湖南省怀化市重点高中2025-2026学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析）

这是一份湖南省怀化市重点高中2025-2026学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．0B．1C．2D．
2．已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（ ）
A．60B．90C．120D．150
4．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若,,则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
5．某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（ ）
A．95B．93.5C．92.5D．92
6．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
10．为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ）
A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30
B．样本数据的极差一定小于100
C．样本数据的中位数约为53
D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5%
11．在中，角所对的边分别为,已知，，则（ ）
A．
B．的取值范围是
C．周长的最大值为6
D．的最大值为
三、填空题
12．已知向量与垂直，则_________．
13．如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________．
14．有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________．
四、解答题
15．设，是两个不共线的向量．
(1)若向量，，的起点相同时，它们的终点共线，求实数的值；
(2)若，且与的夹角为，，求的最小值．
16．某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表）
(2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差．
17．如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，平面与平面的交线为，过，，三点的平面将正方体分成体积为，的两部分，且．
(1)求与所成角的大小；
(2)求实数的值．
18．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
19．在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点．
(1)求；
(2)若是的平分线，，的周长为，求的长度；
(3)若，，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】对进行分母有理化，分子分母同时乘以分母的共轭复数，
可得：.
计算：将代入可得：
.
对于复数，其模为，所以：
.
2．A
【详解】向量在向量上的投影向量的模等于，
已知该模为2，，则有 ，解得.
3．C
【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人，
所以A校人数在三所高中人数中占比为，
所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为.
4．D
【详解】A. 若,,则与相交，平行，或在面内，故A错误；
B. 若，，只有与两平面的交线垂直，才有，故B错误；
C. 若，，则与相交或平行，故C错误；
D. 若，，，则，故D正确.
5．B
【详解】因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数，
即.
6．C
【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、，
由正三棱锥性质，，，
可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形.
由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为，
可知中心到边的距离：.
在中：，
二面角的正弦值：.
7．B
【详解】由条件可知，，
即，因为点三点共线，
所以，得，
所以.
8．A
【详解】如图所示，

设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为，
因此对角线长，可得：.
翻折后，，的垂直关系不变，
因此二面角的平面角为，结合，
可得为等边三角形，.
由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，.
结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离），
由：由平面，，
因此平面平面，交线为，是直角三角形（），.
因为是边长为2的等边三角形，到的距离为，
所以到平面的高为，则，
又在中，，，等腰三角形的高为，
所以，
由，
代入得：，
所以，
因此截面面积为：.
9．ABC
【详解】复平面内的点在虚轴上，则实部为，即，
化简得，解得或或.
10．AC
【详解】样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为（人），故A正确；
样本数据的分布在之间，且组距为20，所以极差不一定小于100，故B错误；
，（分），所以样本数据的中位数约为53，故C正确；
日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数为（人），，
所以估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的10%，故D错误.
11．ACD
【详解】对于A，因为，由正弦定理，
又因为，可得，
所以，
可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以，所以A正确；
对于B，由且，可得，且，
由正弦定理得，
则
，
因为，可得，所以，
所以，所以B错误；
对于C，由周长
因为，可得，
当时，即时，取得最大值，
所以周长的最大值为，所以C正确；
对于D，由，可得，
则
，
所以，
当时，时，的最大值为，所以D正确.
12．
【详解】因为向量与垂直，
所以.
13．
【详解】，，取中点，连结，则，
，
，
，
把直观图还原成平面图形如下：
，
．
14．
【详解】
将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图）
正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64，
则上底边长为2，下底边长为8.即.
侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高.
若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径.
当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径；
当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设
由，则，
即，得,则，.
又，，即，解得
，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径.
此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，
，不共线，解得
．
（2）由题意得，
，
故当时，取得最小值为3，
则的最小值为．
16．(1)；
(2)
（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得．
各组的组中值依次为，对应频率依次为，
所以数据的平均数
，
所以估计这100个样本数据的平均数为．
（2）解：由于样本数据在与内的频率之比为，
所以两组的总平均数为，
所以总方差．
17．(1)
(2)
【详解】（1）如图1，在平面中，连接并延长，与直线交于点，
由是棱的中点可知与全等，
所以是的中点，所以是的中点，即，
同理，在平面中，连接并延长，与直线交于点，则，
连接，，，，则为平面与平面的交线，且，
在等边中，与所成的角为，
故与所成的角为.
（2）取的中点，连接，
因为平面，故平行于平面与平面的交线，
又，分别为，的中点，所以，
所以平面平面，故平面分正方体为如图2所示的两部分，
设正方体的棱长为2，则其体积为8，
，
故．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）如图，取的中点，连接，．
因为为等边三角形，所以，
又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故，
又，，平面，所以平面，得．
因为，，且，
故，
又，，，
所以．

（2）在平面内，作于点，连接．
由（1）易知，从而为二面角的平面角．
易知，则，
所以，
所以，即二面角的余弦值为．
（3）设到平面的距离为．
易知，即，
即，解得．
设直线与平面所成的角为，则．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即，
在中，，所以，即，
因为，所以，所以，
又，所以．
（2）因为，的周长为15，所以，
又，由余弦定理可得，
即 ，
解得．
因为是的平分线，所以．
因为，
所以，即，
所以．
（3）因为，所以，
两边平方得，
又，，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以

，
所以 ，
因为，所以，故，
所以，所以 ，
即实数的取值范围为．