重庆市七校联盟2026届高三考前联合诊断数学试卷含答案（word版）

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【解析】由题得 a>xylnyx−1
令 t=xy∈0,+∞ ,得 a>tln1t−1=t−lnt−1
令 ft=t−lnt−1,t∈0,+∞,f′t=−lnt−1+t⋅−1t=−lnt−2
则 ft 在 0,1e2 单调递增,在 1e2,+∞ 单调递减
所以 ftmax=f1e2=1e2−ln1e2−1=1e2
故 a>1e2, A 正确
11.【答案】ABD
【解析】设 Px,y,OQ=λOP,λ>0 ,则 x0,y0=λx,y⇒x=x0λy=y0λ
代入双曲线 E ，得 x02−y02=λ2
又 OP⋅OQ=1 ,则 x2+y2⋅x02+y02=1
即 x0λ2+y0λ2⋅x02+y02=1⇒x02+y02=λ
则 x0​2+y0​22=λ2=x0​2−y0​2
故轨迹 M 的方程为: x2+y22=x2−y2
A. Qx0,y0 在轨迹 M 上,其关于坐标原点的对称点 −x0,−y0 显然也在轨迹 M 上,故 A 正确
B. x0​2+y0​22=x0​2−y0​2=x0​2+y0​2−2y0​2≤x0​2+y0​2⇒01 ,矛盾,故 C 错误
D. 设 u=x0​2+y0​2 ,则由 M 的方程可得 u2=x0​2−y0​2 且 00 时,令 f′x=ex−a=0 ,得 x=lna
此时 fx 在 −∞,lna 单调递减,在 lna,+∞ 单调递增, 9 分
极小值为 flna=elna−lna=a−alna=a1−lna
又 limx→−∞fx=+∞,limx→+∞fx=+∞ , 11 分
因此 fx 有两个零点当且仅当极小值小于零,即a1−lnae
综上, a 的取值范围是 e,+∞ .13 分
16.【解析】
(1)由题知 c=3,b=1 3 分
可得 a2=4,b2=1,∴ 椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 6 分
(2)联立 y=kx+mx24+y2=1 得 4k2+1x2+8kmx+4m2−4=0 . 8 分
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,可得 x1+x2=−8km4k2+1,x1x2=4m2−44k2+1 .9 分
由题知 kAP+kBP=0 , 10 分
即 y1x1−4+y2x2−4=kx1+mx1−4+kx2+mx2−4=2kx1x2+m−4kx1+x2−8mx1−4x2−4=0 ,
即 2kx1x2+m−4kx1+x2−8m=0 解得 k=−m , 14 分
∴ 直线 l 的方程为 y=kx−1 ,故直线 l 恒过定点 1,0 .15 分
17.【解析】
(1)由 3ccsA−b=asinC 和正弦定理,
可得 3sinCcsA−sinB=sinAsinC∗ , 1 分
又 A+B+C=π ,所以 sinB=sinπ−A−C=sinA+C=sinAcsC+csAsinC , 代入 (*) 式得 −3sinAcsC=sinAsinC ,因为 00 ,即 tanC=−3 , 3 分
又 0