2026年北京市初中学业水平数学适应性考试

这是一份2026年北京市初中学业水平数学适应性考试，文件包含2026年3月深圳市蛇口育才教育集团初三一模道法试卷pdf、2026年3月深圳市蛇口育才教育集团初三一模道法试卷答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
1．（2分）下面四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）某种细胞的直径是0.000000905米，将0.000000905米用科学记数法表示为（ ）
A．9.05×10﹣7B．9.05×10﹣8
C．0.905×10﹣7D．905×10﹣8
3．（2分）如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，则∠AOF的度数为（ ）
A．54°B．126°C．36°D．90°
4．（2分）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b
5．（2分）对于实数a，b，c，d，定义运算abcd=ad﹣bc，我们把它叫做二阶行列式，例如：1234=1×4﹣2×3＝﹣2．若有两个相等的实数x，满足kx3x−4x=8，则k的值可以是（ ）
A．916B．20C．202D．2025
6．（2分）如图，有4张大小、形状、背面完全相同的扑克牌，小康和小新玩扑克游戏：小新将这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让小康随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字．小新从中抽取一张，再记下牌面上的数字，则他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为（ ）
A．14B．13C．12D．23
7．（2分）如图，点P为⊙O的直径BA延长线上一点，分别以点O和点P为圆心，AB和PO的长为半径画弧，两弧交于点D，连接OD与⊙O相交于点C，连接CP，BC．若∠ABC＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接CE，过点E作CE的垂线交CB的延长线于点F，交AB于点H，若HE：HF＝2：1，连接AF，则tan∠FAB的值为（ ）
A．421B．15C．310D．16
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）要使分式xx−1有意义，则x应满足的条件是 ．
10．（2分）因式分解：2y3﹣18y＝ ．
11．（2分）关于x的分式方程2x−1=1x+2的解为 ．
12．（2分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为 ．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F，若点E在线段BC的延长线上，F在线段CD的延长线上，FH⊥FC，且FH=62，FD：FC＝1：4，连接BH，M是BH中点，连接GM，AG＝1，BG=22，则GM的值是 ．
14．（2分）如图所示的是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明从中抽出一张，则抽到偶数扑克牌的可能性大小是（其中Q代表12） ．
15．（2分）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则CD的长为 ．
16．（2分）小胜去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解．小胜准备8：30进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计），每个场馆完整参观且只参观一次．
（1）若不考虑专业讲解的情况下，小胜最多可以完整参观 个展馆；
（2）若B，E展馆必须都要参观且能赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出一种符合题意的参观顺序 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：(13)−1+(2023−π)0−|3−1|+2sin60°．
18．（5分）解不等式组：3x−7＞−112x+12＞1．
19．（5分）先化简，再求值：(1a+2+1a−2)÷6a2−4，其中a＝﹣3．
20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，E为边AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，且AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形EFGO的面积．
21．（6分）经过市场调查发现，某商品的售价为每件70元时，每周可卖出300件．为扩大销售、增加盈利，采取降价措施，每降价1元，每周可多卖出15件．若商品的进价为每件40元，售价为多少时每周利润最大？最大利润是多少？
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，0），（0，﹣1）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝kx+b+n（k≠0）的值大于0，直接写出n的取值范围．
23．（5分）11月8日，北京市消防宣传月活动启动仪式在市民中心北广场举行．本次活动以“全民消防，生命至上”为主题，为了解八、九年级学生对消防知识的掌握情况，某校对八年级和九年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出10名同学的成绩进行分析（单位：分）：
八年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10；
九年级：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）综合表中数据，你认为哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由．
（3）若该校八年级有400名学生参加测试，九年级有380名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有多少人？
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是BD的中点，连接AE交BC于点F，当tanC=52，CD＝4时，求AF的值．
25．（5分）道县供港蔬菜基地栽培大棚装有恒温系统，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k；
（2）恒温系统在24小时内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
26．（5分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣5ax+c（a＞0）的图象与x轴交于A、B（A在B左侧），与y轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同．CD＝AC，tan∠OAC=34．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得∠NMO+∠ACO＝90°，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值．
27．（7分）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．D、E分别是边AB、AC上的两个动点，AD＝CE．连结BE、CD，试探究BE+CD的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用B、E、F三点线，将上述问题解决．
【问题解决】如图②，过C点作CF∥AB，且CF＝AC，连结EF；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：△ACD≌△CFE．
（2）BE+CD的最小值为 ．
【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB＝3，∠D＝60°，E、F分别是边AB、AC上的两个动点，AE＝CF．连结BF、CE，则BF+CE的最小值为 ．
【拓展迁移】如图④，在等边△ABC中，CD是高，点E在线段CD上，点F在边AC上，CE＝AF，连结AE，BF，若AB=23，则AE+BF的最小值为 ．
28．（8分）小贺在复习人教版教材九上第83页练习第1题后，进行变式、探究与思考：
如图1，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝8，DE＝2．
（1）复习回顾：可求得AB的长为 ；
（2）探究拓展：如图2，连接AC，点G是BC上一动点，连接AG，延长CG交AB的延长线于点F．
①当点G是BC的中点时，求证：∠GAF＝∠F；
②设CG＝x，CF＝y，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接DF，BG，当△CDF为等腰三角形时，请计算BG的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下面四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得到答案．
【解答】解：A、C、D中的图形不是中心对称图形，故ACD不符合题意；
B、图形是中心对称图形，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．（2分）某种细胞的直径是0.000000905米，将0.000000905米用科学记数法表示为（ ）
A．9.05×10﹣7B．9.05×10﹣8
C．0.905×10﹣7D．905×10﹣8
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000905＝9.05×10﹣7．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠BOE＝36°，则∠AOF的度数为（ ）
A．54°B．126°C．36°D．90°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义以及邻补角、对顶角的定义分别求出图形中的各个角，再根据角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝36°，
∴∠BOD＝2∠BOE＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝108°，
∵OF平分∠COB，
∴∠BOF＝∠COF=12∠BOC＝54°，
∵∠AOC＝∠BOD＝72°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF
＝72°+54°
＝126°．
故选：B．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握角平分线的定义，对顶角相等以及邻补角的定义是正确解答的关键．
4．（2分）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】推理填空题；数据分析观念．
【答案】B
【分析】如图所示，﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜3＜c＜4，|c|＞|a|＞|b|，所以b+c＜3，a﹣c＜0，﹣2a＞﹣2b．
【解答】解：如图所示，﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜3＜c＜4，|c|＞|a|＞|b|，故C不符合题意，
∴b+c＜3，故A不符合题意，
a﹣c＜0，故B符合题意，
﹣2a＞﹣2b，故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，关键是从数轴上提取数学信息．
5．（2分）对于实数a，b，c，d，定义运算abcd=ad﹣bc，我们把它叫做二阶行列式，例如：1234=1×4﹣2×3＝﹣2．若有两个相等的实数x，满足kx3x−4x=8，则k的值可以是（ ）
A．916B．20C．202D．2025
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据新定义，化为一元二次方程，再用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵kx3x−4x=8，
∴kx2﹣3（x﹣4）＝8，
整理得kx2﹣3x+4＝0，
∵有两个相等的实数x，满足kx3x−4x=8，
∴k≠0，Δ＝0，
∴（﹣3）2﹣4•k•4＝0，
解得k=916．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，关键是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系．
6．（2分）如图，有4张大小、形状、背面完全相同的扑克牌，小康和小新玩扑克游戏：小新将这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让小康随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字．小新从中抽取一张，再记下牌面上的数字，则他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为（ ）
A．14B．13C．12D．23
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】D
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小康和小新抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小康和小新抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的结果有8种，
∴他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为812=23，
故选：D．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2分）如图，点P为⊙O的直径BA延长线上一点，分别以点O和点P为圆心，AB和PO的长为半径画弧，两弧交于点D，连接OD与⊙O相交于点C，连接CP，BC．若∠ABC＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；圆周角定理．
【专题】作图题；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】由圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC＝50°，再结合等腰三角形的性质可得答案．
【解答】解：由条件可知∠AOC＝2∠ABC＝50°，
∵PO＝PD，
∴∠D＝∠AOC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接CE，过点E作CE的垂线交CB的延长线于点F，交AB于点H，若HE：HF＝2：1，连接AF，则tan∠FAB的值为（ ）
A．421B．15C．310D．16
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】过点E作BC的垂线，利用正方形性质及垂直关系，通过两次相似三角形的证明，推导出线段FB与正方形边长的比例，最后计算tan∠FAB的值．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，设正方形边长为a，FB＝x，EM＝b．
∵BD是对角线，四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM＝45°，∠ABC＝90°，
∵EM⊥BC，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴∠BME＝∠ABC＝90°＝∠EMC，BM＝EM＝b，MC＝a﹣b．
∴∠CEM+∠ECM＝90°，AB∥EM，
∴△FBH∽△FME，
又∵HE：HF＝2：1，
∴FBFM=FHFE=13，即xx+b=13，得b＝2x．
∵CE⊥FE，
∴∠FEM+∠CEM＝90°，
又∵∠CEM+∠ECM＝90°，
∴∠FME＝∠EMC＝90°，∠FEM＝∠ECM，
∴△FME∽△EMC，
∴FMEM=EMMC，即x+2x2x=2xa−2x，
化简得32=2xa−2x，
解得a=10x3．
在Rt△ABF中，tan∠FAB=FBAB=x10x3=310．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）要使分式xx−1有意义，则x应满足的条件是x≠1 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠1．
【分析】要使分式 xx−1 有意义，则分母x﹣1≠0，进而即可求解．
【解答】解：∵要使分式xx−1有意义，则分母x﹣1≠0，
解得x≠1．
∴则x应满足的条件是x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为零．
10．（2分）因式分解：2y3﹣18y＝ 2y（y+3）（y﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2y（y+3）（y﹣3）．
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝2y（y2﹣9）
＝2y（y+3）（y﹣3），
故答案为：2y（y+3）（y﹣3）．
【点评】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．（2分）关于x的分式方程2x−1=1x+2的解为 x＝﹣5 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣5．
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行解答，最后检验即可．
【解答】解：2x−1=1x+2，
去分母，得：2（x+2）＝x﹣1，
去括号，得：2x+4＝x﹣1，
移项，得：2x﹣x＝﹣1﹣4，
合并同类项，得：x＝﹣5，
检验：当x＝﹣5时，（x﹣1）（x+2）≠0，
∴x＝﹣5是原分式方程的解．
故答案为：x＝﹣5．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤．
12．（2分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为 3225 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】3225．
【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【解答】解：如图，连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=12BP，
∵OQ长的最大值为32，
∴BP长的最大值为2×32=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
解得t＝0（舍）或t=−45，
∴B（−45，−85），
∵点B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，
∴k=−45×（−85）=3225．
故答案为：3225．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F，若点E在线段BC的延长线上，F在线段CD的延长线上，FH⊥FC，且FH=62，FD：FC＝1：4，连接BH，M是BH中点，连接GM，AG＝1，BG=22，则GM的值是 662 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】662．
【分析】取BF的中点N，作CT⊥MN于T，证明△ABG∽△BFC，从而BFAB=BCAG=CFBG，从而得到BF=32，BC=2，BN=12BF=322，NG=22，根据三角形中位线定理可得MN=12FH＝32，BC∥FH∥MN，进而证得△GTN∽△FCB，从而NTBC=GTCF=NGBF，可解得NT=26，GT=23，TM=1726，进而完成解答．
【解答】解：∵BF⊥AE，
∴∠AGB＝90°，
∴AB=AG2+BG2=12+(22)2=3，
如图，取BF的中点N，作CT⊥MN于T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，AB∥CD，CD＝AB＝3，
∴∠BCD＝∠AGB＝90°，∠BFC＝∠ABG，
∴△ABG∽△BFC，
∴BFAB=BCAG=CFBG，
∵FD：FC＝1：4，
∴FD＝1，FC＝4，
∴BF3=BC1=422，
∴BF=32，BC=2，
∴BN=12BF=322，
∴NG＝BG﹣BN＝22−322=22，
∵M是BH的中点，
∴MN=12FH＝32，BC∥FH∥MN，
∴∠GNT＝∠FBC，
∵∠GTN＝∠BCF＝90°，
∴△GTN∽△FCB，
∴NTBC=GTCF=NGBF，
∴NT2=GT4=2232，
∴NT=26，GT=23，
∴TM＝MN﹣NT＝32−26=1726，
∴GM=GT2+TM2=(23)2+(1726)2=662，
故答案为：662．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，掌握以上知识点是解题的关键．
14．（2分）如图所示的是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明从中抽出一张，则抽到偶数扑克牌的可能性大小是（其中Q代表12） 34 ．
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】34．
【分析】用偶数的个数除以数的总个数即为所求的概率．
【解答】解：同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明从中抽出一张，可能会出现3，6，10，Q即12四个数字．每个数字出现的机会相同，即有4个可能结果，而这4个数中有6，10，12三个偶数，则有3种可能，所以抽到偶数的概率是34．
故答案为：34．
【点评】本题考查了几何概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
15．（2分）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则CD的长为 63 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】63．
【分析】连接OC，首先根据题意可求得OB＝OC＝6，OE＝3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，
∴OB＝OC＝6，
∵BE＝3，
∴OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴EC=OC2−OE2=62−32=33，
∴CD=2CE=63．
故答案为：63．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
16．（2分）小胜去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解．小胜准备8：30进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计），每个场馆完整参观且只参观一次．
（1）若不考虑专业讲解的情况下，小胜最多可以完整参观 4 个展馆；
（2）若B，E展馆必须都要参观且能赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出一种符合题意的参观顺序 F→C→B→E ．
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）4；（2）F→C→B→E．
【分析】（1）根据小胜有3.5个小时时间参观，由此判断即可；
（2）根据B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，时间3.5小时可得结论．
【解答】解：（1）准备8：30进科技馆，12：00离开，共有3.5个小时时间参观，
40+30+30+60＝160分钟，40+30+30+60+60＝220分钟＞210分钟，
∴小胜最多可以完整参观4个展馆．
故答案为：4；
（2）根据B、E展馆必须参观，时间为90分钟，
还有120分钟，所以可以选择F和C．
一种符合题意的参观顺序：F→C→B→E．
故答案为：F→C→B→E．
【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是理解题意，学会合理安排．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：(13)−1+(2023−π)0−|3−1|+2sin60°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值4个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：(13)−1+(2023−π)0−|3−1|+2sin60°
＝3+1−3+1+2×32
＝3+1−3+1+3
＝5．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识点的运算．
18．（5分）解不等式组：3x−7＞−112x+12＞1．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＞2．
【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据同大取大确定不等式组的解集．
【解答】解：3x−7＞−1①12x+12＞1②，
解不等式①得x＞2．
解不等式②得x＞1．
∴不等式组的解集是x＞2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．（5分）先化简，再求值：(1a+2+1a−2)÷6a2−4，其中a＝﹣3．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a3；﹣1．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入即可．
【解答】解：原式＝[a−2(a+2)(a−2)+a+2(a+2)(a−2)]•(a+2)(a−2)6
=2a(a+2)(a−2)•(a+2)(a−2)6
=a3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，E为边AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，且AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形EFGO的面积．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）23．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，进而证明OE是△ABC的中位线，得OE∥BC，再证明四边形EFGO是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得到AB＝BC，求得AB＝BC＝AC＝6，∠ABO＝∠OBC＝30°，根据勾股定理得到OB=BC2−OC2=23，根据矩形的性质得到OE∥BC，求得OE=12BC＝2，根据三角形的面积公式得到OG=OB⋅OCBC=23×24=3，求得矩形EFGO的面积＝OE⋅OG=23．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF∥OG，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠ABO＝∠OBC＝30°，
∴OB=BC2−OC2=23，
∵平行四边形EFGO是矩形，
∴OE∥BC，
∵AO＝OC，
∴AE＝BE，
∴OE=12BC＝2，
∴OG=OB⋅OCBC=23×24=3，
∴矩形EFGO的面积＝OE⋅OG=23．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．（6分）经过市场调查发现，某商品的售价为每件70元时，每周可卖出300件．为扩大销售、增加盈利，采取降价措施，每降价1元，每周可多卖出15件．若商品的进价为每件40元，售价为多少时每周利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】售价为65元时，周利润最大，最大利润是9375元．
【分析】依据题意，设这种商品每件降价x元，商场销售这种商品每周的利润为y元，根据每周的利润等于每件的利润乘以销售量，可列出y关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：设这种商品每件降价x元，商场销售这种商品每周的利润为y元，由题意得：
y＝（70﹣40﹣x）（300+15x）
＝﹣15x2+150x+9000
＝﹣15（x﹣5）2+9375，
又∵70﹣x﹣40＞0，且x＞0，
∴0＜x＜30，
∵a＝﹣15＜0，
∴当x＝5时，y有最大值9375，即售价为70﹣5＝65元．
答：售价为65元时，周利润最大，最大利润是9375元．
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，0），（0，﹣1）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝kx+b+n（k≠0）的值大于0，直接写出n的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）这个函数的表达式为y=12x﹣1；
（2）n的取值范围为n≥2．
【分析】（1）把（2，0），（0，﹣1）代入y＝kx+b，根据待定系数法求得即可；
（2）根据已知条件得到不等式，解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，0），（0，﹣1）．
∴2k+b=0b=−1，
解得k=12b=−1，
∴这个函数的表达式为y=12x﹣1；
（2）∵y=12x﹣1+n（k≠0）的值大于0，
∴12x﹣1+n＞0，
解得x＞2﹣2n，
∵x＞﹣2，
∴2﹣2n≤﹣2，
∴n≥2，
∴n的取值范围为n≥2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式与一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．（5分）11月8日，北京市消防宣传月活动启动仪式在市民中心北广场举行．本次活动以“全民消防，生命至上”为主题，为了解八、九年级学生对消防知识的掌握情况，某校对八年级和九年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出10名同学的成绩进行分析（单位：分）：
八年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10；
九年级：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 9 ；
（2）综合表中数据，你认为哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由．
（3）若该校八年级有400名学生参加测试，九年级有380名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有多少人？
【考点】方差；用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）8、9；（2）九年级代表队的学生竞赛成绩更好，理由见解答；（3）270人．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据中位数、众数及方差的意义求解即可；
（3）总人数分别乘以八、九年级优秀人数所占比例，再相加即可．
【解答】解：（1）八年级成绩的中位数a=8+82=8，九年级成绩的众数b＝9，
故答案为：8、9；
（2）九年级代表队的学生竞赛成绩更好，
∵九年级代表队成绩的平均数与八年级相等，而中位数大于八年级，
∴九年级代表队成绩的高分人数比八年级多，
∴九年级代表队的学生竞赛成绩更好（答案不唯一）；
（3）400×210+380×510=270（人），
答：估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有270人．
【点评】本题考查众数、中位数、用样本估计总体，整理测试数据得到两个年级的平均数、中位数和众数并进行分析是解题关键．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是BD的中点，连接AE交BC于点F，当tanC=52，CD＝4时，求AF的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴BA⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．
（2）26．
【分析】（1）根据圆周角定理证明△ADC∽△BAC，得到∠BAC＝∠ADC＝90°，利用切线的判定定理即可得证．
（2）利用锐角三角函数的定义及勾股定理求出AC，利用圆周角定理及勾股定理即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴BA⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△ACD中，tanC=52，CD＝4，
∴ADCD=52，
∴AD＝25，
∴AC=AD2+CD2=6，
∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠CAF＝∠CAD+∠DAE＝∠ABF+∠BAE＝∠AFD，
∴CA＝CF＝6，
∴DF＝CF﹣CD＝2，
在Rt△AFD中，AF=DF2+AD2=26．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定与性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
25．（5分）道县供港蔬菜基地栽培大棚装有恒温系统，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k；
（2）恒温系统在24小时内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】（1）240．（2）保持大棚内温度不低于15℃的时间有15小时．
【分析】（1）直接将点B的坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y＝20，所以计算第一段和BC这段，当y＝15时对应的x值，相减就是结论．
【解答】解：（1）把B（12，20）代入y＝中，
则k＝12×20＝240．
（2）设第一段函数图象的解析式为：y＝mx+n．
把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：n=102m+n=20，
解得：m=5n=10．
∴解析式为：y＝5x+10．
当y＝15时，
15＝5x+10，
解得x＝1．
又令15=240x，
解得x＝16，
∴16﹣1＝15，
答：保持大棚内温度不低于15℃的时间有15小时．
【点评】本题考查了函数的图象，解答的关键是观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
26．（5分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣5ax+c（a＞0）的图象与x轴交于A、B（A在B左侧），与y轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同．CD＝AC，tan∠OAC=34．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得∠NMO+∠ACO＝90°，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）二次函数的表达式为y=112x2−512x﹣3；
（2）满足条件的点N有且只有3个，m的值为−409或859．
【分析】（1）由点D和点C的纵坐标相同，知D和C关于抛物线y＝ax2﹣5ax+c的对称轴直线对称，求出二次函数y＝ax2﹣5ax+c的图象对称轴为直线x=−−5a2a=52，可得CD=52×2＝5＝AC，根据tan∠OAC=34，即可得C（0，﹣3），A（﹣4，0），再用待定系数法可得二次函数的表达式为y=112x2−512x﹣3；
（2）由∠OAC+∠ACO＝90°，∠NMO+∠ACO＝90°，可得∠NMO＝∠OAC，过M作KT∥AC交抛物线于N1，N2，作KT关于x轴的对称直线K'T'交抛物线于N3，N4，画出图形可知∠OAC＝∠N1MO＝∠N3MO，此时满足条件的N有N1，N3两个；求出直线AC解析式为y=−34x﹣3，可得直线KT解析式为y=−34x+34m，直线K'T'解析式为y=34x−34m，当移动M，使直线KT与抛物线y=112x2−512x﹣3只有一个交点时，满足条件的点N有且只有3个，故112x2−512x﹣3=−34x+34m有两个相等的实数解，有（13）2﹣4×112（﹣3−34m）＝0，解得m=−409；当移动M，使直线K'T'与抛物线y=112x2−512x﹣3只有一个交点时，满足条件的点N有且只有3个，同理可得112x2−512x﹣3=34x−34m有两个相等的实数解，m=859．
【解答】解：（1）∵点D和点C的纵坐标相同，
∴D和C关于抛物线y＝ax2﹣5ax+c的对称轴直线对称，
又二次函数y＝ax2﹣5ax+c的图象对称轴为直线x=−−5a2a=52，
∴CD=52×2＝5，
∴AC＝5，
∵tan∠OAC=34，
∴OCOA=34，
设OC＝3m，则OA＝4m，
∵OC2+OA2＝AC2，
∴（3m）2+（4m）2＝52，
解得m＝1（负值已舍去），
∴OC＝3，OA＝4，
∴C（0，﹣3），A（﹣4，0），
把C（0，﹣3），A（﹣4，0）代入y＝ax2﹣5ax+c得：
c=−316a+20a+c=0，
解得a=112c=−3，
∴二次函数的表达式为y=112x2−512x﹣3；
（2）∵∠OAC+∠ACO＝90°，
又∠NMO+∠ACO＝90°，
∴∠NMO＝∠OAC，
过M作KT∥AC交抛物线于N1，N2，作KT关于x轴的对称直线K'T'交抛物线于N3，N4，如图：
由平行线性质知∠N1MO＝∠OAC＝∠N2MB，
由对称性知∠N2MB＝∠N4MB＝∠N3MO，
∴∠OAC＝∠N1MO＝∠N3MO，
此时满足条件的N有N1，N3两个；
由C（0，﹣3），A（﹣4，0）可得直线AC解析式为y=−34x﹣3，
设直线KT解析式为y=−34x+b，将M（m，0）代入得：
0=−34m+b，
∴b=34m，
∴直线KT解析式为y=−34x+34m，
∵直线K'T'与直线KT关于x轴对称，
∴直线K'T'解析式为y=34x−34m，
当移动M，使直线KT与抛物线y=112x2−512x﹣3只有一个交点时，满足条件的点N有且只有3个，如图：
此时112x2−512x﹣3=−34x+34m有两个相等的实数解，即112x2+13x﹣3−34m＝0有两个相等的实数解，
∴Δ＝0，
即（13）2﹣4×112（﹣3−34m）＝0，
解得m=−409；
当移动M，使直线K'T'与抛物线y=112x2−512x﹣3只有一个交点时，满足条件的点N有且只有3个，如图：
同理可得112x2−512x﹣3=34x−34m有两个相等的实数解，
∴（−76）2﹣4×112（﹣3+34m）＝0，
解得m=859；
综上所述，满足条件的点N有且只有3个，m的值为−409或859．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象与系数的关系，直线与抛物线的位置关系等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
27．（7分）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．D、E分别是边AB、AC上的两个动点，AD＝CE．连结BE、CD，试探究BE+CD的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用B、E、F三点线，将上述问题解决．
【问题解决】如图②，过C点作CF∥AB，且CF＝AC，连结EF；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：△ACD≌△CFE．
（2）BE+CD的最小值为 45 ．
【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB＝3，∠D＝60°，E、F分别是边AB、AC上的两个动点，AE＝CF．连结BF、CE，则BF+CE的最小值为 33 ．
【拓展迁移】如图④，在等边△ABC中，CD是高，点E在线段CD上，点F在边AC上，CE＝AF，连结AE，BF，若AB=23，则AE+BF的最小值为 26 ．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】【问题解决】（1）证明见解答过程；（2）45；
【方法运用】33；
【拓展迁移】26．
【分析】【问题解决】（1）过C点作CF∥AB，且CF＝AC，连结EF，则∠CAD＝∠FCE，由此可依据“SAS”判定△ACD和△CFE全等；
（2）连接BF，过点F作FH⊥BA于点H，则∠H＝90°，证明四边形ACFH是正方形得FH＝AH＝AC＝4，则AH＝8，由勾股定理得BF=45，再根据△ACD和△CFE全等得CD＝FE，则BE+CD＝BE+FE，由此得当BE+FE为最小时，BE+CD为最小，根据“两点之间，线段最短”得BE+FE≥BF=45，据此可得BE+CD的最小值；
【方法运用】连接BD交AC于点O，连接DF，证明△ACD和△ABC都是等边三角形得AC＝CD＝3，∠EAC＝∠FCD＝60°，由勾股定理得OD=332，则BD=33，依据“SAS”判定△AEC和△CFD全等得CE＝DF，则BF+CE＝BF+DF，由此得当BF+DF为最小时，BF+CE为最小，根据“两点之间，线段最短”得BF+DF≥BD=33，据此可得BF+CE的最小值；
【拓展迁移】过点A作AP⊥AB，且使AP＝AB，连接PF，PB，根据等边三角形性质得AB＝BC＝AC=23，∠BAC＝60°，CD⊥AB，证明△ABP是等腰直角三角形，由勾股定理得BP=26，再证明∠PAF＝∠ACE＝30°，进而依据“SAS”判定△PAF和△ACE全等得PF＝AE，则AE+BF＝PF+BF，由此得当PF+BF为最小时，AE+BF为最小，根据“两点之间，线段最短”得PF+BF≥BP=26，据此可得AE+BF的最小值．
【解答】【问题解决】（1）证明：过C点作CF∥AB，且CF＝AC，连结EF，如图②﹣1所示：
∴∠CAD＝∠FCE，
在△ACD和△CFE中，
CF=AC∠CAD=∠FCEAD=CE，
∴△ACD≌△CFE（SAS）；
（2）解：连接BF，过点F作FH⊥BA于点H，如图②﹣2所示：
∴∠H＝90°，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠CAD＝∠FCE＝∠H＝90°，
∴四边形ACFH是矩形，
又∵CF＝AC＝4，
∴矩形ACFH是正方形，
∴FH＝AH＝AC＝4，
∴AH＝AB+AH＝8，
在Rt△BHF中，由勾股定理得：BF=AH2+FH2=82+42=45，
∵△ACD≌△CFE，
∴CD＝FE，
∴BE+CD＝BE+FE，
∴当BE+FE为最小时，BE+CD为最小，
根据“两点之间，线段最短”得：BE+FE≥BF=45，
∴当B，E，F共线时，BE+FE为最小，最小值为45，
∴BE+CD的最小值为45，
故答案为：45；
【方法运用】解：连接BD交AC于点O，连接DF，如图③所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，AC⊥BD，OA＝OC，BD＝2OD，
∴△ACD和△ABC都是等边三角形，
∴AC＝CD＝3，∠EAC＝∠FCD＝60°，
∴OA＝OC=12AC=32，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=AD2−OA2=32−(32)2=332，
∴BD＝2OD=2×332=33，
在△AEC和△CFD中，
AE=CF∠EAC=∠FCDAC=CD，
∴△AEC≌△CFD（SAS），
∴CE＝DF，
∴BF+CE＝BF+DF，
∴当BF+DF为最小时，BF+CE为最小，
根据“两点之间，线段最短”得：BF+DF≥BD=33，
∴当B，F，D共线时，BF+DF为最小，最小值为33，
∴BF+CE的最小值为33，
故答案为：33；
【拓展迁移】解：过点A作AP⊥AB，且使AP＝AB，连接PF，PB，如图④所示：
∵△ABC是等边三角形，CD是高，AB=23，
∴AB＝BC＝AC=23，∠BAC＝60°，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，∠ACE＝90°﹣∠BAC＝30°，
∵AP⊥AB，AP＝AB=23，
∴∠BAP＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BP=AB2+AP2=2AB，
∴BP=2×23=26，
∵∠PAF＝∠BAP﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠PAF＝∠ACE＝30°，
在△PAF和△ACE中，
AP=AB∠PAF=∠ACECE=AF，
∴△PAF≌△ACE（SAS），
∴PF＝AE，
∴AE+BF＝PF+BF，
∴当PF+BF为最小时，AE+BF为最小，
根据“两点之间，线段最短”得：PF+BF≥BP=26，
∴当B，F，P共线时，PF+BF为最小，最小值为26，
∴AE+BF的最小值为26，
故答案为：26．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形，菱形的性质，两点之间，线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
28．（8分）小贺在复习人教版教材九上第83页练习第1题后，进行变式、探究与思考：
如图1，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝8，DE＝2．
（1）复习回顾：可求得AB的长为 8 ；
（2）探究拓展：如图2，连接AC，点G是BC上一动点，连接AG，延长CG交AB的延长线于点F．
①当点G是BC的中点时，求证：∠GAF＝∠F；
②设CG＝x，CF＝y，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接DF，BG，当△CDF为等腰三角形时，请计算BG的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AB＝8；
（2）①如图2，点G是BC⌢的中点，连接DG，
∴CG⌢=BG⌢，
∴∠GAF＝∠D，
∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴∠CGD＝∠CEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠DCG＝∠D，
∴∠GAF＝∠F；
②y=80x；理由如下：
在直角三角形ACE中，CE＝8，AE＝4，∠CEA＝90°，
由勾股定理得：AC=AE2+CE2=42+82=45，
∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AC⌢=BC⌢，
∴∠CAF＝∠CGA，
∵∠ACF＝∠GCA，
∴△CAF∽△CGA，
∴ACCG=CFAC，
∵CG＝x，CF＝y，
∴45x=y45，
∴y=80x；
③BG的长为455或43−22．
【分析】（1）先求得⊙O的直径为10，再利用垂径定理求得AE＝BE，在Rt△OAE中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接DG，由点G是BC⌢的中点，推出∠GAF＝∠D，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得AC=45，利用垂径定理得到AC⌢=BC⌢，推出∠CAF＝∠CGA，证明△CAF∽△CGA，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当CF＝CD＝10和DF＝CD＝10时，证明△FGB∽△FAC，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）解：如图1，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝8，DE＝2，连接OA，
∴AE＝BE，CD＝CE+DE＝10，
∴OA=OD=12CD=5，OE＝OD﹣DE＝3，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE=OA2−OE2=52−32=4，
∴AB＝2AE＝8，
故答案为：8；
（2）①证明：如图2，点G是BC⌢的中点，连接DG，
∴CG⌢=BG⌢，
∴∠GAF＝∠D，
∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴∠CGD＝∠CEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠DCG＝∠D，
∴∠GAF＝∠F；
②解：y=80x；理由如下：
在直角三角形ACE中，CE＝8，AE＝4，∠CEA＝90°，
由勾股定理得：AC=AE2+CE2=42+82=45，
∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AC⌢=BC⌢，
∴∠CAF＝∠CGA，
∵∠ACF＝∠GCA，
∴△CAF∽△CGA，
∴ACCG=CFAC，
∵CG＝x，CF＝y，
∴45x=y45，
∴y=80x；
③解：当CF＝CD＝10时，如图3，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=CF2−CE2=102−82=6，
∴BF＝EF﹣BE＝2，
∵∠FGB＝180°﹣∠BGC＝∠FAC，
∴△FGB∽△FAC，
∴BGAC=BFCF，即BG45=210，
解得：BG=455；
当DF＝CD＝10时，如图4，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF=DF2−DE2=102−22=46，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF=CE2+EF2=82+(46)2=410，
∴BF=EF−BE=46−4，
同理△FGB∽△FAC，
∴BGAC=BFCF，即BG45=46−4410，
解得：BG=43−22；
综上所述，BG的长为455或43−22．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．展馆
A
B
C
D
E
F
专业讲解
无
9：30﹣11：00每半小时一场，共3场
无
无
10：00﹣12：00每1小时一场，共2场
无
参观所需时间（分钟）
60
30
40
30
60
80
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
8
a
8
0.8
九年级
8
8.5
b
1.8
展馆
A
B
C
D
E
F
专业讲解
无
9：30﹣11：00每半小时一场，共3场
无
无
10：00﹣12：00每1小时一场，共2场
无
参观所需时间（分钟）
60
30
40
30
60
80
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
8
a
8
0.8
九年级
8
8.5
b
1.8