2025-2026学年下学期深圳南方科技大学附中高二数学2026年5月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期深圳南方科技大学附中高二数学2026年5月期中试卷含答案，共15页。试卷主要包含了 下列说法中错误的有等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。
一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的。）
1. 已知函数f(x)=3lnx+2，则f'(1)=（ ）
A.3B.5C.8D.10
2. 已知{an}是等差数列，且a3+a9=4a5，a2=−4，则首项a1等于（ ）
A.0B. −2
C. −6D. −8
3. 若x−ax26展开式中的常数项为90，则常数a的值为（ ）
A.4B.2C.8D.6
4. 某数学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学去听院士讲座，设抽到的女生人数为X，则P(X=2)=（ ）
A. 320B. 15
C. 310D. 12
5. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型。若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ）
A.600B.264C.207D.114
6. 下列说法中错误的有（ ）
①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6；
②根据2×2列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，而P(χ2≥6.635)≈0.01，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；
③回归分析时，可用决定系数R2刻画模型的拟合效果，R2越大，则拟合效果越好；
④若随机变量ξ服从正态分布ξ∼N(1,σ2)，若P(ξ1−2a)，则实数a≤−1。
A.1个B.2个C.3个D.4个
7. 设A，B是两个随机事件，若P(B¯)=49，P(A¯B)=13，则P(A|B)=（ ）
A. 12 B. 23
C. 25 D. 34
8. 方程xex=a(lnx+x)有两实数根x1、x2(x1≠x2)，则实数a的取值范围是（ ）
A. (0,+∞) B. (e,+∞)
C. (0,e) D. (−∞,e)
二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9. 定义在[−1,3]上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数f(x)在[−1,1]上单调递减
B. 函数f(x)的单调递减区间为[0,3]
C. 函数f(x)在x=0处取得极大值
D. 函数f(x)在x=2处取得极大值
10. 已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲、乙2名同学依次随机抽取1张奖券. 记事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，则下列说法正确的有（ ）
A. 若抽取后放回，则P(A)=P(B)
B. 若抽取后不放回，则P(A)=P(B)
C. 若抽取后放回，则P(B)=P(B|A)
D. 若抽取后不放回，则P(B)=P(B|A)
11. 已知数列{an}满足2an+2+an+1−an=0，a1=12，a2=14，Sn是{an}的前n项和，则（ ）
A. {an+1+an}是等比数列
B. an−12n是等比数列
C. {Sn}是等比数列
D. {sinan}的前n项和小于1
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
12. 若根据样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x15,y15)得到的回归直线方程为y^=3x+a^，且∑i=115xi=60，∑i=115yi=150，则a^= 。
13. 甲、乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分。设每局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 。（结果用数字作答）
14. 已知直线y=x是函数f(x)=(x+a)ex和函数g(x)=lnx+b图象的公切线，则2a+3b= 。
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。）
15.（13分）在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcsC=2a−c。
（1）求角B的大小；
（2）若b=23，且∆ABC的面积为23，求∆ABC的周长。
16.（15分）如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，D，E分别为AB，A1C1的中点。
（1）证明：A1D∥平面EBC；
（2）若三棱锥A−EBC的体积为43，求平面EBC与平面A1ABB1夹角的余弦值。
17.（15分） 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道题目，甲答对每道题目的概率都是23，乙答对每道题目的概率都是12，每位面试者最多有两次答题机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响.
（1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
（2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X，求X的分布列与期望.
18.（17分） 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an(n≥2)，a2=2.
（1）求a1；
（2）求{an}的通项公式；
（3）设数列1nlg2an的前n项和为Tn，证明：Tn0，且f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x22−a)≥P(ξ>1−2a)，即得
2−a≤1−2a，所以a≤−1，故④正确.
综上，错误的只有①.
7.C因为P(B¯)=49，所以P(B)=59，
而P(AB)=P(B)−P(A¯B)=59−13=29，
由条件概率公式得P(A|B)=P(AB)P(B)=2959=25，故C正确.
8.B由题可知：x>0，xex=elnx·ex=ex+lnx
原方程xex=a(lnx+x)可化为：ex+lnx=a(x+lnx)令t=x+lnx，t'=1+1x>0，
故t(x)在(0,+∞)单调递增，即每个不同t对应唯一不同的x，原方程有两个不同实根等价于方程et=at有两个不同解t，
变形得：a=ett，令f(t)=ett，求导得：f'(t)=et(t−1)t2，令f'(t)=0⇒t=1，
当t0，所以2csB-1=0，即csB=125分
又B∈(0,π)，所以B=π37分
（2）由S∆ABC=12acsinB=23，且B=π3，得ac=89分
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，及b=23，
得12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac11分
所以a+c=6（负值舍去）12分
故∆ABC的周长为23+613分
16.（1）证明过程见解析.（2）23
设BC的中点为M，连接DM，EM.
因为E，D分别为A1C1，AB的中点，所以DM∥AC，且DM=12AC.
在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，A1E∥AC，且 A1E=12AC，所以 DM∥A1E，DM=12A1E，
所以四边形 DMEA1 为平行四边形，则 EM∥A1D2分
又 EM⊂ 平面 EBC，A1D⊄ 平面 EBC，4分
所以 A1D∥ 平面 EBC5分
（2）我们以 A 为原点，分别以 AB，AC，AA1 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，6分
设直三棱柱的侧棱长 AA1=h，可得 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,h)，D(1,0,0)，E(0,1,h)
三棱锥 VA−EBC=VE−ABC，E 到底面 ABC 的距离为 h，S∆ABC=12·AB·AC=2，
因此 VA-EBC=VE-ABC=13S∆ABCh=13×2×h=23h=43，解得 h=28分
则向量 A1D→=(1,0,−2)，EB→=(2,−1,−2)，EC→=(0,1,−2)，
设平面 EBC 的法向量为 n=(x,y,z)，则 {n⋅EB→=2x−y−2z=0n⋅EC→=y−2z=0，
令 z=1，得 y=2，x=2，即 n=(2,2,1)；11分
平面 A1ABB1 的一个法向量为 m=(0,1,0)；13分
设两个平面夹角为 θ，则 csθ=|m·n||m||n|=21×22+22+12=23。
即两个平面的夹角余弦值为 2315分
17.（1） 1136 （2）分布列见解析，176
（1）设事件 A 为“甲通过面试”，事件 B 为“乙通过面试”，
P(A)=23+13×23=89（或 P(A)=1-13×13=89）2分
P(B)=12+12×12=34（或 P(B)=1-12×12=34）4分
所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率
P=P(AB¯)+P(A¯B)=P(A)P(B¯)+P(A¯)P(B)=89×14+19×34=11367分
（2）随机变量 X 的可能取值为 2，3，48分
P(X=2)=23×12=13，P(X=3)=23×12+13×12=12，P(X=4)=13×12=16，11分
随机变量 X 的分布列为
12分
所以随机变量X的期望为E(X)=2×13+3×12+4×16=17615分
18.（1） 方法一：由a2=S2−S1=2a2−a1=2，
得a1=2a2-2=2；4分
方法二：由S2=2a2，得a1+a2=2a2，
得a1=a2=2；4分
（2） 因为Sn=2an (n≥2)，所以Sn−1=2an−1 (n≥3)，
则an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，得an=2an-1 (n≥3)，6分
又a2=2，所以an=a2qn-2=2n-1 (n≥2)，8分
所以an={2,n=12n−1,n≥2；10分
（3） 设bn=1nlg2an，则n=1时，T1=b1=1103，
所以a≤103，故a的取值范围是-∞,10310分
（3）证明：f'(x)=−x2−ax+1x2，x>0，a>0，
因为f(x)存在两个极值点x1，x2，所以x1，x2
满足x2-ax+1=0，即x1x2=1，12分
不妨设0