第20章 勾股定理（单元测试含答案）-人教版数学八年级下册

这是一份第20章 勾股定理（单元测试含答案）-人教版数学八年级下册，共17页。
第20章 勾股定理 一、选择题（共12小题） 1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a：b：c=1：3：2 C．a＝6，b＝8，c＝10 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 2．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．13，14，15 B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 4．下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（　　） A．1，1，2 B．2，3，4 C．5，12，13 D．3，4，5 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值是（　　） A．10 B．234 C．27 D．4.8 6．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 7．下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．6，8，10 8．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝5：12：13 9．如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆A点测量鱼塘另一边木杆B点的长度，点C为存放鱼科的小屋，现测得AC＝6m，∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，则可求出AB两点间的距离是（　　） A．(3+43)m B．(3+33)m C．(2+33)m D．(3+32)m 10．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 11．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　） A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm 12．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1 二、填空题（共8小题） 13．如图，受台风影响，一棵8米高的树被风刮断了，树顶落在离树根4米处，则折断处的高度AB为　 　 米． 14．汉末三国初数学家、天文学家赵爽，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常把图称为“赵爽弦图”，该图由四个全等的直角三角形拼接而成，已知AB＝2BC，中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积为　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2+S1﹣S3＝36，则阴影部分的面积为 　 　 ． 16．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是12cm2，则正方形A的面积是 　 　 ． 17．如图，3×3网格由9个边长为1的小正方形组成，以点D为圆心，CD长为半径画圆弧交数轴于点C′，则点C'表示的实数为　 　 ． 18．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形ABCD的面积是90，AH＝9，则正方形EFGH的面积是　 　 ． 19．今年超强台风“桦加沙”24日在阳江海陵岛登录，对珠海的也造成一定的影响．如图，在台风中一棵大树在离地面5m处折断，倒下部分与地面成30°夹角，大树折断前的高度为　 　 米． 20．如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是 　 　 ． 三、解答题（共5小题） 21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 22．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 23．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 24．某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15米，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（AO的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（BD的长度）． 25．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？  一、选择题（共12小题） 1．【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答． 【解答】解：A、∵a2+b2＝c2， ∴能判定△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、∵（3）2+12＝22， ∴能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100， ∴a2+b2＝c2， ∴能判定△ABC为直角三角形， 故C不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°×53+4+5=75°， ∴不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 2．【答案】C 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形； B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形； C、因为32+42＝52，所以能构成直角三角形； D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 3．【答案】D 【分析】根据勾股数的定义进行判断即可． 【解答】解：A、13，14，15不是整数，不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2.5不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、52+112≠122，5，12，11不是勾股数，不符合题意； D、72+242＝252，7，24，25是勾股数，符合题意； 故选：D． 4．【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：A、∵12+12＝2≠22，∴不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、∵22+(3)2=4+3=7≠42，∴不能作为直角三角形三边长，不符合题意； C、∵52+122＝25+144＝169＝132＝169，∴可以作为直角三角形三边长，符合题意； D、∵(3)2+(4)2=3+4=7≠52，∴不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 故选：C． 5．【答案】A 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值=62+82=10， 故选：A． 6．【答案】D 【分析】由勾股定理即可求出答案． 【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100， 故选：D． 7．【答案】C 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、∵42+52≠62， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； C、∵72+242＝252， ∴7，24，25是勾股数，符合题意； D、6，8，10都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 8．【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案． 【解答】解：A、∵b2＝a2﹣c2， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC为直角三角形．不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x， ∴3x+4x+5x＝180°， ∴x＝15°， ∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； C、∵∠C＝∠A﹣∠B， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形．不符合题意； D、∵a：b：c＝5：12：13，∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，b2＝（13k）2＝169k2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形．不符合题意． 故选：B． 9．【答案】B 【分析】连接AB，过点C作CG⊥AB于点G，得到△ACG是含30°的直角三角形，△CGB为等腰直角三角形，再由30°的直角三角形性质以及勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，∠CAB＝60°，连接AB，过点C作CG⊥AB于点G， ∴∠ACG＝90°﹣60°＝30°， ∴∠GCB＝∠ACB﹣∠ACG＝75°﹣30°＝45°， ∵CG⊥AB， ∴AG=12AC=12×6=3m，△CGB为等腰直角三角形， 在直角三角形ACG中，由勾股定理得：BG=CG=AC2−AG2=33m， ∴AB=AG+BG=(3+33)m， 故选：B． 10．【答案】A 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣3）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣1）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解． 【解答】解：设铅笔长度为xcm， 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm， ∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122， 解得x＝22， 故铅笔的长为22cm， 故选：A． 11．【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为10cm， 则AD＝10×12=5（cm）． 又因为CD＝AB＝12cm， 所以AC=122+52=13（cm）． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm． 故选：B． 12．【答案】C 【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD﹣CG＝6﹣x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝3， ∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠， ∴EF＝AE＝3，FG＝CG， 设CG＝x，则： DG＝CD﹣CG＝6﹣x，FG＝CG＝x， ∴EG＝EF+FG＝3+x， 在Rt△DEG中，DE2+DG2＝EG2， 即32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得：x＝2， ∴CG＝2， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 13．【答案】3． 【分析】假设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，根据勾股定理，可求出x的值，即可得出答案． 【解答】解：根据题意，可知三角形ABC为直角三角形， 根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2， 设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，结合BC＝4米， 可得方程（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3， 故AB的长度为3米， 故答案为：3． 14．【答案】13． 【分析】在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE即可． 【解答】解：如图， 小正方形的边长BD＝BC＝1，直角三角形的直角边BE＝AC＝AB+BC＝2BC+BC＝3BC＝3， 在Rt△ABE中，AB＝2BC＝2， ∴根据勾股定理得，AE2＝AB2+BE2＝22+32＝13， ∴AE2＝13．即大正方形的面积为13， 故答案为：13． 15．【答案】9． 【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝36可得出S1的值，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2， 即S1+S3＝S2， ∵S2+S1﹣S3＝36， ∴S1＝18， 由图形可知，阴影部分的面积=12S1， ∴阴影部分的面积=12×18＝9， 故答案为：9． 16．【答案】4cm2． 【分析】根据勾股定理和正方形的面积可知，正方形D的面积+正方形E的面积＝正方形C的面积，正方形F的面积+正方形G的面积＝正方形B的面积，正方形B的面积+正方形C的面积＝正方形A的面积，即可解决问题． 【解答】解：如图， 根据勾股定理和正方形的面积可知： 正方形D的面积+正方形E的面积＝正方形C的面积， 正方形F的面积+正方形G的面积＝正方形B的面积， 正方形B的面积+正方形C的面积＝正方形A的面积， ∵所有正方形的面积之和是12cm2， ∴正方形A的面积是12×13=4（cm2）， 故答案为：4cm2． 17．【答案】5． 【分析】根据勾股定理求出CD的长，再根据题意得出DC'的长，即可解决问题． 【解答】解：由勾股定理得：CD=22+12=5， 由题意可知，DC'＝DC=5， ∴点C'表示的实数为5， 故答案为：5． 18．【答案】36． 【分析】根据题意得到AH＝BE＝9，根据正方形ABCD的面积是90，结合勾股定理求出AE的长，得出EH的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的，AH＝9， ∴AH＝BE＝9， ∵大正方形ABCD的面积是90， ∴AB2＝90， ∵∠AEB＝90°， ∴AE2+BE2＝AB2＝90， 则AE2+92＝90， 解得：AE＝3或AE＝﹣3（不符合题意，舍去）， ∴EH＝AH﹣AE＝6， ∴S正方形EFGH＝62＝36． 故答案为：36． 19．【答案】15． 【分析】由于倒下部分与地面成30°夹角，利用含30°角的直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，BC＝5米， ∴AB＝2CB＝10米， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米． 故答案为：15． 20．【答案】13尺． 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故答案为：13尺． 三、解答题（共5小题） 21．【答案】（1）正确，∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）风筝垂直下降的高度为9m． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解； （2）先求得FD，再利用勾股定理求得DC′，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【解答】解：（1）他的说法正确． 理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）根据题意得，BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，DC'=FC'2−FD2=172−82=15(m)． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m）， 即风筝垂直下降的高度为9m， 答：风筝垂直下降的高度为9m． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离． 【解答】解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：252−72=24（米）； （2）梯子下滑了4米， 即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）， 根据勾股定理得：25=202+(7+CC')2， 解得CC′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可； （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状； （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴BE=AB2−AE2=152−122=9m． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴S△ACD=12AC⋅CD=12×15×8=60m2， 由（1）可知，BC＝18m， ∴S△ABC=12BC⋅AE=12×18×12=108m2 ∴这块空地得面积为：S△ABC+S△ADC=108+60=168m2． 24．【答案】（1）10.5米； （2）(321−12)米． 【分析】（1）先根据勾股定理求出AE的长，再由AO＝AE+OE即可得出结论； （2）先由AC＝3米得出CE的长，再由勾股定理求出DE的长，由BD＝DE﹣BE即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AB＝15米，BE＝12米， ∴AE=AB2−BE2=152−122=9（米）， ∴OE＝1.5米， ∴AO＝AE+OE＝9+1.5＝10.5（米）， 答：吊臂最高点A与地面的距离是10.5米； （2）AE＝9米，AC＝3米， ∴CE＝AE﹣AC＝9﹣3＝6（米）， ∵CD＝AB＝15米， ∴DE=CD2−CE2=152−62=189=321（米）， ∴BD=DE−BE=321−12（米）． 25．【答案】（1）见解答； （2）海港C受到台风影响； （3）台风影响该海港持续的时间为3.5h． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响． 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D． ∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CD， ∴CD=AC⋅BCAB=300×400500=240（km）， ∵250＞240， ∴海港C受到台风影响； （3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口． 在Rt△CED中，由勾股定理得 ED=EC2−CD2=2502−2402=70（km）， ∴EF＝140km， ∵台风的速度为40km/h， ∴140÷40＝3.5（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为3.5h．