2025-2026学年下学期安徽省合肥一六八中学高三数学2026年5月规范性训试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期安徽省合肥一六八中学高三数学2026年5月规范性训试卷含答案，共12页。
（考试时间： 120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.
1. 已知复数z=21+i ，则z+z¯=( )
A. −2B.−2iC.2
D.2i
2. 已知集合 A={x∣120，b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为 。
14. 平面直角坐标系中，曲线x2=12y(x>0)上有一系列点C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，⋯。对∀n∈N∗，以Cn为圆心的圆Cn与x轴都相切，且圆Cn与圆Cn+1彼此外切。若xn+10。记φ(x)=lnxx，则φ'(x)=1−lnxx2，所以φ(x)在区间(0,e)上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，所以−a≥φ(x)max=φ(e)=1e，所以解得：a≤−1e。
二、多项选择题
9.ABD 10.BCD 11.ACD
9. 解：对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确；
对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确；
对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差s2>15(6−2)2=3.2>2.4，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C错误；
对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为x¯=15(1+2+3+3+6)=3，方差为s2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(6−3)2]=2.8，所以可以出现点6，所以D正确，故选：ABD。
10. 对于A：由a=1可得f(x)=x3+bx2+cx+1，因为函数f(x)的对称中心为(1,23)，
所以对∀x∈R，f(1−x)+f(1+x)=43，即(6+2b)x2+2+2b+2c+2=43，
所以6+2b=0，解得b=−3，又2−6+2c+2=43，解得c=53。
所以 f(x)=x3−3x2+53x+1，故 f(−1)=−143，A错误；
对于B：当 b=0 时，f(x)=ax3+cx+1，
因为 y=ax3+cx 是奇函数，关于点 (0,0) 对称，
所以函数 f(x) 的图象关于点 (0,1) 中心对称，故B正确；
对于C：由 a=1 可得 f(x)=x3+bx2+cx+1，f'(x)=3x2+2bx+c，
则 x1，x2 是方程 3x2+2bx+c=0 的两根，所以 x1+x2=−2b3，x1x2=c3，
又 x2=2x1，所以 x1=−2b9，x2=−4b9，所以 c=24b281=8b227，即 27c=8b2，故C正确；
对于D：因为 b=1，所以 f(x)=ax3+x2+cx+1，
设三个相异且成等差的零点为 m−d，m，m+d(d>0)，
则 f(x)=a[x−(m−d)](x−m)[x−(m+d)]=ax3−3max2+(3m2−d2)ax−ma(m2−d2)，
所以 −3am=1，得 m=−13a，又 −ma(m2−d2)=1，所以 d2=19a2−3，
由 19a2−3>0 得 −390)上，故yn=2xn2；因为圆Cn与x轴都相切，故圆Cn的半径为yn，由圆Cn与圆Cn+1彼此外切，得到(xn−xn+1)2+(yn−yn+1)2=yn+yn+1，则(xn−xn+1)2=(yn+yn+1)2−(yn−yn+1)2=4ynyn+1=16xn2xn+12，因为xn>xn+1，所以xn−xn+1=4xnxn+1，即1xn+1−1xn=4，数列1xn是以1x1=1为首项，4为公差的等差数列，即1xn=4n−3，故xn=14n−3，Sn=x1x2+x2x3+⋯+xnxn+1=14(1−14n+1)6.635，所以假设不成立，
即我们有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01；
（2）X可能取值为0，100，200，300，400，
每次抽奖不中奖的概率为1−16−13=12，中100元概率为13，中200元概率为16，
P(X=0)=(12)2=14，
P(X=100)=2×13×12=13，
P(X=200)=(13)2+2×16×12=19+16=518，
P(X=300)=2×13×16=19，
P(X=400)=(16)2=136，
所以X的分布列为：
期望为E(X)=0×14+100×13+200×518+300×19+400×136=4003.
17.（人教A版选择性必修一习题3.2拓广探索T13、T14改编）（15分） 已知双曲线x24−y216=1.
（1）试问过点N(1,1)能否作一条直线与双曲线交于S，T两点，使N为线段ST的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
（2）直线l：y=kx+m(k≠±2)与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x0,0)，B(0,y0)两点.当点M运动时，求点P(x0,y0)的轨迹方程.
【答案】（1）不能，理由见解析； （2） x2100−y225=1，y≠0.
18．（本小题满分17分）如图，在三棱锥P−ABC中，PA=1，PB=23，PC=3，AB=3，BC=6，AC=7，点M，N分别是棱PB，PC上的点，且直线PA⊥平面AMN．
（1）求MN的长；
（2）求三棱锥P−ABC的体积；
（3）求直线BC与平面PAB所成角的正弦．
（1）在∆PAC中，由余弦定理，得cs∠APC=PA2+PC2−AC22PA·PC=1+9−72×1×3=12，
在∆PAB中，由余弦定理，得cs∠APB=PA2+PB2−AB22PA·PB=1+12−92×1×23=33，
因为PA⊥平面AMN，AM，AN⊂平面AMN，
所以PA⊥AM，PA⊥AN，
所以在Rt∆PAM中，cs∠APM=PAPM⇒PM=PAcs∠APM=1=3，
在Rt∆PAN中，cs∠APN=PAPN⇒PN=PAcs∠APN=1=2，
在∆PBC中，由余弦定理，得cs∠BPC=PB2+PC2−BC22PB·PC=12+9−62×23×3=5312，
所以在∆PMN中，由余弦定理，得MN=PM2+PN2−2PM·PN·cs∠MPN=3+4−2×3×2×5312=2.
（2）所以在Rt∆PAM中，AM=PM2−PA2=2，
在Rt∆PAN中，AN=PN2−PA2=3，
在∆AMN中，由余弦定理，得cs∠MAN=MA2+NA2−MN22MA·NA=2+3−22×2×3=64，
所以sin∠MAN=1−cs2∠MAN=1−642=104，
设点A到平面PBC的距离为h，
由三棱锥的体积公式和性质，
得VP−AMNVP−ABC=VA−PMNVA−PBC=13·h·S∆PMN13·h·S∆PBC=12PM·PN·sin∠MPN12PB·PC·sin∠MPN=3×223×3=13，所以
VP−ABC=3VP−AMN=3×13·PA·12·AM·AN·sin∠MAN=12×2×3×104=154.
（3）由上可知：MA=MN，取AN的中点O，显然OM⊥AN，
因为PA⊥平面AMN，OM⊂平面AMN，
所以PA⊥OM，
因此以OM，ON所在的直线为x轴和y轴，过O与PA平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
A(0,−32,0)，P(0,−32,1)，N(0,32,0)，M(52,0,0)，
由上可知：M是棱PB中点，PN=2NC，
所以可得B(5,32,−1)，C(0,3,12)，即BC→=−5,32,12
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，
PA→=(0,0,−1)，PB→=(5,3,−2)，
所以{m→⋅PA→=−z=0m→⋅PB→=5x+3y−2z=0⇒{z=05x+3y=0，
所以取该平面的一个法向量为m=(3,−5,0)，
设直线BC与平面PAB所成角为θ，
所以sinθ=|cs⟨BC，m⟩|=|BC·m|BC||m||=|−5−152|5+34+14×3+5=358。
19. （本小题满分17分）
已知函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=ex。
1.关于x的不等式g(x)1；
∀s,t∈(0,+∞)3.，令p(x)=f(x)g(x)，证明：p(s+t)>p(s)+p(t)。
1.将不等式有解问题转化为函数最值问题，通过构造h(x)=g(x)−f(x)并利用导数分析单调性，求出最小值后直接得到参数a的取值范围。
2.通过引入中间变量t，将n−m转化为关于t的函数F(t)，再利用导数研究其单调性与最小值，结合隐零点技巧完成证明。
3.采用固定变量、构造辅助函数H(t)的方法，通过分析其导数的符号判断单调性，再结合端点值完成不等式证明。
g(x)g(x)−f(x)min，设h(x)=g(x)−f(x)=ex−ln(x+1)，
h'(x)=ex−1x+12.，h'(x)在(−1,0)上小于0，在(0,+∞)上大于0，
∴h(x)3.在(−1,0)上单调递减，(0,+∞)上单调递增，
∴h(x)min=h(0)=14.，故a>1。
5.令g(m)=f(n)=t，t∈(0,+∞)，m=lnt，n=et−1。
6.令F(t)=n−m=et−1−lnt，F'(t)=et−1t。
F'(t)7.在(0,+∞)上单调递增。∵F′(12)0，即H(t)在(0,+∞)上单调递增，H(0)=p(s)−p(s)−p(0)=0，
H(t)>H(0)=0恒成立，故原命题成立，证毕．购买AI手机
购买无AI技术的手机
总计
男性顾客
45
65
110
女性顾客
56
34
90
总计
101
99
200
购买AI手机
购买无AI技术的手机
总计
男性顾客
45
65
110
女性顾客
56
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总计
101
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200
X
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200
300
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