2026年广东省广州市初中学业水平模拟测试数学试卷

这是一份2026年广东省广州市初中学业水平模拟测试数学试卷，共9页。
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）2025年九三阅兵上大批无人与反无人装备首次集中亮相，彰显了我国建设世界一流强军的能力与信心．下列无人装备缩影图示中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2+3=5B．a6÷a3＝a2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．2a2+a＝2a3
4．（3分）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径OB＝5cm，在操场地上砸出一个小坑，坑深DE＝2cm，则该坑的宽AB＝（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
5．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长有多少尺？若设绳长有x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A．x=y+4.5x=2(y−1)B．y=x+4.5y=2(x−1)
C．x=y+4.5x=2(y+1)D．y=x+4.5y=2(x+1)
6．（3分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则cs∠BDE的值为（ ）
A．34B．43C．35D．45
7．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加了一些40码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．中位数
8．（3分）如图，四张写有不同诗句的卡片，除正面内容不同外其余完全相同．将其背面朝上随机放在桌面上，任意抽取两张，在不计顺序的情况下，恰好是同一首诗中连续两句的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
9．（3分）当﹣1≤x≤4时，二次函数y＝（x﹣3）2+k函数值的取值范围是（ ）
A．k≤y≤k+16B．k+1≤y≤k+16
C．k≤y≤k+1D．y≤k+1
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC=43，且点A，B分别落在反比例函数y=3x和y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，作与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A（﹣5，4）的对应点为A1（a，b），则a+b＝ ．
12．（3分）因式分解：x4+2x2﹣3＝ ．
13．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+2通过配方转化为y＝（x﹣1）2+n，则n＝ ．
14．（3分）一个圆锥的母线长为30cm，侧面积为300πcm，则这个圆锥的底面半径为 cm．
15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，∠1+∠2＝65°，若⊙O的半径为3，则AC的长为 ．
16．（3分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论，①∠AED＝67.5°；②四边形AEFG是菱形；③EF=8−22；④DGDE=DADB．其中正确的是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程：2xx2−4+3x+2=1x−2．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，∠CDF＝∠EBC．求证：DE＝BF．
19．（6分）先化简(5a−2−a−2)÷a2−6a+9a−2，再从0、2、3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（8分）【问题背景】
2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加减书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；
素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；
素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的13．
【问题解决】
（1）求A，B两种书架的单价；
（2）设购买a个A种书架，购买书架的总费用为w元，试求出总费用最少时的购买方案．
21．（8分）为保护学生视力，防止学生沉迷网游，促进学生身心健康发展，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）求获奖总人数为多少人？
（2）m的值为多少？A所对的圆心角度数是多少度？
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
22．（8分）如图，抛物线y=−12x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y=−x+72交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．
23．（10分）已知，⊙O的半径为1，A、B、C、D是圆上四点，且满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）请在图1中直接用尺规作出弦CD与点H（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2所示，延长AH至点F，使得2HF＝AF，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，PD=12AD，点M为AP的中点，连结HM．求证：MH⊥CP．
24．（12分）如图，抛物线y=−12x2+bx交x轴正半轴于点A，过顶点C作CD⊥x轴于点D，OA＝CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若﹣2≤x≤6时，则函数y的取值范围是 ；
（3）点P为CD右侧第一象限抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，点Q为y轴正半轴上一点，连接AQ、HQ，tan∠OHQ=23，PQ延长线交x轴于点B，点N在y轴负半轴上，连接BN、AN，若∠BQA＝135°，∠ANB＝45°，求直线AN的解析式．
25．（12分）四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP、BN．
①依题意补全图1；
②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；
AP与BN的数量关系 ，位置关系 ．
（2）点P在AB的延长线上，且∠APO＝30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线相交于点N，连接CM，若AB＝2，求CM的长．（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在1.414，π，237，2−3，2.1010010001…（相邻两个1中间0的个数逐次加1），3−27中，无理数个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】无理数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：3−27=−3是有理数，
无理数有：π，2−3，2.1010010001…（相邻两个1中间0的个数逐次加1），共3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）2025年九三阅兵上大批无人与反无人装备首次集中亮相，彰显了我国建设世界一流强军的能力与信心．下列无人装备缩影图示中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、选项图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不能找到一点，使图形绕这点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，符合题意；
B、选项图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，能找到一点，使图形绕这点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形，不符合题意；
C、选项图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，能找到一点，使图形绕这点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形，不符合题意；
D、选项图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，能找到一点，使图形绕这点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义是关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2+3=5B．a6÷a3＝a2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．2a2+a＝2a3
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用二次根式的加减法则，合并同类项法则，同底数幂除法法则，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：2与3不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意；
a6÷a3＝a3，则B不符合题意；
（﹣2a）3＝﹣8a3，则C符合题意；
2a2与a不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式及二次根式的计算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（3分）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径OB＝5cm，在操场地上砸出一个小坑，坑深DE＝2cm，则该坑的宽AB＝（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【考点】垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由垂径定理得到AB＝2BD，利用勾股定理求出BD的长，即可得到AB的长，
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠ODB＝90°，AB＝2BD，
∵铅球半径OB＝OE＝5cm，
∴OD＝5﹣2＝3（cm），
∴BD=OB2−OD2=4（cm），
∴AB＝2BD＝8（cm），
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由垂径定理得到AB＝2BD，由勾股定理求出BD的长．
5．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长有多少尺？若设绳长有x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A．x=y+4.5x=2(y−1)B．y=x+4.5y=2(x−1)
C．x=y+4.5x=2(y+1)D．y=x+4.5y=2(x+1)
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据等量关系“绳长＝木长+4.5”和“12绳长=木长−1”列方程组即可解答．
【解答】解：根据等量关系“绳长＝木长+4.5”和“12绳长=木长−1”列方程组得：
x=y+4.512x=y−1，整理为：x=y+4.5x=2(y−1)．
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解题的关键．
6．（3分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则cs∠BDE的值为（ ）
A．34B．43C．35D．45
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得菱形的边长，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出DE的长度，根据三角函数的定义可求出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，AD＝AB，
∴AC⊥OD，AO=12AC=4，DO=BO=12BD=3，
由勾股定理得到：AD=AB=AO2+BO2=5，
又∵DE⊥AB，
∴S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•DE，
∴DE=AC⋅BD2AB=8×62×5=245，
∴cs∠BDE=DEBD=2456=45，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；根据菱形的面积求得空白公式的长度是解决问题的关键．
7．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加了一些40码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．中位数
【考点】统计量的选择；加权平均数；中位数；众数；方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数，据此解答．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：A．
【点评】此题主要考查统计量的选择，加权平均数，中位数，众数，方差，解答本题的关键是熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义．
8．（3分）如图，四张写有不同诗句的卡片，除正面内容不同外其余完全相同．将其背面朝上随机放在桌面上，任意抽取两张，在不计顺序的情况下，恰好是同一首诗中连续两句的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是同一首诗中连续两句的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是同一首诗中连续两句的结果有：（A，B），（B，A），（B，C），（C，B），（C，D），（D，C），共6种，
∴恰好是同一首诗中连续两句的概率为612=12．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9．（3分）当﹣1≤x≤4时，二次函数y＝（x﹣3）2+k函数值的取值范围是（ ）
A．k≤y≤k+16B．k+1≤y≤k+16
C．k≤y≤k+1D．y≤k+1
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质可以解答本题．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+k，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，k），
∴当x＝3时有最小值是k，
当x＝﹣1时，y＝16+k，
当x＝4时，y＝1+k，
∴当﹣1≤x≤4时，函数值y的取值范围为k≤y≤16+k．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC=43，且点A，B分别落在反比例函数y=3x和y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得A（32，2），OA=52再求得点B（4，2），利用待定系数法求解即可．
【解答】解：过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，
∵tan∠AOC=43，
∴ADOD=43，
∴设AD＝4a，则OD＝3a，
∴点A（3a，4a），
由题意可得：3a•4a＝3，
∴a=12（负值已舍），则点A（32，2），
∴AD＝2，OD=32，
∴OA=OD2+AD2=52，
∵AB＝OA=52，AB∥CO，
∴点B（4，2），
∵点B落在反比例函数y=kx（k≠0）上，
∴k＝4×2＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，作与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A（﹣5，4）的对应点为A1（a，b），则a+b＝ 9 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】9．
【分析】由A关于y轴对称得A1（5，4），即可求解．
【解答】解：由条件可知A1（5，4），
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了点关于坐标轴对称的规律，熟练掌握该知识点是关键．
12．（3分）因式分解：x4+2x2﹣3＝ （x2+3）（x﹣1）（x+1） ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（x2+3）（x﹣1）（x+1）．
【分析】利用十字相乘法分解即可
【解答】解：x4+2x2﹣3
＝（x2+3）（x2﹣1）
＝（x2+3）（x﹣1）（x+1）．
故答案为：（x2+3）（x﹣1）（x+1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
13．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+2通过配方转化为y＝（x﹣1）2+n，则n＝ 1 ．
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】1．
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，即y＝（x﹣1）2+1．
∵将二次函数y＝x2﹣2x+2通过配方转化为y＝（x﹣1）2+n，
∴n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要是掌握配方法的应用．
14．（3分）一个圆锥的母线长为30cm，侧面积为300πcm，则这个圆锥的底面半径为 10 cm．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】10．
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设底面圆半径rcm，
因为母线长为30cm，侧面积＝π×30×r＝300π，
解得r＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算公式：S=12lr是解题的关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，∠1+∠2＝65°，若⊙O的半径为3，则AC的长为 136π ．
【考点】弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】136π．
【分析】连接OD，根据OA＝OD，OC＝OD，∠ODA＝∠1，∠ODC＝∠2，可得∠ODA+∠ODC＝∠1+∠2＝65°，根据圆周角定理得∠AOC＝2∠ADC＝130°，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OD，
∵OA＝OD，OC＝OD，
∴∠ODA＝∠1，∠ODC＝∠2，
∵∠1+∠2＝65°，
∴∠ODA+∠ODC＝∠1+∠2＝65°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝130°，
∴AC的长为130π×3180=136π．
故答案为：136π．
【点评】本题主要考查弧长的计算，圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟练掌握弧长公式，圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键．
16．（3分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论，①∠AED＝67.5°；②四边形AEFG是菱形；③EF=8−22；④DGDE=DADB．其中正确的是 ①②④ ．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】①②④
【分析】由正方形的性质得到∠ADB＝∠ABD＝∠BAC＝DAC＝45°，由折叠的性质得到：∠ADE＝∠BDE=12∠ADB＝22.5°，∠EFD＝∠DAB＝90°，AE＝FE，AD＝FD，求出∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，由∠GAE＝∠BEF＝45°，判定AG∥EF，由∠AGE＝∠AEG，推出AG＝AE，得到AG＝FE，推出四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质求出BD=2AB＝82，得到BF＝BD﹣FD＝82−8，由△DGF∽△DEB，推出DGDE=DFDB，即可证明DGDE=DADB．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠BAC＝DAC＝45°，
由折叠的性质得到：∠ADE＝∠BDE=12∠ADB＝22.5°，∠EFD＝∠DAE＝90°，AE＝FE，AD＝FD，
∴∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故①符合题意；
∵∠BFE＝90°，∠EBF＝45°，
∴∠BEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAE＝∠BEF，
∴AG∥EF，
∵∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠AGE＝∠AEG，
∴AG＝AE，
∴AG＝FE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE＝FE，
∴四边形AEFG是菱形，
故②符合题意；
在边长为8的正方形ABCD中，
∵△FEB是等腰直角三角形，
∴EF＝FB，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=2AB＝82，
∵FD＝AD＝8，
∴BF＝BD﹣FD＝82−8，
∴EF＝82−8，
故③不符合题意，
∵四边形AEFG是菱形，
∴GF∥EB，
∴△DGF∽△DEB，
∴DGDE=DFDB，
∵AD＝DF，
∴DGDE=DADB，
故④符合题意，
∴其中正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠问题，关键是由∠AGE＝∠AEG，推出AG＝AE，由折叠的性质得到∠ADE＝∠BDE，∠EFD＝∠DAE＝90°，AE＝FE，AD＝FD，掌握菱形的判定方法，由△DGF∽△DEB，推出DGDE=DFDB．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程：2xx2−4+3x+2=1x−2．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】无解．
【分析】根据解分式方程的一般步骤求解即可．
【解答】解：去分母得：2x+3（x﹣2）＝x+2，
去括号得：2x+3x﹣6＝x+2，
移项得：2x+3x﹣x＝6+2，
合并得：4x＝8，
系数化为1得：x＝2，
经检验：x＝2是原分式方程的增根，原分式方程无解．
【点评】本题考查分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键，注意检验．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，∠CDF＝∠EBC．求证：DE＝BF．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】根据菱形的性质可以得到DC＝BC，再根据ASA可以证明△DCF≌△BCE，然后即可得到DE＝BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC，
在△DCF和△BCE中，
∠CDF=∠EBCDC=BC∠C=∠C，
∴△DCF≌△BCE（ASA），
∴CF＝CE，
∴CD﹣CE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（6分）先化简(5a−2−a−2)÷a2−6a+9a−2，再从0、2、3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】−3+aa−3，1．
【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解．
【解答】解：原式=9−a2a−2⋅a−2a2−6a+9
=9−a2a2−6a+9
=(3+a)(3−a)(a−3)2
=−3+aa−3；
∵因为a≠3，a≠2，
∴取a＝0，则
原式=−3+aa−3
=−3−3=1．．
【点评】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键．
20．（8分）【问题背景】
2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加减书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；
素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；
素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的13．
【问题解决】
（1）求A，B两种书架的单价；
（2）设购买a个A种书架，购买书架的总费用为w元，试求出总费用最少时的购买方案．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元；
（2）总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个．
【分析】（1）设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，根据有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买a个A种书架，则购买（20﹣a）个B种书架，根据A种书架的数量不少于B种书架数量的13，列出一元一次不等式，解得a≥5，再求出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，
由题意得：x−y=1003x+2y=2300，
解得：x=500y=400，
答：A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元．
（2）设购买a个A种书架，则购买（20﹣a）个B种书架，
由题意得：a≥13（20﹣a），
解得：a≥5，
∵购买书架的总费用为w元
∴w＝500a+400（20﹣a）＝100a+8000，
∵100＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝5时，w取得最小值，
此时，20﹣a＝15，
答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
21．（8分）为保护学生视力，防止学生沉迷网游，促进学生身心健康发展，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）求获奖总人数为多少人？
（2）m的值为多少？A所对的圆心角度数是多少度？
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）获奖总人数为40人．
（2）m的值为30，A所对的圆心角度数是36°．
（3）12．
【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得获奖总人数．
（2）用C的人数除以获奖总人数再乘以100%可得m%，即可得m的值；用360°乘以A的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）8÷20% ＝40（人）．
答：获奖总人数为40人．
（2）由题意得，m%=40−4−8−1640×100%＝30%，
∴m＝30．
A所对的圆心角度数为360°×440=36°．
答：m的值为30，A所对的圆心角度数是36°．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有6种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为612=12．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
22．（8分）如图，抛物线y=−12x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y=−x+72交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）y=−12x2+x+72；
（2）325．
【分析】（1）将点B的坐标为（4，m）代入y=−x+72，m=−4+72=−12，B的坐标为(4，−12)，将A（3，2），B(4，−12)代入y=−12x2+bx+c，解得b＝1，c=72，因此抛物线的解析式y=−12x2+x+72；
（2）设D(m，−12m2+m+72)，则E(m，−m+72)，DE=(−12m2+m+72)−(−m+72)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2，当m＝2时，DE有最大值为2，此时D(2，72)，作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小．
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y=−x+72，m=−4+72=−12，
∴B的坐标为(4，−12)，
将A（3，2），B(4，−12)代入y=−12x2+bx+c，
−12×32+3b+c=2−12×42+4b+c=−12，
解得b＝1，c=72，
∴抛物线的解析式y=−12x2+x+72；
（2）设D(m，−12m2+m+72)，则E(m，−m+72)，DE=(−12m2+m+72)−(−m+72)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，
此时D(2，72)，
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），A′D=(−1−2)2+(2−72)2=325，
即PD+PA的最小值为325；
【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质是解题的关键．
23．（10分）已知，⊙O的半径为1，A、B、C、D是圆上四点，且满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）请在图1中直接用尺规作出弦CD与点H（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2所示，延长AH至点F，使得2HF＝AF，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，PD=12AD，点M为AP的中点，连结HM．求证：MH⊥CP．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；点与圆的位置关系．
【专题】几何直观．
【答案】（1），CD、点H即为所求；
（2）过点P作PG⊥HF于G点，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，
则PG∥DH，
∵PD=12AD，
∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，
∵2HF＝AF，
∴AH＝HF，
∴AH＝HF＝2HG，
即G是HF中点，
∴PH＝PF，
∵CP平分∠DCF，PK⊥CH，PE⊥CF，
∴PK＝PE，设∠DCP=∠PCF=12∠DCF=α，则∠KPE＝180°﹣2α，∠CFH＝90°﹣2α，
∴△PHK≌△PFE（HL），
∴∠HPK＝∠EPF，
∴∠HPF＝∠KPE＝180°﹣2α，
∴∠PFG＝α，
在△CPF中，∠CPF＝180°﹣∠PCF﹣∠CFH﹣∠PFH＝90°，即PF⊥CP，
∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF中位线，
∴PF∥MH，
∴MH⊥CP．
【分析】（1）先作垂直AB的直径EF交AB于M，再作垂直直径EF的直径所在直线NO，再以O为圆心，OM为半径画弧交NO于P，再过P作直线NO的垂线，与圆的交点组成的线段即为CD，与AB交点即为H；
（2）先由平行线分线段成比例证明G是HF中点，即可得到MH是△APF中位线，PF∥MH，再依据角平分线作垂直，然后依据全等证明∠CPF＝90°，即PF⊥CP，即可得到MH⊥CP．
【解答】解：（1）如图1，CD、点H即为所求；
（2）过点P作PG⊥HF于G点，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，
则PG∥DH，
∵PD=12AD，
∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，
∵2HF＝AF，
∴AH＝HF，
∴AH＝HF＝2HG，
即G是HF中点，
∴PH＝PF，
∵CP平分∠DCF，PK⊥CH，PE⊥CF，
∴PK＝PE，设∠DCP=∠PCF=12∠DCF=α，则∠KPE＝180°﹣2α，∠CFH＝90°﹣2α，
∴△PHK≌△PFE（HL），
∴∠HPK＝∠EPF，
∴∠HPF＝∠KPE＝180°﹣2α，
∴∠PFG＝α，
在△CPF中，∠CPF＝180°﹣∠PCF﹣∠CFH﹣∠PFH＝90°，即PF⊥CP，
∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF中位线，
∴PF∥MH，
∴MH⊥CP．
【点评】本题考查尺规作图，平行线分线段成比例，掌握中位线的性质等知识点是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y=−12x2+bx交x轴正半轴于点A，过顶点C作CD⊥x轴于点D，OA＝CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若﹣2≤x≤6时，则函数y的取值范围是 ﹣10≤y≤8 ；
（3）点P为CD右侧第一象限抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，点Q为y轴正半轴上一点，连接AQ、HQ，tan∠OHQ=23，PQ延长线交x轴于点B，点N在y轴负半轴上，连接BN、AN，若∠BQA＝135°，∠ANB＝45°，求直线AN的解析式．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；图形的全等；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y=−12x2+4x；
（2）﹣10≤y≤8；
（3）y＝3x﹣24．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据二次函数的图象和性质先求得当﹣2≤x≤6时，函数y的最大值和最小值，即可求得答案；
（3）在BP上取点K，使AK＝QA，过点K作KR⊥x轴于R，可证得△AQO≌△KAR（AAS），得出OA＝KR，OQ＝AR，可得KR＝8，设OQ＝AR＝2m，则OR＝OA+AR＝8+2m，进而可得直线KQ的解析式为y=4−m4+mx+2m，再证得B、Q、A、N四点共圆，可得∠ANO＝∠QBO，tan∠ANO＝tan∠QBO，即可求得N（0，﹣24），再运用待定系数法即可求得答案．
【解答】解：（1）在y=−12x2+bx中，
令y＝0，得−12x2+bx＝0，
解得：x1＝0，x2＝2b，
∴A（2b，0），
∴OA＝CD＝2b，
∴C（b，2b），代入y=−12x2+bx，
得：2b=−12b2+b2，
解得：b＝0（舍去）或b＝4，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+4x；
（2）∵y=−12x2+4x=−12（x﹣4）2+8，
∴抛物线的顶点C（4，8），
当x＝﹣2时，y=−12（﹣2﹣4）2+8＝﹣10，
当x＝6时，y=−12（6﹣4）2+8＝6，
∴当﹣2≤x≤6时，﹣10≤y≤8，
故答案为：﹣10≤y≤8；
（3）如图，在BP上取点K，使AK＝QA，过点K作KR⊥x轴于R，
则∠KQA＝∠AKQ，
∵∠BQA＝135°，
∴∠KQA＝180°﹣∠BQA＝45°＝∠AKQ，
∴∠KAQ＝180°﹣∠KQA﹣∠AKQ＝90°，
∴∠QAO+∠AQO＝∠QAO+∠KAR＝90°，
∴∠AQO＝∠KAR，
在△AQO和△KAR中，
∠AOQ=∠KRA=90°∠AQO=∠KARAQ=AK，
∴△AQO≌△KAR（AAS），
∴OA＝KR，OQ＝AR，
∵A（8，0），
∴OA＝8，
∴KR＝8，
设OQ＝AR＝2m，
则OR＝OA+AR＝8+2m，
∴Q（0，2m），K（8+2m，8），
设直线KQ的解析式为y＝kx+n，
则n=2m(8+2m)k+n=8，
解得：k=4−m4+mn=2m，
∴直线KQ的解析式为y=4−m4+mx+2m，
∵tan∠OHQ=23，
∴OQOH=23，
∴OH=32OQ＝3m，
∴点P的横坐标为3m，且点P为直线KQ与抛物线的交点，
∴4−m4+m×3m+2m=−12×（3m）2+4×3m，
解得：m1＝2，m2=−254（负值舍去），
∴Q（0，4），H（6，0），P（6，0），直线KQ的解析式为y=13x+4，
当y=13x+4＝0时，x＝﹣12，
∴B（﹣12，0），
∴OB＝12，
∵∠BQA＝135°，∠ANB＝45°，
∴∠BQA+∠ANB＝180°，
∴B、Q、A、N四点共圆，
∵QA=QA，
∴∠ANO＝∠QBO，
∴tan∠ANO＝tan∠QBO，
∴OAON=OQOB，即8ON=412，
∴ON＝24，
∴N（0，﹣24），
设直线AN的解析式为y＝k′x+b′，则8k′+b′=0b′=−24，
解得：k′=3b′=−24，
∴直线AN的解析式为y＝3x﹣24．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，四点共圆等知识点，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征等相关知识点是解题的关键．
25．（12分）四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP、BN．
①依题意补全图1；
②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；
AP与BN的数量关系 AP＝BN ，位置关系 AP⊥BN ．
（2）点P在AB的延长线上，且∠APO＝30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线相交于点N，连接CM，若AB＝2，求CM的长．（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）①图形见解答；
②AP＝BN，AP⊥BN；
（2）思路见解答．
【分析】（1）①根据题意作出图形即可．②结论：AP＝BN，AP⊥BN，只要证明△APO≌△BNO即可．
（2）在RT△CMS中，求出SM，SC即可解决问题．
【解答】解：（1）①补全图形如图1所示，
②结论：AP＝BN，AP⊥BN．
理由：延长NB交AP于H，交OP于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，AO⊥BO，
∴∠1+∠2＝90°，
∵四边形OPMN是正方形，
∴OP＝ON，∠PON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△APO和△BNO中，
OA=OB∠1=∠3OP=ON，
∴△APO≌△BNO（SAS），
∴AP＝BN，∠4＝∠5，
在△OKN中，∠5+∠6＝90°，
∵∠7＝∠6，
∴∠4+∠7＝90°，
∴∠PHK＝90°，
∴AP⊥BN；
故答案为：AP＝BN，AP⊥BN；
（2）解题思路如下：
a．首先证明△APO≌△BNO，AP＝BN，∠OPA＝ONB．
b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可知AT＝TB＝1，
c．由∠APO＝30°，可得PT=3，BN＝AP=3+1，可得∠POT＝∠MNS＝60°．
d．由∠POT＝∠MNS＝60°，OP＝MN，
可证，△OTP≌△NSM，
∴PT＝MS=3，
∴CN＝BN﹣BC=3−1，
∴SC＝SN﹣CN＝2−3，
在RT△MSC中，CM2＝MS2+SC2，
∴MC的长可求．
【点评】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用这些知识解决问题．尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量（件）
10
22
15
12
12
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量（件）
10
22
15
12
12
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
男
女
女
女
男
（男，女）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，女）
（女，女）
女
（女，男）
（女，女）
（女，女）
女
（女，男）
（女，女）
（女，女）