【数学】四川省绵阳市2026届高三下学期高考适应性考试试题（学生版+解析版）

这是一份【数学】四川省绵阳市2026届高三下学期高考适应性考试试题（学生版+解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. 0D.
【答案】A
【解析】对于复数，其共轭复数为 ，
故.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，，则.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题可知，
若，则，当且仅当“”时取“”，
则；
若取，满足，但，
故“”是“”必要不充分条件.
4. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】D
【解析】由可知，
故.
5. 5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】每一个工人都有4种选择方法，故5名工人不同方法的种数有种.
6. 已知各项均为正数的等比数列，若，则公比（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】由题意可得，，，
则，即，
则，故或，
当时，则，不符，故舍去；
当时，则，符合题意；
综上可得：.
7. 已知双曲线的焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因为双曲线的焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，
所以，即，
所以.
8. 将函数的零点从小到大排列构成数列，则的前8项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
令，则或，
所以或，
将的零点从小到大排列：，
所以数列的前8项和为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损．
关于这40名学生的成绩，则（ ）
A. 众数为9B. 极差为5
C. 第30百分位数为6D. 平均数小于中位数
【答案】ABD
【解析】A. 9分人数为10人，是已知各分数段中最多，
由于5分（设为x人）与6分（设为y人）总人数为8人（），
任一分数人数最多为8，不可能超过10，因此众数必为9，故正确；
B.最低分为5分，最高分为10分，极差为 ，故正确；
C.总人数40，第30百分位数位置为 ，即取第12和第13个数据的平均值，
前8个数据为5分或6分，第9至16个数据均为7分
第12、13个数据均为7 第30百分位数为7，故选项错误.
D.中位数：第20、21个数据位于8分区间（前16个为5/6/7分，第17–23为8分） 中位数为8，
平均数计算： ，
因 ，故 ，即平均数小于中位数.
10. 在正方体中，E，F，G，H，M，N分别是棱，的中点．下列说法正确的是（ ）
A. 直线EF、MN、CD相交于同一点
B. GN和MH是异面直线
C. 若点在直线上，则平面EFH
D. E，F，G，H，M，N在同一个球面上
【答案】ACD
【解析】对A，因为分别是的中点，所以，且，
所以为平行四边形，所以，
又分别是的中点，所以，所以且，
所以共面且不平行，记其交点为，易知是平面和平面的公共点，
所以点在平面和平面交线上，
所以交于同一点，正确；
对B，易知，且，所以为平行四边形，
所以GN和MH共面，错误；
对C，分别是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可证，平面，又是平面内的两条相交直线，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，正确；
对D，由正方体的几何特征可知，正方体的中心（体对角线的交点）到各棱中点的距离相等，
所以E，F，G，H，M，N在以正方体的中心为球心与各棱相切的球上，正确.
11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点（异于）在抛物线上，轴于点，曲线在点处的切线为，且与轴交于点．下列说法正确的是（ ）
A. 为OB的中点
B. 可能为锐角三角形
C. 若，则四边形ABCF的面积不小于
D. 若与圆心在轴上的圆相切于点，且，则
【答案】ACD
【解析】设，
由于，故，
因此曲线在点处的切线为，
令，则，故,又,故为OB的中点，A正确，
由于，，故,
则，因此,为直角三角形，故B错误，
若，则,因此，故，由于则，
四边形ABCF的面积为，故C正确，
直线，令，则,故，
由于，故,故,因此，故（负值舍去），，
因此，即,D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机事件和，其中．则_________.
【答案】
【解析】由概率的加法公式：,
代入已知条件得：，
解得：.
13. 若是奇函数，当时，．则______．
【答案】
【解析】由于，且是奇函数，故.
14. 融合科技和娱乐的无人机群表演深受人们欢迎．现有架无人机依次围成一个圆形飞行表演编队（相邻）．操控员需要对每架无人机发送两种编码：频段编码（0或1）和校验编码（或），无人机端接收频段编码和校验编码．为了保证无人机群飞行的稳定，要求相邻两架无人机之间的频段编码或者校验编码至少有一个相同，称满足这样条件的编码为合法编码，设该无人机群飞行编队的合法编码有种．则__________，__________．
【答案】28；
【解析】无人机端接收频段编码和校验编码有四种不同编码情况，
分别为，
如图所示，当有3架无人机时，
若编码相同时，有种不同方法，
若编码不同时，有种不同方法，则，
设架无人机围成圆形，每架无人机有4种状态（频段与校验的组合），
相邻无人机必须满足频段相同或校验相同.
考虑线性排列：第一架有4种选择，之后每架有3种选择（与前一架兼容），故线性排列数为．
对于环形排列，需首尾兼容，利用对称性，固定第一架为某状态，
设表示从该状态出发经过步回到自身的路径数（每步有3种选择），环形排列数．
由递推可得，初始，解得，
因此，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若是AB边上一点，且，求的值．
解：（1）由正弦定理得，
由于，所以，
所以，即，
整理得，
又，所以.
（2）因为，所以，，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因为，所以，
即，整理得，
在中，由余弦定理得，
所以，所以.
16. 椭圆的左，右焦点分别为，过外的点且斜率为的直线交于A，B两点．当过时，的周长为8，．
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为．证明：成等差数列．
（1）解：由椭圆的定义得的周长为，解得，
设焦距为，则，所以，
则，
因为，所以，解得，
则，所以的方程为.
（2）证明：设，则，
由题意，得直线的方程为，
联立，得，
则，
所以
，
即，则，所以成等差数列.
17. 如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为BC的中点，为上底面的中心．
（1）证明：平面ABC；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：以 为坐标原点， 所在平面 为 平面，建立空间直角坐标系.
由题意可取.
设.
因为 ， 所以.①
又.
由 ，得即.②
同理， 由 ， 得即.③
由②，③联立可得.
代入①，得.
因为 在平面 的上方， 所以.
故.
于是.
因为 为上底面 的中心，所以.
所以.
而平面 的方程为 ， 其一个法向量为 .
因此 ，从而.
（2）解：由点的坐标可知， 平面 上各点的 坐标都为 ， 故平面 的一个法向量可取为.
又 .
故平面 的一个法向量可取为.
于是两平面的夹角 满足.
故平面 与平面 的夹角的余弦值为.
18. 一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数．
（1）若，求的分布列；
（2）若，且，求；
（3）求的方差（结果用k，n表示），并探究k，n具有怎样的关系时，最大？
解：（1）X表示的元素个数，可能取值为，总取法为，
表示两次取的球无公共元素，取法为，，​
表示两次取的球恰有1个公共元素，取法为，，
表示两次取的球完全相同，取法为，，
的分布列为：
（2）由已知，表示第二次从个球中取出个球，其中恰有两个球的编号属于，
，
代入，则 ，
化简得，
因式分解得，结合得．
（3）由题，，，
则随机变量服从超几何分布，则
，
固定时，的大小由决定，
是开口向下的二次函数，对称轴为：
当为偶数时，时最大；
当为奇数时，或​时最大.
19. 已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）若存在两个极大值点．
（i）当0是的极小值点时，证明：；
（ii）当时，是否存在，使得？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
（1）证明：∵，
由于，，则，
令，
要证，，只需证：，
，易知，
，，（其中为函数的导函数）
，可得，（其中为函数的导函数）
∴在上单调递增，，
∴在上单调递减，，
∴在上单调递增，，
∴当时，，.
（2）（i）证明：∵，且，
∴，
∵0为的极小值点，由于，
∴必有，即，
由于，
令，则，
∴存在，使得在与上满足，单调递减；
在上，单调递增．
∴存在，使得在与上有，单调递增；
在与上有，单调递减．
∴的极大值点为：，
由于，则，
在单调递增，则．
由于，
由（1）得：，
∴，则；
（ii）解：∵为的一个极大值点，
，且，由于，所以，
即(＊)，
消去a可得，，
∴，
令，由于，
则在单调递增，又T(0)=0，但，所以，则，
将代入(＊)得到，
下面检验当时，代入得到，
此时，
易知，
又，则为的极大值点，
，则为的极大值点，且，则符合题意；
∴存在，使得．
成绩／分
5
6
7
8
9
10
人数
8
7
10
7