角△OEF，连接CF，求OF+CF的最小值： ；
【选做2】如图4，M是线段AB上一动点，以OM为边在OM下方作等边△OMN，连接CN，求ON+CN的最小值： ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d＝0.0000000142cm．将0.0000000142用科学记数法表示为（ ）
A．1.42×10﹣4B．1.42×10﹣7C．1.42×10﹣8D．1.42×10﹣9
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.0000000142＝1.42×10﹣8．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此解答即可．
【解答】解：A．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．选项图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
D．选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的定义是关键．
3．（2分）我国四个城市某天的平均温度如下，其中平均温度最低的是（ ）
A．﹣10℃B．12℃C．0℃D．﹣5℃
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；数据分析观念．
【答案】A
【分析】先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．
【解答】解：∵﹣10＜﹣5＜0＜12，
∴平均温度最低的是﹣10℃，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．
4．（2分）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个白球、7个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．512B．712C．57D．1
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据概率的计算公式，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，任意摸出一个球是红球的概率是75+7=712，
故选：B．
【点评】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键．
5．（2分）如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，连接OC，OD⊥OC交BC于点D，若csA=35，则CD的长为（ ）
A．6B．254C．203D．5
【考点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据斜边上的中线的性质，得到OC=12AB=OA，进而得到∠A＝∠OCA，同角的余角相等，得到∠CDO＝∠ACO＝∠A，进而得到cs∠CDO=35，设OD＝3x，CD＝5x，勾股定理求出x的值，即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，
∴OC=12AB=OA=5，
∴∠A＝∠OCA，
∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°＝∠ACB，
∴∠CDO＝∠ACO＝90°﹣∠OCD，
∴∠CDO＝∠ACO＝∠A，
∴cs∠CDO=csA=ODCD=35，
设OD＝3x，CD＝5x，则：OC=CD2−OD2=4x=5，
∴x=54，
∴CD=254；
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．（2分）如图，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，∠B＝30°，D是射线BA上的动点，连接CD，过点D作DE⊥射线CA于点E，点F在边BC上（F不与点B，C重合），作FM∥CD交射线BA于点M，若∠CDE＝50°，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（ ）
甲：当点D在线段AB上时，∠FMA＝60°；
乙：当点D在射线BA上时，∠CFM的度数为40°或130°．
A．只有甲的正确B．只有乙的正确
C．两人的都正确D．两人的都不正确
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题；几何直观．
【答案】D
【分析】本题涉及到三角形内角和定理（三角形内角和为180°）以及平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补）．我们需要根据已知的角度关系，通过这些定理和性质来判断甲、乙两人说法的正确性．
【解答】判断甲的说法，∵DE⊥CA，∠CDE＝50°，在△CDE中，根据三角形内角和为180°，可得∠DCE＝180°﹣∠DEC﹣∠CDE．
∵∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCD＝∠BCA﹣∠DCE＝90°﹣40°＝50°．
∵FM∥CD，当点D在线段AB上时，
∠FMA与∠BCD是同位角，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠FMA＝∠BCD＝ 50°，故甲说法错误；
判断乙的说法，当点D在线段AB上时：由前面计算已知∠BCD＝50°，
∵FM∥CD，∠CFM与∠BCD是同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴可得∠CFM＝180°﹣∠BCD＝180°﹣50°＝130°．当点D在射线BA的延长线上时：因为DE⊥CA，∠CDE＝50°，在△CDE中，∠DCE＝40°，
此时∠BCD＝∠BCA+∠DCE＝90°+40°＝130°．
∵FM∥CD，∠CFM与∠BCD是同旁内角，两直线平行，同旁内角互补，
∴∠CFM＝180°﹣∠BCD＝180°﹣130°＝50°，所以乙的说法错误．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质．
7．（2分）方程组x+y=3x−y=−1的解是（ ）
A．x=1y=2B．x=1y=−2C．x=2y=1D．x=0y=−1
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：x+y=3①x−y=−1②，
①+②得：2x＝2，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
则方程组的解为x=1y=2
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解答本题的关键要明确消元的方法：代入消元法与加减消元法．
8．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿着A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为xcm，下列图象中能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】分类讨论：当点P由A运动到B点时，即0≤x≤4和当点P由B运动到C点时，即4＜x≤8，根据三角形的面积即可求解．
【解答】解：当点P由A运动到B点时，即0≤x≤4，
y=12×4x=2x，
当点P由B运动到C点时，即4＜x≤8，
y=12×4×4=8，
符合题意的函数关系的图象，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用中动点函数图象，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
二．填空题（共7小题，满分14分，每小题2分）
9．（2分）若分式3x−2有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠2
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
10．（2分）把多项式ma2﹣mb2分解因式的结果是m（a+b）（a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】m（a+b）（a﹣b）．
【分析】先提公因式m，然后运用平方差公式即可．
【解答】解：ma2﹣mb2
＝m（a2﹣b2）
＝m（a+b）（a﹣b），
即把多项式ma2﹣mb2分解因式的结果是m（a+b）（a﹣b），
故答案为：m（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2分）请补全一个真命题：若a2＞b2，则 |a|＞|b| ，它的逆命题是 若|a|＞|b|，则a2＞b2 ．逆命题是 真 命题．
【考点】命题与定理．
【专题】实数；推理能力．
【答案】|a|＞|b|；若|a|＞|b|，则a2＞b2；逆命题是真命题．
【分析】根据逆命题的定义写出逆命题，判断真假即可．
【解答】解：若a2＞b2，则|a|＞|b|，它的逆命题是若|a|＞|b|，则a2＞b2，逆命题是真命题．
故答案为：|a|＞|b|；若|a|＞|b|，则a2＞b2；逆命题是真命题．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．（2分）如图，将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D，C的对应点分别为D′，C′，线段D′C′交线段BC于点G，若∠DEF＝55°，则∠FGC′的度数是 20° ．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】20°．
【分析】由折叠性质可知：∠DEF＝∠D′EF＝55°，∠EFC＝∠EFC′，再根据AD∥BC得∠DEF＝∠GFE＝55°，再根据角度和差即可求解．
【解答】解：由折叠性质可知：∠DEF＝∠D′EF＝55°，∠EFC＝∠EFC′，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE＝55°，
∴∠EFC＝∠EFC′＝180°﹣∠GFE＝180°﹣55°＝125°，
∴∠GFC′＝∠EFC′﹣∠GFE＝125°﹣55°＝70°，
∴∠FGC′＝90°﹣∠GFC′＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键．
13．（2分）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，给出下列结论：①AB=CD；②BD=AC；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．其中结论正确的是 ①②③④ ．（填序号）
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB=CD ，
∵∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴BD=AC，AC＝BD，
∴其中结论正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系定理．
14．（2分）聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔为八角形楼阁式佛塔．八边形的内角和为 1080° ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】1080°．
【分析】利用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：（8﹣2）×180°＝1080°，
即八边形的内角和为1080°，
故答案为：1080°．
【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握计算公式是解题的关键．
15．（2分）已知a，b满足（a2+1）（b2+4）＝8ab，则a(b+1b)= 52 ．
【考点】分式的化简求值；多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式；分式；运算能力．
【答案】52．
【分析】根据a2b2+4a2+b2+4﹣8ab＝0，可得（ab﹣2）2+（2a﹣b）2＝0，所以ab＝2，b＝2a，代入所求的式子计算即可．
【解答】解：∵（a2+1）（b2+4）＝8ab，
∴a2b2+4a2+b2+4﹣8ab＝0，
∴（a2b2﹣4ab+4）+（4a2﹣4ab+b2）＝0，
即（ab﹣2）2+（2a﹣b）2＝0，
∴ab＝2，b＝2a，
∴a(b+1b)=ab+ab=2+12=52．
故答案为：52．
【点评】本题考查了分式的化简求值和多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
16．（5分）计算：(−1)2025−|−7|+9×(7−π)0+(15)−1．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】分别计算有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的混合运算．
【解答】解：原式＝﹣1﹣7+3×1+5
＝﹣1﹣7+3+5
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
17．（5分）解不等式组2x≥2−x①4x−7＜x+2②．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】23≤x＜3．
【分析】先分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，即可作答．
【解答】解：由2x≥2﹣x解得x≥23，
由4x﹣7＜x+2解得x＜3，
∴不等式组解集为23≤x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练解每个不等式，准确确定不等式组的解集．
18．（5分）已知，⊙O的半径为1，A、B、C、D是圆上四点，且满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）请在图1中直接用尺规作出弦CD与点H（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2所示，延长AH至点F，使得2HF＝AF，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，PD=12AD，点M为AP的中点，连结HM．求证：MH⊥CP．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；点与圆的位置关系．
【专题】几何直观．
【答案】（1），CD、点H即为所求；
（2）过点P作PG⊥HF于G点，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，
则PG∥DH，
∵PD=12AD，
∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，
∵2HF＝AF，
∴AH＝HF，
∴AH＝HF＝2HG，
即G是HF中点，
∴PH＝PF，
∵CP平分∠DCF，PK⊥CH，PE⊥CF，
∴PK＝PE，设∠DCP=∠PCF=12∠DCF=α，则∠KPE＝180°﹣2α，∠CFH＝90°﹣2α，
∴△PHK≌△PFE（HL），
∴∠HPK＝∠EPF，
∴∠HPF＝∠KPE＝180°﹣2α，
∴∠PFG＝α，
在△CPF中，∠CPF＝180°﹣∠PCF﹣∠CFH﹣∠PFH＝90°，即PF⊥CP，
∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF中位线，
∴PF∥MH，
∴MH⊥CP．
【分析】（1）先作垂直AB的直径EF交AB于M，再作垂直直径EF的直径所在直线NO，再以O为圆心，OM为半径画弧交NO于P，再过P作直线NO的垂线，与圆的交点组成的线段即为CD，与AB交点即为H；
（2）先由平行线分线段成比例证明G是HF中点，即可得到MH是△APF中位线，PF∥MH，再依据角平分线作垂直，然后依据全等证明∠CPF＝90°，即PF⊥CP，即可得到MH⊥CP．
【解答】解：（1）如图1，CD、点H即为所求；
（2）过点P作PG⊥HF于G点，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，
则PG∥DH，
∵PD=12AD，
∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，
∵2HF＝AF，
∴AH＝HF，
∴AH＝HF＝2HG，
即G是HF中点，
∴PH＝PF，
∵CP平分∠DCF，PK⊥CH，PE⊥CF，
∴PK＝PE，设∠DCP=∠PCF=12∠DCF=α，则∠KPE＝180°﹣2α，∠CFH＝90°﹣2α，
∴△PHK≌△PFE（HL），
∴∠HPK＝∠EPF，
∴∠HPF＝∠KPE＝180°﹣2α，
∴∠PFG＝α，
在△CPF中，∠CPF＝180°﹣∠PCF﹣∠CFH﹣∠PFH＝90°，即PF⊥CP，
∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF中位线，
∴PF∥MH，
∴MH⊥CP．
【点评】本题考查尺规作图，平行线分线段成比例，掌握中位线的性质等知识点是解题的关键．
19．（5分）如图所示，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）若AB＝16cm，求菱形BDEF的周长．
【考点】菱形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）32cm．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理推出BF=12AB，BD=12BC，EF∥BC，DE∥AB，得到平行四边形BDEF，和BF＝BD，即可推出答案；
（2）根据菱形的四条边都相等，可得菱形BDEF的周长＝4BF，即可解答．
【解答】（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点，
∴BF=12AB，BD=12BC，EF∥BC，DE∥AB，
∵AB＝BC，
∴BF＝BD，四边形BDEF是平行四边形，
∴四边形BDEF是菱形．
（2）∵AB＝16cm，BF=12AB，
∴BF＝8cm，
∵四边形BDEF是菱形，
∴BD＝DE＝EF＝BF，
∴菱形BDEF的周长＝4BF＝32cm．
【点评】本题主要考查对菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是解此题的关键．
20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（3，5）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＜0时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，且大于函数y＝2x﹣k的值，直接写出m的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）k＝1，b＝2；
（2）1≤m≤2．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，从而得到k、b的值；
（2）根据题意得到x＜0时，mx+1＜x+2且mx+1＞2x﹣1恒成立，对于mx+1＜x+2，m＝1恒成立，利用不等式的性质得到m﹣1＞0，此时x＜1m−1，根据同小取小，所以1m−1≥0，解得m＞1；对于mx+1＞2x﹣1，利用同样方法得到m≤2；然后综合两种情况得到m的取值范围为1≤m≤2．
【解答】解：（1）把（1，3），（3，5）分别代入y＝kx+b得k+b=33k+b=5，
解得k=1b=2，
∴一次函数解析式为y＝x+2；
（2）当x＜0时，对于x的每一个值，函数y＝mx+1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，且大于函数y＝2x﹣k的值
即x＜0时，mx+1＜x+2且mx+1＞2x﹣1恒成立，
对于mx+1＜x+2，m＝1恒成立，
（m﹣1）x＜1，
∵x＜0，
∴m﹣1＞0，此时x＜1m−1，
∴1m−1≥0，
解得m＞1，
此时m的范围为m≥1；
对于mx+1＞2x﹣1，m＝2恒成立，
（2﹣m）x＜2，
∵x＜0，
∴2﹣m＞0，此时x＜22−m，
∴22−m≥0，
∴m≤2，
综上所述，m的取值范围为1≤m≤2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．
21．（6分）小明和小杰拥有的图书之比为3：2，如果小明送给小杰15本，两人的图书就一样多，问两人共有多少本图书．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】150本．
【分析】设小明拥有3x本图书，则小杰拥有2x本图书，根据“如果小明送给小杰15本，两人的图书就一样多”，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，再将其代入3x+2x中，即可求出结论．
【解答】解：设小明拥有3x本图书，则小杰拥有2x本图书，
根据题意得：3x﹣15＝2x+15，
解得：x＝30，
∴3x+2x＝3×30+2×30＝150（本）．
答：两人共有150本图书．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．（5分）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比富，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：
甲：8，7，9，8，8；乙：9，6，10，8，7．
（1）将下表填写完整．
（2）根据以上信息，若你是教练你会选择谁参加射击比赛，理由是什么？
（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会 变小 （填“变大”或“变小”或“不变”）．
【考点】方差；算术平均数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）8，8；
（2）选择甲．理由是甲的方差小，成绩较稳定；
（3）变小．
【分析】（1）依据平均数、中位数的计算方法进行计算；
（2）依据甲的成绩较稳定，即可得到结论；
（3）求得乙这六次射击成绩的方差，即可得到变化情况．
【解答】解：（1）甲平均数为（8+7+9+8+8）÷5＝8，
乙的环数排序后为：6，7，8，9，10，故中位数为8；
故答案为：8，8；
（2）甲的方差为：15[（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝0.4，
乙的方差为：15[（9﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2]＝2，
选择甲．理由是甲的方差小，成绩较稳定．
（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差为：
16[（9﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]=53＜2，
∴方差会变小．
故答案为：变小．
【点评】本题主要考查了方差、中位数以及平均数的计算，解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．熟知这些知识点是解题的关键．
23．（6分）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，C，D两点在半圆上，连接AC，BD．过点C作半圆的切线交AB的延长线于点E．
（1）证明：∠BAC＝∠BCE；
（2）若BC＝CD，BE＝2，CE＝4．
①求AB的长；
②求tan∠CBD的值．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）①AB＝6；
②tan∠CBD=12．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，求得∠BCE+∠OCB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠OCB，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，于是得到结论；
（2）①设⊙O的半径为R，则OB＝OC＝R，OE＝R+2，根据勾股定理得到AB＝6；
②由BC=CD，得到∠CBD＝∠CDB，根据平行线的判定定理得到CE∥BD，BF＝DF，求得∠E＝∠ABE根据相似三角形的性质得到AD=185，根据三角形中位线定理得到OF=12AD=95，根据三角函数的定义得到tan∠CBD=CFBF=23．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠BCE+∠OCB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠BCE+∠ABC＝90°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE；
（2）解：①设⊙O的半径为R，则OB＝OC＝R，OE＝R+2，
在Rt△OCE中，CE＝4，OC2+CE2＝OE2，
∴R2+42＝（R+2）2，
∴R＝3，
∴AB＝6；
②∵BC＝CD，
∴BC=CD，
∴∠CBD＝∠CDB，BD⊥OC，
由（1）知CE⊥OC，
∴CE∥BD，BF＝DF，
∴∠E＝∠ABE，
∴△ABD∽△OEC，
∴BDCE=ABOE=ADOC，
∴BD4=65=AD3，BD=245，
∴BF=125，AD=185，
∵AO＝BO，
∴OF是△ABD的中位线，
∴OF=12AD=95，
∴CF＝3−95=65，
∴tan∠CBD=CFBF=12．
【点评】本题考查了切线的性质圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（6分）能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．为了解某品牌一款新能源汽车的耗电量，相关技术人员在汽车试验基地对该款新能源汽车做了耗电量试验，发现汽车剩余电量Q（kW•h）是汽车行驶路程s（km）的一次函数，试验数据记录如下．
（1）根据表中的数据，求Q与s之间的函数表达式；
（2）当汽车剩余电量为39.2kW•h时，若以75km/h的速度匀速行驶，该汽车最多还能行驶多长时间？
【考点】一次函数的应用．
【专题】函数思想；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）Q与s之间的函数表达式为：Q＝﹣0.17s+80；
（2）该汽车最多还能行驶319255小时．
【分析】（1）设Q＝ks+b（k≠0），把表中的任意两对数代入后求解可得k和b的值，即可求得Q与s之间的函数表达式；
（2）设汽车还能行驶t小时，把剩余电量及相应的速度代入（1）中得到的函数解析式，即可求得该汽车最多还能行驶多长时间．
【解答】解：（1）设Q＝ks+b（k≠0），
∵经过点（0，80），（100，63），
∴b=80100k+b=63．
解得：k=−0.17b=80．
∴Q与s之间的函数表达式为：Q＝﹣0.17s+80；
（2）由题意得：设该汽车行驶了t小时．
①39.2＝﹣0.17×75t+80．
解得：t＝3.2，
②0＝﹣0.17×75t+80．
解得：t＝61451，
∴61451−3.2＝319255（小时）
答：该汽车最多还能行驶319255小时．
【点评】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：若函数符合一次函数解析式，可设函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）．
25．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）m的值为 3 ；
（2）当x满足0≤x≤4时，则y的取值范围是 ﹣5≤y≤4 ；
（3）当x满足 ﹣1＜x＜3 时，y＞0．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）3；（2）﹣5≤y≤4；（3）﹣1＜x＜3．
【分析】（1）把（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，求出m的值即可；
（2）根据二次函数的增减性结合函数图象，求出当0≤x≤4时，y的取值范围即可；
（3）先求出抛物线与x轴的两个交点，结合函数图象即可得出答案．
【解答】解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，得，
m＝3，
故答案为：3；
（2）由（1）配方知，y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3；当x＝4时，y＝﹣5，
又抛物线开口向下，
所以，当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为：﹣5≤y≤4；
（3）令﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，即y＞0；
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
26．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B，C的对应点分别为B′，C′，B'C'的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．
（1）求证：∠B′AB＝∠B′DB；
（2）若AC＝4，CD＝3，求线段CC'的长．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）证明：
如图，设AB与BD交于M点，
由题意可得：∠B＝∠B′，
∵∠BMD＝∠B′MA，
∴∠B′AB＝∠B′DB；
（2）245．
【分析】（1）因为将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，所以∠B＝∠B′．设AB与BD交于M点，则∠BMD＝∠B′MA，所以∠B′AB＝∠B′DB．
（2）连接AD，交CC′于点O，先证出Rt△AC′D≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质可得C′D＝CD＝3，再证出AD垂直平分CC′，则可得CC′＝2OC，AD⊥CC′，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出OC的长，由此即可得．
【解答】（1）证明：如图，设AB与BD交于M点，
由题意可得：∠B＝∠B′，
∵∠BMD＝∠B′MA，
∴∠B′AB＝∠B′DB；
（2）如图，连接AD，交CC′于点O，
∵AC′＝AC＝4，∠AC′B′＝∠ACB＝90°，
∴∠AC′D＝90°，
在Rt△AC′D和Rt△ACD中，
AD=ADAC′=AC，
∴Rt△AC′D≌Rt△ACD（HL），
∴C′D＝CD＝3，
∴CC′＝2OC，AD⊥CC′，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3，
∴AD=AC2+CD2=5，
又∵S△ACD=12AD⋅OC=12AC⋅CD，
∴OC=AC⋅CDAD=4×35=125，
∴CC′=2×125=245．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
27．（7分）阅读以下材料，完成问题．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．若已知∠A的对边与邻边的比值，则可得到∠A的度数．如：若BCAB=1，则∠A＝45°；若BCAB=3，则∠A＝60°．
在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，C为AB中点．
（1）小试牛刀：如图1，根据材料，∠BAO＝ 60° ；
（2）新知探究：如图2，若D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一动点，求OD+CD的最小值；
（3）实践应用：
【选做1】如图3，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于Q，P两点，C为PQ中点．E是线段PQ上一动点，以O为直角顶点，OE为腰在OE下方作等腰直角△OEF，连接CF，求OF+CF的最小值： 210 ；
【选做2】如图4，M是线段AB上一动点，以OM为边在OM下方作等边△OMN，连接CN，求ON+CN的最小值： 23 ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】计算题；动点型；转化思想；运算能力．
【答案】（1）60°；
（2）OD+CD的最小值为3；
（3）选做1：210，
选做2：23．
【分析】（1）先求OA、OB，∠BAO对边与邻边的比值，可求得∠BAO，
（2）将军饮马问题，
（3）选做1：采用了分析F运动轨迹，转换OF+CF，
选做2：采用了旋转，作对称点，将ON+CN的最小值转换成线段．
【解答】解：（1）直线y=−3x+3，
令x＝0，解得：y＝3，点B为（0，3），OB＝3，
令y＝0，解得：x=3，点A为（3，0），OA=3，
BOAO=33=3，
∴∠BAO＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵点D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一动点，
∴作点O关于直线x=3的对称点E，连接CE，交直线x=3于点D，作CF⊥x轴，交OE于点F，
点O、点E关于x=3对称，
∴OA＝EA，
∴x=3是OE的垂直平分线，点E的横坐标为23，
∴OD＝ED，
∴OD+CD的最小值，即ED+CD的最小值，
两点之间线段最短，即CE为OD+CD的最小值，
∵CF⊥OA，BO⊥OA，
∴∠BOA＝∠CFA＝90°，
∵∠OAB＝∠FAC，
∴Rt△BAO∽Rt△CAF，
∵C为AB中点，
∴CFBO=ACAB=AFAO，CF3=12=AF3，解得：CF=32，AF=32，
∴EF＝EA+AF=3+32=332，
∴在Rt△EFC中，CE=CF2+EF2=(32)2+(332)2=3，
∴OD+CD的最小值为3；
（3）选做1：直线y＝﹣x+4，
令x＝0，解得y＝4，即P（0，4），
令y＝0，解得x＝4，即Q（4，0），
∴OP＝OQ＝4，PQ＝42，
∵△OEF是等腰直角三角形，且E是线段PQ上一动点，
∴F的运动轨迹是QN，
作C关于QN的对称点，连接OC′，交QN于点F，
此时OF+CF＝OF+C′F＝OC′最小，
∵C是PQ中点，PQ＝42，OP＝OQ，
∴OC＝CQ＝22，OC⊥PQ，
∴CC′＝42，
在Rt△OCC′中，OC′=OC2+CC′2=210，
故答案为：210；
选做2：将点C绕点O逆时针旋转60°到点F，
∴△FOM≌△CON，
∴FM＝CN，
∵△OMN为等边三角形，
∴OM＝ON，ON+CN＝OM+FM，
作原点O关于直线AB的对称点E，连接EF交AB于点M，OE交AB于点G
∴AB是OE的垂直平分线，EM＝OM＝ON，
∴ON+CN＝EM+FM，
∴ON+CN的最小值就是EF，
∵AB是OE的垂直平分线，MG＝MG，
∴OM＝EM，OG＝EG，
∴△OMG≌△EMG，
∴∠MOG＝∠MEG，
∵∠F＝∠FOM＝60°，
∴∠MOG＝∠MEG=12（180°﹣60°﹣60°）＝30°，
∴∠FOE＝60°+30°＝90°，
∵∠AOB＝90°，FO＝ON，∠F＝BAO＝60°，
∴△ABO≌△FEO，
∴EF＝AB=(3)2+32=23，
ON+CN的最小值为23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了一次函数、勾股定理、将军饮马模型，关键是学会转化．平均数
中位数
甲

8
乙
8

汽车行驶路程s/km
0
50
100
150
200
…
汽车剩余电量Q/kW•h
80
71.5
63
54.5
46
…
平均数
中位数
甲
8
8
乙
8
8
汽车行驶路程s/km
0
50
100
150
200
…
汽车剩余电量Q/kW•h
80
71.5
63
54.5
46
…