北京市昌平区2026届高三下学期二模数学试题 Word版含解析

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第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D. 或
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
3. 在的展开式中，所有二项式系数的和为，则的系数为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数，则是（）
A. 偶函数，且在上是增函数B. 奇函数，且在上是增函数
C. 偶函数，且在上是减函数D. 奇函数，且在上是减函数
6. 设函数（是常数，），若在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
9. 设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知数列满足，则（ ）
A. 当为常数列时，
B. 对于任意，为递减数列
C. 当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立
D. 当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立
​第二部分 非选择题 共（110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共 25 分.
11. 双曲线的实轴长为_________ .
12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为___________.
13. 已知向量满足，，且，则与夹角的大小为 _________；__________.
14. 已知圆，则圆的半径为_______；若直线上存在点，使得过点向圆引的两条切线互相垂直，则的取值范围为_________.
15. 设函数，给出下列四个结论：
①当时，恰有2个零点；
②存在正数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有2个零点；
④存在负数，使得恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是_________________ .
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在△中，.
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的值．
条件①：△的面积为，；
条件②：，；
条件③：AB边上的高为，．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 为了培养学生的应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表：
假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率.
（1）从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率；
（2）规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望；
（3）记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．结论不要求证明.
19. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
20. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围；
（3）若有两个不同的极值点，求证：.
21. 对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，.
（1）设集合，直接写出，，的值；
（2）设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式；
（3）设集合与同时满足下列两个性质：
①，且；
②且，其中.
求的最大值.
非常感兴趣
一般感兴趣
不感兴趣
合计
小学
20人
40人
40人
100人
初中
50人
30人
20人
100人
合计
70人
70人
60人
200人