河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题及答案

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】将转化为 ，解得，
所以，则.
2. 若，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【详解】由题意得，所以对应的点位于第三象限.
3. 已知为第四象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可得，
因为为第四象限角，所以，，
所以.
4. 已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式，将已知条件转化为含和公比的方程组，消元求解出，再回代求出，进而计算.
【详解】设公比为，则由得，由得，
所以，解得或（舍）或（舍），
由得，所以.
5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为.
【详解】依题意，，，（为坐标原点），
因为，则，
所以，，所以，所以，
解得，所以，所以，
的周长, 由于，代入得：
，
根据椭圆定义，得,，
故所求的周长为.
6. 已知函数，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出关于直线对称，通过求导得到的单调性，根据函数的单调性即可判断.
【详解】，故关于直线对称，
求导得，
当时，，故，即，在上单调递增；
当时，即，在上单调递减，
又，，
即，，
所以，，
即，
根据函数的对称性和单调性可知，
又，，
所以，
所以.
7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果.
【详解】依题意，，由正弦定理得，，
所以，由余弦定理可得，，
即，所以，
即，又因为，所以.
8. 已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，由向量的数量积运算得，根据新定义得，设，利用辅助角公式结合三角函数性质求解.
【详解】设，，
由，得，所以，即，
所以，
设，则，即，
所以根据辅助角公式，，所以，即的最大值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于点对称D. 的图象上存在互相垂直的切线
【答案】BC
【解析】
【详解】依题意，，解得，A选项错误；
又，解得，B选项正确；
由A，B可知，，且，所以的图象关于点对称，C选项正确；
易知，因此切线斜率取值范围为，
即不存在两条直线斜率乘积为，所以D选项错误.
10. 已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则（ ）
A. B.
C. D. 在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，利用古典概率公式求解；对B，利用条件概率公式求解；对C，根据全概率公式求解；对D，利用条件概率公式求解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，，互斥，且，
所以
，故C正确；
对于D，因为，，
所以在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为，故D正确.
11. 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（ ）
A. 准线的方程为B. 可能在直线上
C. 的最小值为9D. 面积的最小值为16
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出准线求解选项A.设点的坐标，求出直线方程代入点，得到，无解，求解选项B.联立直线与抛物线方程，得到点的坐标，求出，根据基本不等式求解即可.根据直线方程求出坐标，根据距离公式求出，得到的面积，再利用基本不等式求解即可.
【详解】易知，所以准线的方程为，A选项正确；
设点的坐标为，因为，所以点处的切线斜率为，
所以直线的斜率为，
所以直线，
若在直线上，则，即，无解，B选项错误；
直线与联立可得，，解得，
即的横坐标为，所以的纵坐标为，
所以，当且仅当时，等号成立.C选项正确；
直线的方程为：，令，则，
所以，
所以，，
所以的面积为，
设，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.D选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量，若，且，则________.
【答案】0
【解析】
【详解】根据正态曲线的对称性可得，，故，
所以，解得.
13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________.
【答案】
【解析】
【详解】由于正四棱柱的体积为，，
故，则，
由于在平面上运动，且，
平面，平面，因此，
故，
由于，，
以为圆心，以的长度为半径作圆，此时圆与棱相交于点，
且 ，由于，
故，故，
故的轨迹为，故.
14. 已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】将转化为，再分析可知只能是且.构造函数，求导根据单调性可知，再根据基本不等式得，结合上述两个式子，可求解.
【详解】，
即，
当时，，
所以只能是且.
令,则，当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，则.
,当且仅当，即时等号成立.
综上，问题转化为存在实数同时满足和（即）.
为使这样的存在，须满足，解得.
所以实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可.
（2）根据（1）以及裂项相消法求解即可.
【小问1详解】
，
所以
，
当时满足以上通项公式，
综上所述：的通项公式为；
【小问2详解】
，
当时，，
当时，，
综上所述：.
16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，.
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先通过余弦定理与勾股定理证明，再结合面面垂直的性质定理证得平面，进而推出平面，最终得到;
（2）先由三棱锥体积公式求出的长度，再以为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得，，解得，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为，，所以平面，
所以；
【小问2详解】
依题意，三棱锥的体积为，
解得，
如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
所以，，，，
，，，
设平面的法向量为，则n1⋅BB1=−x+3z=0n1⋅BC=−x+y=0，
令，则n1=3,3,1，
设平面的法向量为，
则n2⋅CC1=−a+3c=0n2⋅AC=b=0令，则n2=3,0,1，
设平面与平面的夹角为，
则csθ=csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=47×2=277，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论曲线与的交点个数.
【答案】（1）
（2）若或，则曲线与无交点，若，则曲线与有一个交点.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程.
（2）设，，需要二次求导，分析函数的单调性，判断函数的零点个数.
【小问1详解】
由题意得，.
故，.
则曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由题意等价于.
设，.
则，记.
且，则是偶函数，且.
①当时，，.
故，在区间上单调递增，.
②当时，.
则当时，.
又因为是偶函数，所以当时，.从而在区间上单调递增，
，，
所以，
若或，即或，则曲线与无交点，
若，则曲线与有一个交点.
18. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3.
（1）求的方程；
（2）已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，.
（i）证明：；
（ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8
【解析】
【分析】（1）左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于的方程，求解即可；
（2）（i）设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线和的斜率乘积即可证明；
（ii）设直线 和 的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点 的坐标，将面积比表示为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值.
【小问1详解】
依题意，，设，则，
到圆上点的距离的最大值为3，所以，所以，故，，
所以的方程为；
【小问2详解】
（ⅰ）设直线，，，
由可得，，
所以，，
，
所以；
（ⅱ）不妨设直线，，，
由，可得，解得，
同理可得，，
由可得，解得，
同理可得，，
由题意，得，，故，
设的面积为，则，
易知，
令，当且仅当时取等号，则，
令，函数在单调递增，
故当时，取得最小值；.
所以的最小值为8.
19. 已知依次为圆周上的个等分点，每个点等概率地被染成白色或黑色.对于任意两个点和，若它们颜色相同，则连接，否则不连接.记线段的总条数为随机变量.
（1）当时，求圆中仅有两条线段且相互垂直的概率；
（2）当时，求圆中直角三角形的个数的数学期望；
（3）求.
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）结合题意利用古典概率计算公式计算求解；
（2）列举随机变量可能取值，计算对应概率，由此可计算数学期望；
（3）由题意可得，由，计算即可求解.
【小问1详解】
依题意，4个等分点构成正方形，
2白2黑对应的同色线段有两种情况：为白色，为黑色；为黑色，为白色.
满足条件的方案数为2，总染色方案数为16，
所以圆中仅有两条线段且相互垂直的概率为；
【小问2详解】
设直角三角形的个数为随机变量，则，
即四个点对应为2黑2白，有如下两种情形，
两条线段垂直，有2种情况，两条线段互相平行，有4种情况，
所以，
即四个点对应为3黑1白或3白1黑，有种情况，
所以，
即四个点对应为4黑或4白，有2种情况，
所以，
所以；
【小问3详解】
记个点中被染成白色的点数为，则.
当时，
所以
.
所以.
0