2025-2026学年下学期江苏省镇江一中高二数学2026年5月联考试卷含答案

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1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 空间直角坐标系中，已知线段|AB|=33，其中A(3,−1,−1)，则点B的坐标可以是
A. (5,−4,−3) B. (5,4,−3)
C. (−5,4,−3) D. (5,4,3)
2. 22026的个位数为
A.2 B.4 C.6 D.8
3. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：cm3）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24. 估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为
A.21 B.22 C.22.5 D.23
4. 对以下各选项中的多面体顶点进行涂色，要求相邻顶点颜色不同. 则仅需两种颜色即可满足要求的是
A. 正方体 B. 正八面体 C. 正三棱台 D. 正四面体
5. 已知正三棱锥P−ABC的底面边长为2，侧棱长为1. O为底面ABC内一点，且PO→=λPA→+13PB→+12PC→，λ∈R，则PO→·PB→=
A.0 B. 13
C. 12 D. 23
6. 某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，下列结论中不正确的是
A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
7. 已知随机变量X∼B4,12. 设随机变量Y=X2，则E(Y)=
A.3 B.4 C.5 D.6
8. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱CD，CC1上的动点，则二面角P−AA1−Q的最大值为
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1．则
A．AC⊥B1D
B．正四面体ACD1B1的体积为33
C．直线AC与C1D所成角为60°
D．直线AC与C1D的距离为34
10．如图，在一个8×8的正方形网格中，某人初始位置为网格中心点A，每次投掷一枚质地均匀的正四面体，其四个面分别标有“前、后、左、右”字样．
根据朝下一面的标注，沿网格线移动1格，且各次投掷相互独立．
A．经过连续2次移动，有可能回到初始位置A
B．经过连续3次移动，有可能回到初始位置A
C．经过连续移动4次，最终位置落在网格边界上的概率为164
D．经过连续移动4次，恰好回到初始位置A的概率为964
11．在四边形ABCD中，∆ABC为以点B为直角顶点的等腰直角三角形，∆BCD为以点C为直角顶点的直角三角形，其中AB=1，CD=3．当∆ABC沿着BC翻折的过程中
A．直线AB与CD所成角的最大值为π2
B．当AD=2时，二面角A−BC−D的大小为π3
C．四面体ABCD总存在外接球
D．若四面体ABCD存在外接球，则外接球半径的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．(C10130)2+(C10131)2+…+(C10131013)2= ．（结果用组合数表示）
13．从正方体的八个顶点中任意取四个点A，B，C，D，则AB→·CD→值的不同种数为 ．
14．“飞行棋”是一种家喻户晓的竞技游戏；玩家通过投掷一枚质地均匀的正六面体骰子来决定棋子前进步数：若掷出的点数等于剩余步数，则棋子恰好到达终点；若掷出的点数超出剩余步数，则棋子从终点再往回走超出的步数；若掷出的点数不足剩余步数，则正常前进．假设在某次游戏中，棋子恰好位于距离终点6步的位置，设随机变量X=“棋子到达终点所需的投掷次数”，则E(X)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
袋中有5个形状、质地完全相同的小球，其中3个红球，2个白球．从中一次性随机抽取2个小球．
（1）求抽取的2个小球中至少含有1个红球的概率；
（2）现进行3次独立的上述抽取试验，记X=“3次试验中抽到至少含1个红球的次数”，求X的分布列与数学期望．
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16．（15分）
已知f(x)=1x+2xn，其中n满足Cn2−2Cn1=12．对于y=f(x)的展开式，求：
（1）n值；
（2）含x4项的系数；
（3）系数最大的项．
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17．（15分）
如图，在圆台ABCD中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为7π．E为下底面圆周上一点，O2E⊥CD，F为O1E的中点，连接CF．
（1）证明：O2E⊥平面ABCD；
（2）若在下底面以O2为圆心，以r为半径的圆上存在一点G，使得FG∥BC．
（i）求r的值；
（ii）求平面ABCD与平面O2CF夹角的余弦值．
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18．（17分）
某网络购物平台专营店统计了2026年5月19日至23日这5天在该店购物的人数y的数据如下表：
（1）根据表中数据，建立y关于x的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年5月25日在该店购物的人数；
（2）该店统计发现，购物人数越多，顾客平均消费意愿越高：当单日购物人数不超过90人时，每位顾客消费超过30元的概率为0.5；当单日购物人数超过90人时，每位顾客消费超过30元的概率为0.7.
（i）从这5天中随机选择一天，然后从当天的购物顾客中随机抽取一人，求该顾客消费超过30元的概率；
（ii）若从某天购物顾客中随机抽取一人，其消费超过30元，求该天购物人数超过90人的概率.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=1n(xi−x¯)2，a^=y¯−b^x¯.
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19．（17分）
空间直角坐标系O−xyz中，点A(0,0,0)，B(3,33,0)，C(0,43,0)，P(0,0,6)．对任意n∈N，记A0，B0，C0分别为点A，B，C．过点An作直线PB的垂线于点Bn+1，过点Bn+1作直线PC的垂线于点Cn+1，过点Cn+1作直线PA的垂线于点An+1．
（1）判断并证明三棱锥P−ABC的四个面中直角三角形的个数；
（2）记点An到平面PBC的距离为dn．
（i）求d0，d1；
（ii）对于正整数m，从0，1，2，…，m中任取3个不同的整数，从小到大依次记为x，y，z，设dx，dy，dz成等比数列的概率为Pm．证明：当m≥6时，Pm25，
购物人数超过90人共3天，故P(A2)=>35． …………………………………………………11分
并且P(B|A1)=0.5，P(B|A2)=0.7． …………………………………………………12分
（i）P(B)=P(B|(A1+A2))=P(BA1+BA2)=P(BA1)+P(BA2)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=25×0.5+35×0.7
=0.62，
所以该顾客消费超过30元的概率为0.62． …………………………………………………14分
（ii）由条件概率公式知P(A2|B)=P(A2B)P(B)，
其中P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=0.42，
所以P(A2|B)=，
故该天购物人数超过90人的概率为>2131． …………………………………………………17分
19．（本小题17分）
解：
（1）在空间直角坐标系O−xyz中，
由于点A，P位于z轴，则PA⊥平面xOy，且AB，AC，BC在该平面内，
则PA⊥AB，PA⊥AC． …………………………………………………2分
此外AB→·BC→=0，即AB⊥BC． …………………………………………………3分
且PA⊥BC，AB∩PA=A，
从而BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB． …………………………………………………4分
综上可知三棱锥P−ABC的四个面均为直角三角形． …………………………………………………5分
注：本小问若采用向量数量积运算求解，参照上述评分细则给分。
（2）设An=(0,0,an)，Bn=(xn,yn,zn)，则PBn→=(xn,yn,zn−6)，
由于P，B，Bn共线，即PBn→=λPB→=(3λ,33λ,−6λ)，
所以PBn→可整理为(xn,3xn,−2xn)，Bn=(xn,3xn,−2xn+6)．
由于AnBn⊥PB，即AnBn→·PB→=0，解得4xn−6+an=0，
同理设Cn=(0,tn,pn)，其中PCn→=μPC→，
由于BnCn→·PC→=0，得pn=6−32tn，732tn−12xn=0，
且4xn−6+an=0，化解得pn=6−37·(6−an)。
由于CnAn⊥PA，则An+1=(0,0,pn)，
从而PAnPAn-1=37，即dndn-1=37，9分
所以{dn}是公比为3的等比数列。
对于平面PBC，不妨设其法向量n=(x,y,z)，
由于PC→·n=0，PB→·n=0，则n可以是(3,3,23)。11分
故d0=AC→·n|n|=32，d1=37d0=927。13分
（3）由于dx，dy，dz成等比数列，则dy2=dxdz，即d037y2=d037xd037z，
化简得2y=x+z，即x，y，z成等差数列。14分
若m为偶数，设m=2k，k∈N∗，k≥3，
当d=1时，共有2k−1种，
当d=2时，共有2k−3种，
当d=n时，共有2k−2n+1种，
当d=k时，共有1种，
则共有1+3+…+(2k−1)=k2种，
此时pm=P2k=k2C2k+13=3k4k2−1=34k−1k，
其中4k-1k≥4×3-13=353，则P2k≤3353=935