2025-2026学年下学期深圳聚龙科学中学等校高一数学2026年5月第二阶试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期深圳聚龙科学中学等校高一数学2026年5月第二阶试卷含答案，共15页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数z=3−4i的模长是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
2. 已知平面向量a=(6,−4)，b=(1,λ+1)，若a⊥b，则λ=（ ）
A. −52 B. 12
C. 13 D. 53
3. 在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=5，b=6，csB=79，则c=（ ）
A.7 B. 119
C.8 D.9
4. 已知正四棱锥的底面边长为32，侧棱长为5，则它的体积为（ ）
A.18 B.21 C.24 D.27
5. 已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α是空间中某平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若l⊥m，m∥n，则l⊥n
B. 若l∥α，m⊥l，则m⊥α
C. 若l⊥m，m⊥n，则l∥n
D. 若l∥m，m⊂α，则l∥α
6. 如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角D1−BC−D的大小是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
7. 已知向量a与b的夹角为π6，|a|=2，|b|=1，则向量a与b上的投影向量为（ ）
A. b B. 3b
C. a D. 32a
8. 在平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=6，AB→·AB→=6，动点 P 在边 BC 上，则 PA→·PD→ 的取值范围是（ ）
A. [−6,−2]B. [−2,10]
C. [−2,6]D. [−6,10]
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9. 已知复数 z=3−i2+i，则下列结论中错误的是（ ）
A. z 的实部为−1
B. z 的虚部为−i
C. |z|=2
D. z 的共轭复数为1+i
10. 如图所示，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A. 直线 AM 与 CC1 是异面直线
B. 直线 MN 与 BD1 是共面直线
C. 直线 BM 与 MB1 是异面直线
D. 直线 MN 与 BN 所成角为90°
11. 在 ∆ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=3，且 2c−b=2acsB，则下列结论正确的是（ ）
A. A=π6
B. ∆ABC 外接圆的面积为π
C. ∆ABC 面积的最大值为334
D. ∆ABC 周长的最大值为33
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 a→，b→ 的夹角为 60°，且 |a→|=|b→|=1，则 |a→+b→|= 。
13. 已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2，侧面积是 32π，则该圆台的体积为 。
14. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形， PA⊥ 平面 ABCD. 若 PA=a，则直线 PB 与平面 PCD 所成的角的大小为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）
在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bc=b2+c2−a2。
（1）求A；
（2）若a=22，B=π3，求b。
16.（本小题15分）
（1）已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。
（2）已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，当λ为何值时，a+λb与a垂直？
（3）已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a−kb互相垂直？
17.（本小题15分）
已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a=2e1+e2，b=−3e1+2e2。
（1）求|a|，|b|；
（2）求a与b的夹角。
18.（本小题17分）
如图，P为圆锥顶点，O为底面圆心，A，B，C均在底面圆周上，且△ABC为等边三角形．
(1)求证：平面POA⊥ 平面PBC；
（2）若圆锥的底面半径为r=2，高为h=22，求点A到平面PBC的距离．
（3）在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由.
19.（本小题17分）
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D是BC边的中点，∠A1CA=45°．
（1）求直三棱柱ABC−A1B1C1的体积；
（2）求证：A1C∥面AB1D．
（3）一只小虫从点A1沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．
2025−2026学年度高一第二学期第二次阶段考试
数学试题参考答案
《单选题多选》参考答案
1．A
由复数模长公式可知：模长为5
2.B
由a⊥b，得a·b=6×1−4(λ+1)=0，解得λ=12.
3．D
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
故36=25+c2−2c×5×79，解得c=9或c=−119（舍）．
故c=9．
4．C
该正四棱锥的高为52−32=4，则该正四棱锥的体积V=13Sh=13·(32)2·4=24．
5．A
A：若l⊥m，m∥n，则l⊥n，故A正确；
B：若l∥α，m⊥l，则m∥α或m⊂α或m与α相交，故B错误；
C：若l⊥m，m⊥n，则l⊥n或l∥n，故C错误；
D：若l∥m，m⊂α，则l⊂α或l∥α，故D错误．
故选：A
6．B
由BC⊥平面DD1C1C，D1C⊂平面DD1C1C，所以D1C⊥BC，
又DC⊥BC，可知∠D1CD为二面角D1−BC−D的平面角，
因为DCC1D1为正方形，所以∠D1CD=45°，
所以二面角D1−BC−D的大小是45°。
故选：B
7.B
向量a与b上的投影向量为
a·b|b|×b|b|=|a||b|csπ6|b|×b|b|
=|a|csπ6×b|b|=2×32×b1=3b。
故选：B。
8.D
1. 解：在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=6，AB·AD=6，动点P在边BC上，
设BP=λBC，(0≤λ≤1)，则PC=(1−λ)BC，
所以PA=BA−BP=−AB−λBC=−AB−λAD，
PD=PC+CD=PC−DC=(1−λ)BC−AB=−AB+(1−λ)AD，
所以PA·PD=(−AB−λAD)·[−AB+(1−λ)AD]
=AB2+(2λ−1)AB·AD−λ(1−λ)AD2
=4+6(2λ−1)−36λ(1−λ)=36λ−132−6，
又0≤λ≤1，
所以当λ=13时，PA·PD取最小值为−6，
当λ=1时，PA·PD取最大值为10，
则PA·PD的取值范围是[−6,10]。
9.ABC
复数z=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=6−5i−15=1−i，
所以z的实部为1，故A不正确；
z的虚部为−1，故B不正确；
|z|=12+(−1)2=2，故C不正确；
z的共轭复数为1+i，故D正确；
10．AC
∵直线CC1⊂平面C1CDD1，M∈面C1CDD1，A∉面C1CDD1，
∴直线AM与CC1是异面直线，
A正确；
同理，直线MN与BD1是异面直线，
B错误；
直线BN与MB1是异面直线，
C正确；
设正方体的棱长为2，
∵MN=MC12+NC12=2，BN=BC2+CN2=5，
BM=BB12+MB12=BB12+BN2=3，
∴BM2≠MN2+BN2，
∴直线MN与BN所成角不是90°
D错误；
故选：AC.
11．BCD
对于选项A：因为2c−b=2accsB，
由余弦定理可得2c−b=2a×a2+c2−b22ac=a2+c2−b2c，
整理可得b2+c2−a2=bc，则csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
且A∈(0,π)，所以A=π3，故A错误；
对于选项B：由正弦定理可得∆ABC外接圆的半径R=a2sinA=32×32=1，
所以∆ABC外接圆的面积为πR2=π，故B正确；
对于选项C：由b2+c2−a2=bc可得b2+c2=a2+bc=3+bc，
且b2+c2≥2bc，即3+bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b=c=3时，等号成立，
所以∆ABC面积的最大值为12×3×32=334，故C正确；
对于选项D：由b2+c2=3+bc可得(b+c)2=3+3bc，即bc=(b+c)2−33，
且bc≤(b+c)24，即(b+c)2−33≤(b+c)24，
解得(b+c)2≤12，即b+c≤23，当且仅当b=c=3时，等号成立，
所以∆ABC周长的最大值为23+3=33，故D正确；
故选：BCD.
12. 3
由题意，|a+b|=(a+b)2=a2+b2+2a·b=1+1+2×1×1×cs60°=3
故答案为：3
13. 7π3/73π
圆台的上底面和下底面的半径分别是r=1和R=2，设母线长为l，高为h，侧面积是32π，
故π(R+r)l=π(2+1)l=32π，
所以l=2，
圆台的高为h=l2−(R−r)2=2−(2−1)2=1，
所以圆台体积为V=13π(R2+Rr+r2)h=13π(4+2+1)×1=7π3。
故答案为：7π3
14. π6
如图所示：将四棱锥P−ABCD放入边长为a的正方体内。
连接BC1，B1C相交于M，易知：BC1⊥B1C，BC1⊥CD故BC1⊥平面CDPB1
故∠BPM为直线PB与平面PCD所成的角
Rt∆BPM中：BP=2a，BM=22a，故∠BPM=π6
故答案为：π6
【答案】
15.（1）因为2bc=b2+c2−a2，因为A∈(0,π)，所以A=π4。 分
（2）因为A=π4，a=22，B=π3， 分
所以由正弦定理，得asinA=bsinB， 分
即22sinπ4=bsinπ3， 分
所以b=23。 分
16.（1）设与a垂直的单位向量为e=(x,y)。 分
则{x2+y2=1,4x+2y=0,解得{x=55y=−255或{x=−55y=255 分
所以e=55,−255或e=−55,255。 分
（2）因为a=(1,0)，b=(1,1)，所以a+λb=(1+λ,λ)， 分
因为a+λb与a垂直，所以(a+λb)·a=0， 分
所以(1+λ)·1+λ·0=0，即1+λ=0，所以λ=−1。 分
（3）a+kb与a−kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a−kb)=0， 分
即a2−k2b2=0。 分
因为a2=32=9，b2=42=16，所以9−16k2=0。 分
解得k=±34。也就是说，当k=±34时，a+kb与a−kb互相垂直。 分
17. 解：（1）因为e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°， 分
则|e1|=1，|e2|=1，e1·e2=12。 分
又a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7， 分
所以|a|=7， 分
同理b2=(−3e1+2e2)2=9e12−12e1·e2+4e22=7，所以|b|=7。 分
（2）由题得，a·b=(2e1+e2)·(−3e1+2e2)=−6e12+e1·e2+2e22=−72。 分
设a与b的夹角为θ，则csθ=a·b|a||b|=−727×7=−12。 分
因为θ∈[0,π]，所以θ=2π3，………14分
则a与b的夹角为23π。………15分
18.（1）证明：延长AO，交BC于点M，
由∆ABC为等边三角形，得O是∆ABC的中心，
则AO⊥BC，………2分
易知PO⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，
所以PO⊥BC，………4分
又PO∩AO=O，PO，AO⊂平面POA，
所以BC⊥平面POA，………5分
又BC⊂平面PBC，
所以平面POA⊥平面PBC。………6分
（2）连接PM，作AH⊥PM于H，由（1）知BC⊥平面POA，
因为AH⊂平面POA，所以BC⊥AH，
因为BC∩PM=M，BC，PM⊂平面PBC，
所以AH⊥平面PBC………8分
故A到平面PBC的距离为AH的长。
易知AM=32AO=3，MO=12AO=1，
又PO=22，所以PM=PO2+MO2=3，………10分
所以PM=AM，
又∠AMH=∠PMO，
所以Rt∆AMH≅Rt∆PMO，
故AH=PO=22，
所以点A到平面PBC的距离为2212分
（3）存在外接球 设球心为Q，由对称性可知球心在直线PO上，
由球心定义可知Q是直线PO和线段PA中垂线交点，下面为截面示意图
13分
设球半径为R，在直角三角形OAQ中，由勾股定理知：
R2=(h−R)2+r2
R=32215分
所以球表面积S=4πR2=18π17分
19. 解：（1）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，由∠A1CA=45°，得AA1=AC=6，
由AB=8，AC=6，∠BAC=90°，得BC=10，S∆ABC=12AB·AC=24，2分
所以直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S∆ABC·AA1=144。4分
（2）连接A1B∩AB1=E，连接DE，
由矩形ABB1A1，得E是A1B的中点，而D是BC边的中点，
则DE//A1C，又A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，6分
所以A1C//平面AB1D。8分
（3）当小虫从点A1沿A1B1C1爬到点D，把矩形BCC1B1与A1B1C1置于同一平面内，如图，
连接A1D，过A1作A1F⊥BC于F，交B1C1于点O，
由BC//B1C1，得A1O⊥B1C1，A1O=A1B1·A1C1B1C1=8×682+62=245，A1F=245+6=545，
OC1=A1C1cs∠A1C1B1=A1C1·A1C1B1C1=185，则DF=CD−OC1=5−185=75，
因此A1D=A1F2+DF2=15542+72=152965； 分
当小虫从点A1沿正方形ACC1A1爬到点D，
把正方形ACC1A1与∆ABC置于同一平面内，
或把正方形ACC1A1与矩形BCC1B1置于同一平面内，如图，
在左图中，取AB中点G，连DG，显然B，A，A1共线，
则DG//AC，DG=12AC=3，DG⊥AB，
而A1G=AA1+AG=10，因此A1D=A1G2+DG2=102+32=109， 分
在右图中，AD=AC+CD=11，A1D=A1A2+AD2=62+112=157>109；
当小虫从点A1沿矩形ABB1A1爬到点D，
把矩形ABB1A1与∆ABC置于同一平面内，
或把矩形ABB1A1与矩形BCC1B1置于同一平面内，如图，
在左图中，取AC中点H，连DH，显然C，A，A1共线，
则DH∥AB，DH=12AB=4，DH⊥AC，
而A1H=AA1+AH=9，因此A1D=A1H2+DH2=92+42=97，
在右图中，AD=AB+BD=13，A1D=A1A2+AD2=62+132=205>97，
显然152965>109>97，
所以小虫爬行的最短距离97。
………17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
D
C
A
B
B
D
ABC
AC
BCD