2025-2026学年下学期河南省新未来高三数学2026年5月质量测评试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河南省新未来高三数学2026年5月质量测评试卷含答案，共15页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，设椭圆C等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={−1,0,1,2,3}，B=x∣xx−2≤0，则A∩B=
A. {1,2} B. {0,1}
C. {0,1,2} D. {0,1,2,3}
2.若z=1−i，则在复平面内，复数z(z−i)对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知α为第四象限角，tanα=−43，则csα+π4=
A. −7210 B. −210
C. 210 D. 7210
4.已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，若a5−a3=6，a3−a2=1，则a4=
A.2 B.3 C.4 D.5
5.设椭圆C:x2t2+6+y2t2=1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，AF2与C的另一个交点为B，若∠F1AF2=2π3，则∆ABF1的周长为
A. 82 B. 83
C. 122 D. 123
6.已知函数f(x)=ex+e2−x，设a=f(sin1)，b=f(lg23)，c=f(21.1)，则
A. c>b>a B. c>a>b
C. b>a>c D. b>c>a
7.在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csC=45，2a2+2b2=3c2，则sinAsinB=
A. 940 B. 980
C. 715 D. 815
8. 已知向量a，b满足|a|=|b|，定义a⊗b=|a|·|b|sin⟨a，b⟩，若|2b−a|=2，则a⊗b的最大值为
A.2 B.4
C. 34 D. 43
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则
A. ω=2
B. A=12
C. f(x)的图象关于点5π6,0对称
D. f(x)的图象上存在互相垂直的切线
10. 已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件Ai(i=0,1,2)：“甲取出i个白球”，事件B：“乙取出1个白球”，则
A. P(A1)=35
B. P(B|A1)=13
C. P(B)=35
D. 在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为59
11. 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，点A在C的准线l上，过A的直线与C相切于点P，点B在C上，且满足PB⊥PA，则
A. 准线l的方程为y=−1
B. F可能在直线BP上
C. |BF|的最小值为9
D. ∆PAB面积的最小值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设随机变量X∼N(1,σ2)，若P(X≤a)=0.2，且P(1≤X≤a+2)=0.3，则a= 。
13. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为163，AB=2，且底面A1B1C1D1内（包括边界）一动点P满足PA=83，则点P的轨迹长度为 。
14. 已知函数f(x)=(lnx−ax−bx)(x3−ax+2)，若存在a∈R，使得f(x)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立，则实数b的取值范围为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知数列{an}满足a1=1，a2=5，且数列{an+1−an}是公差为4的等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：1a1+1a2+1a3+⋯+1anx2a2−y2b2=1(a>0,b>0)>的右焦点为\(F，左顶点为 A，|AF|=3，圆 O:x2+y2=1，F 到圆 O 上点的距离的最大值为3。
（1）求 C 的方程；
（2）已知过点 F 的直线与 C 的右支交于 S，T 两点，直线 AS，AT 分别交圆 O 的另一点于 M，N。
（i）证明：AS⊥AT；
（ii）记四边形 MNTS 的面积为 S1，∆AMN 的面积为 S2，求 S1S2 的最小值。
19.（本小题满分17分）
已知 A1，A2，⋯，An 依次为圆周上的 n(n≥4,n∈N∗) 个等分点，每个点等概率地被染成白色或黑色。对于任意两个点 Ai 和 Aj，若它们颜色相同，则连接 AiAj，否则不连接 AiAj。记线段的总条数为随机变量 X。
（1）当 n=4 时，求圆中仅有两条线段且相互垂直的概率；
（2）当 n=4 时，求圆中直角三角形的个数的数学期望；
（3）求 E(X)。
高三年级5月测评·数学
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
易知B={x|0≤xsin1>sinπ4>12，2lg23>lg28=3，故lg23>32，所以b>a，又21.1>2，所以c>b，故选A.
7.【答案】B
依题意，由正弦定理得，2sin2A+2sin2B=3sin2C=3×352=2725，所以sin2A+sin2B=2750，由余弦定理可得，2a2+2b2=3(a2+b2−2abcsC)，即2a2+2b2=3a2+b2−85ab，所以a2+b2=245ab，即sin2A+sin2B=245sinAsinB，所以sinAsinB=980，故选B.
8.【答案】D
设|a|=|b|=x，⟨a，b⟩=θ，则由|2b−a|=2可得，5x2−4x2csθ=4，即x2=45−4csθ，所以a⊗b=x2sinθ=4sinθ5−4csθ，设y=4sinθ5−4csθ，则4sinθ=5y−4ycsθ，即4sinθ+4ycsθ=5y，所以根据
辅助角公式，25y2≤42+16y2，所以y≤43，即a⊗b的最大值为43。故选D。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.【答案】BC
依题意，φ=π6，π6ω+π6=π3，解得ω=1，A选项错误；
fπ3=Asinπ3+π6=12，解得A=12，B选项正确；
由A，B可知，f(x)=12sinx+π6，且f5π6=0，所以f(x)的图象关于点5π6,0对称，C选项正确；
f'(x)=12csx+π6∈−12,12，所以D选项错误；故选BC。
10.【答案】ACD
P(A1)=C21C21C52=35，A选项正确；
P(B|A1)=C21C31=23，B选项错误；
因为A0，A1，A2互斥，且A0∪A∪A2=\varOmega，所以P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=110×1+35×23+310×13=35，C选项正确；
因为P(A1)=35，P(A2)=310，所以在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为P(B)−P(A0)P(B|A0)P(A1)+P(A2)=35−11035+310=59，D选项正确，故选ACD。
11.【答案】ACD
易知F(0,1)，所以l的方程为y=−1，A选项正确；
设点P的坐标为(x0,y0)，因为y'=x2，所以点P处的切线斜率为x02，所以直线PB的斜率为−2x0，所以直线PB:y−x024=−2x0(x−x0)，若F在直线BP上，则1−x024=−2x0(0−x0)=2，即x02=−4，无解，B选项错误；
直线PB与x2=4y联立可得，x24−x024=−2x0(x−x0)=(x−x0)(x+x0)4，解得x=−8x0−x0，即B的横坐标为−8x0−x0，所以B的纵坐标为−8x0−x024=x02+64x02+164，所以|BF|=x02+64x02+164+1⩾2x02×64x02+164+1=9。C选项正确；
直线PA的方程为：y−x024=x02(x−x0)，令y=−1，则x=x02−2x0，所以Ax02−2x0,−1，所以|PB|=1+−2x02−8x0−x0−x0=1+4x028x0+2x0，|PA|=1+x022x02−2x0−x0=1+x024·2x0+x02，所以∆PAB的面积为12|PA|·|PB|=122+x024+4x028+x02+16x02=
122+14x02+16x02·8+x02+16x02， 设t=x02+16x02⩾2x02×16x02=8， 当且仅当x0=2时， 等号成立， 所以∆PAB面积的最小值为8+t22+t4⩾1622+84=16.D选项正确， 故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】0
依题意，P(X⩽a)=P(X⩾a+2)=0.2， 所以a+a+2=2， 解得a=0.
13.【答案】23π9
依题意，AB2×AA1=163， 所以AA1=43， 所以PA1=PA2−A1A2=433>2， 当点P在B1C1上时， 所以cs∠PA1B1=2433=32， 即∠PA1B1=π6， 所以点P的轨迹长度为2π×433×π2−π6×22π=23π9.
14.【答案】1e−3,+∞
f(x)⩽0即lnxx−a−bx2+2x−a⩽0， 易知lnxx⩽1e，x2+2x⩾3， 依题意， 若存在a∈R， 使得f(x)⩽0对任意x∈(0,+∞)恒成立， 则1e−b⩽3， 即b⩾1e−3， 所以实数b的取值范围为1e−3,+∞.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】（1）an=2n2−2n+1 （2）详见解析
（1）an+1−an=a2−a1+(n−1)×4=4n， 2分
所以an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1) 3分
=1+4+8+⋯+4(n−1)=2n2−2n+1(n⩾2)， 5分
当n=1时满足以上通项公式，
综上所述：{an}的通项公式为an=2n2−2n+1； 6分
（2）1an=12n2−2n+12xsinπ6−1>0． …………………………………………………… 10分
则当x∈0,π2时，h(x)⩾0。
又因为h(x)是偶函数，所以当x∈−π2,π2时，h(x)⩾0。从而g(x)在区间−π2,π2上单调递增，
11分
g−π2=−π24+1+π2−a，gπ2=π24+1−π2−a，
所以-π24+1+π2-a⩽g(x)⩽π24+1-π2-a，12分
若π24+1−π2−a0，即a>π2+4−2π4或a