2026届河南省师范大学附属中学高考数学二模试卷含解析

这是一份2026届河南省师范大学附属中学高考数学二模试卷含解析，共18页。试卷主要包含了函数图像可能是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．B．80C．D．160
2．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（ ）
A．300，B．300，C．60，D．60，
4．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．40B．60C．80D．100
5．已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件
6．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．函数图像可能是（ ）
A．B．C．D．
8．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A．B．C．D．
9．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．7B．14C．28D．84
10．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
11．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．若，则实数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合,,则__________．
14．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________．
15．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．
16．实数，满足约束条件，则的最大值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知椭圆的右焦点为，，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线经过，交椭圆于点，，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，，，求证：直线与直线的交点在定直线上.
18．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．
（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；
（2）求的取值范围．
19．（12分）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.
21．（12分）的内角，，的对边分别为，，，其面积记为，满足.
（1）求；
（2）若，求的值.
22．（10分）在平面直角坐标系xy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；
（2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.
【详解】
解：二项式展开式的通式为，
令，解得，
则常数项为.
故选：A.
【点睛】
本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.
2、A
【解析】
由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.
【详解】
因为,
所以,
所以复数的虚部为.
故选A.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.
3、B
【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．
【详解】
由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，
∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，
行驶速度超过的频率为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4、D
【解析】
由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.
【详解】
由题意，成绩X近似服从正态分布，
则正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布曲线的对称性，求得，
所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，
故选:.
【点睛】
本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.
5、D
【解析】
由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】
中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”，
“”“”.
因此，“” 是“”的充分必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．
6、A
【解析】
根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.
【详解】
五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，
所有可能的分组共有种，
甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，
故甲和乙恰好在同一组的概率是.
故选：A.
【点睛】
本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.
7、D
【解析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项.
【详解】
,
,
即函数为偶函数，
故排除选项A,C，
当正数越来越小，趋近于0时，，
所以函数，故排除选项B,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.
8、D
【解析】
由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．
【详解】
解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，
对应区域为边长为的正方形，其面积为，
若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，
其面积；则有，解得
故选：．
【点睛】
本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
9、D
【解析】
利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解
【详解】
，
解得．
．
故选：D
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
10、A
【解析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.
【详解】
因为，
故要得到，只需将向左平移个单位长度.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.
11、B
【解析】
根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.
【详解】
函数


则函数的最大值为2，
存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.
12、A
【解析】
将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得.
又因为，故.
故选:A.
【点睛】
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
直接根据集合和集合求交集即可.
【详解】
解: ,
,
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查集合的交集运算,是基础题.
14、
【解析】
由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人，根据抽样比可求得结果.
【详解】
设高一、高二、高三人数分别为，则且，
解得：，
用分层抽样的方法抽取人，那么高二年级被抽取的人数为人．
故答案为：.
【点睛】
本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.
15、.
【解析】
先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】
因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.
故答案为y＝－5x＋3.
【点睛】
(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是
16、10
【解析】
画出可行域，根据目标函数截距可求.
【详解】
解：作出可行域如下：
由得，平移直线，
当经过点时，截距最小，最大
解得
的最大值为10
故答案为：10
【点睛】
考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由椭圆的定义可得，周长取最大值时，线段过点，可求出，从而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线，直线，，，，.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出和，根据求出的值.最后直线与直线的方程联立，求两直线的交点即得结论.
【详解】
（Ⅰ）设的周长为，
则
，当且仅当线段过点时“”成立.
，，又，，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.
设，，，，，.
将直线的方程代入椭圆方程得：.
，,
.
同理，.
由得，此时.
直线，
联立直线与直线的方程得，
即点在定直线.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；
（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.
【详解】
（1）依题有，所以椭圆方程为．
设，，，
由为的重心，；
又因为，，
，，
（2）当的斜率不存在时：，，，
代入椭圆得，，，
当的斜率存在时：设直线为，这里，
由，，
根据韦达定理有，，，
故，代入椭圆方程有，
又因为，
综上，的范围是.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（Ⅰ）证明：过点作于点，
∵平面⊥平面，∴平面
又∵⊥平面
∴∥,
又∵平面
∴∥平面
（Ⅱ）∵平面∴，又∵∴∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面∴∥，
∴四边形是矩形
设，得：，
又∵，∴，
从而，过作于点，则
∴是与平面所成角
∴，
∴与平面所成角的正弦值为
考点：面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的性质定理；直线与平面所成的角．
点评：本题主要考查了线面平行的证明和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．本题也可以用向量法来做：用向量法解题的关键是；首先正确的建立空间直角坐标系，正确求解平面的一个法向量．注意计算要仔细、认真．≌
20、（1）见解析 （2）
【解析】
（1）先求导，再对m分类讨论，求出的单调性；（2）对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.
【详解】
（1）
若，当时，；
当时.，
所以在上单调递增，在上单调递减
若.在R上单调递增
若，当时，；
当时.，
所以在上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则.则不合题意
当时，在上单调递减，在上单调递增.
则，即
又因为单调递增，且，故
综上，
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得，进而求得的值；
（2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中的值，即可将表达式化为的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得和，进而由正弦定理确定，代入整式即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得
，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以由正弦定理代入化简可得，
由（1），代入可得，
展开化简可得，
根据辅助角公式化简可得.
因为，所以，所以，
所以为等腰三角形，且，
所以.
【点睛】
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.
22、（1），，；（2）.
【解析】
（1）利用公式即可求得曲线的极坐标方程；联立直线和曲线的极坐标方程，即可求得交点坐标；
（2）设出点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.
【详解】
（1）曲线的极坐标方程：
联立，得，又因为都满足两方程，
故两曲线的交点为，.
（2）易知，直线.
设点，则点到直线的距离
（其中）.
面积的最大值为.
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题.