2026年北京市初中学业水平模拟测试数学试卷

这是一份2026年北京市初中学业水平模拟测试数学试卷，文件包含2026年3月深圳市蛇口育才教育集团初三一模道法试卷pdf、2026年3月深圳市蛇口育才教育集团初三一模道法试卷答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，OA⊥OB，∠COD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的大小为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
3．（2分）麒麟9905G芯片采用了7nm+EUV工艺制程，每个芯片集成了10300000000个晶体管，是世界上第一款晶体管数量超过100亿的移动终端芯片，则60个麒麟9905G芯片的晶体管的总数量用科学记数法表示为（ ）
A．6.18×1011个B．61.8×1010个
C．61.8×1011个D．6.18×1012个
4．（2分）关于x的一元二次方程ax2+x﹣a＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
5．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0B．|a|＜|b|C．a＜﹣bD．ab＞0
6．（2分）数学课上，在讲解概率问题时，李老师拿出两个装有黑白小球的袋子，每个球除颜色外都相同，其中一个袋子里有3个黑球、1个白球，另一个袋子里装有2个黑球、2个白球．若小亮、小莹分别从两个袋子摸出1个球，两人摸出的球都是黑球的概率是（ ）
A．12B．18C．38D．14
7．（2分）如图，以∠AOB的顶点O为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于M，N两点；再分别以点M，N为圆心大于MN长度的一半为半径作弧，两弧交于点P，连接OP．若DP∥OB，DP＝2，∠DOP＝30°，那么点P到OB的距离是（ ）
A．3B．3C．23D．5
8．（2分）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（ ）
A．4SB．3SC．2SD．S
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）分解因式：12x3﹣xy2＝ ．
10．（2分）若二次根式2x+9有意义，则实数x满足的条件是 ．
11．（2分）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象y=kx上．作PA⊥x轴于点A，QC⊥PA交延长线于点C，则△PQC的面积为 ．（用含k的式子表示）
12．（2分）方程43x−1=3x−2的解为 ．
13．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝3∠A，则∠C的度数是 ．
14．（2分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 米．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M，N分别在边AD，BC上．沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF．已知下列判断：
①MN⊥BF；
②△MHN∽△BCF；
③MNBF=34；
④6＜MN＜152．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
16．（2分）某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如表所示：
如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：|−2|+2sin30°−(−3)2+(12)−1+(2−1)0
18．（5分）解不等式x−4x−92≥4，并求出最大的整数解．
19．（5分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1．
20．（6分）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．
（1）请问该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，0），（2，2），
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+2的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
22．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：四边形ACDE是菱形；
（2）连接CE，若AB＝5，tanB＝2，求CE的长．
23．（5分）某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：cm）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．A队学生的身高：
165、167、168、170、170、170、171、172、173、174
b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：167≤x＜169，169≤x＜171，171≤x＜173，173≤x≤175）：
c．B队学生身高的数据在169≤x＜171这一组的是：
169、169、169、170
d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是 （填“A队”或“B队”）；
（3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2．下列推断合理的是 （填序号）．
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2．
24．（6分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，AC=43，求DF的长．
25．（6分）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为S甲、S乙（km）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的路程为 km；
（2）经 小时，甲、乙两人相遇，此时距B地的距离为 km；
（3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180km？
26．（6分）已知：抛物线y＝x2﹣2ax﹣3a，经过（2，﹣3）．
（1）求a的值和函数的对称轴．
（2）若把函数向右平移m（m＞0）个单位长度后图象经过原点，求m的值．
27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝180°﹣2α（0°＜α＜90°），O是BC中点，D在线段OC上（不与O、C重合），点E是△ABD内部一点，AE⊥ED，∠ADE＝∠B．
（1）求∠EAD的大小（用含α的式子表示）；
（2）已知点F是BD的中点，连接EF．用等式表示DC与EF的数量关系，并证明．
28．（7分）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形．
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）
①平行四边形一定不是“等对”四边形；
②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；
③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；
（2）如图1，已知四边形ABCD（AD≠BC）既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在⊙O上，连接四边形的对角线AC，BD交于点P．
①记△ADP，△BCP，四边形ABCD的面积分别为S1，S2，S，求证：S=S1+S2；
②如图2，点M为AB的中点，连接MP并延长交CD于点N，若AD+BC＝m，MN＝n，求⊙O的半径（用含m，n的式子表示）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）如图，OA⊥OB，∠COD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的大小为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【考点】垂线；角的计算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】已知∠COD＝70°，∠BOC＝30°，可得∠BOD的度数，因为OA⊥OB，可得∠AOB＝90°，因为∠AOD＝∠AOB+∠BOD，可得∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠COD＝70°，∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝40°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝130°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线，关键是掌握垂线的性质．
3．（2分）麒麟9905G芯片采用了7nm+EUV工艺制程，每个芯片集成了10300000000个晶体管，是世界上第一款晶体管数量超过100亿的移动终端芯片，则60个麒麟9905G芯片的晶体管的总数量用科学记数法表示为（ ）
A．6.18×1011个B．61.8×1010个
C．61.8×1011个D．6.18×1012个
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】先计算总晶体管数量，再根据科学记数法规则改写，科学记数法形式为a×10n，要求1≤a＜10，n为整数．
【解答】解：根据题意可知，60个芯片的总晶体管数量为：10300000000×60＝618000000000，
618000000000用科学记数法表示为6.18×1011．
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握形式为a×10n，要求1≤a＜10，n为整数是关键．
4．（2分）关于x的一元二次方程ax2+x﹣a＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键．通过计算判别式Δ的值判断根的情况．
【解答】解：由条件可得Δ＝12﹣4•a•（﹣a）＝1+4a2，
∴a≠0，且Δ＝1+4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
5．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0B．|a|＜|b|C．a＜﹣bD．ab＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1＜0＜b，|a|＞|b|，然后根据有理数的加减法则、互为相反数的定义和有理数的乘法法则判断各个选项的正误即可．
【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，a＜﹣b，ab＜0，
∴A，B，D选项中的结论错误，C选项中的结论正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则、互为相反数的定义和有理数的乘法法则．
6．（2分）数学课上，在讲解概率问题时，李老师拿出两个装有黑白小球的袋子，每个球除颜色外都相同，其中一个袋子里有3个黑球、1个白球，另一个袋子里装有2个黑球、2个白球．若小亮、小莹分别从两个袋子摸出1个球，两人摸出的球都是黑球的概率是（ ）
A．12B．18C．38D．14
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人摸出的球都是黑球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有16种等可能的结果，其中两人摸出的球都是黑球的结果有6种，
∴两人摸出的球都是黑球的概率为616=38．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7．（2分）如图，以∠AOB的顶点O为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于M，N两点；再分别以点M，N为圆心大于MN长度的一半为半径作弧，两弧交于点P，连接OP．若DP∥OB，DP＝2，∠DOP＝30°，那么点P到OB的距离是（ ）
A．3B．3C．23D．5
【考点】作图—基本作图；平行线的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】利用基本作图可判断OP平分∠AOB，然后根据平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，以及角平分线的性质求解．
【解答】解：过P作PH⊥OA于H，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵DP∥OB，
∴∠DPO＝∠BOP，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠PDH＝60°，
∴PH＝PD•sin60°=3，
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PC⊥OB，
∴PC＝PH=3，
∴点P到OB的距离是3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．
8．（2分）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（ ）
A．4SB．3SC．2SD．S
【考点】正多边形和圆；图形的剪拼．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】C
【分析】可将正六边形分为6个全等的三角形，阴影部分由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，故此可求得剩余部分的面积．
【解答】解：如图所示：
将正六边形可分为6个全等的三角形，
∵阴影部分的面积为S，
∴每一个三角形的面积为12S，
∵剩余部分可分割为4个三角形，
∴剩余部分的面积为2S．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是图形的剪拼，将正六边形分割为六个全等的三角形是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）分解因式：12x3﹣xy2＝x（23x+y）（23x﹣y） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】x（23x+y）（23x﹣y）．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（23x+y）（23x﹣y）．
故答案为：x（23x+y）（23x﹣y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（2分）若二次根式2x+9有意义，则实数x满足的条件是x≥﹣4.5 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣4.5．
【分析】根据二次根式a（a≥0）可得：2x+9≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：2x+9≥0，
解得：x≥﹣4.5，
故答案为：x≥﹣4.5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2分）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象y=kx上．作PA⊥x轴于点A，QC⊥PA交延长线于点C，则△PQC的面积为 ﹣2k ．（用含k的式子表示）
【考点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】﹣2k．
【分析】先根据题意判断出k的符号，设P（x，y），则Q（﹣x，﹣y），C（x，﹣y），再由k＝xy即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∵点P、Q关于原点对称，且OQ在此函数图象上，
∴设P（x，y），则Q（﹣x，﹣y），k＝xy，
∵PA⊥x轴于点A，QC⊥PA交延长线于点C，
∴C（x，﹣y），
∴CQ＝2|x|＝﹣2x，PC＝2y，
∴△PQC的面积=12CQ•PC=12×（﹣2x）•2y＝﹣2xy＝﹣2k．
故答案为：﹣2k．
【点评】本题考查的是反比例函数图象的对称性，反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数图象是中心对称图形是解题的关键．
12．（2分）方程43x−1=3x−2的解为 x＝﹣1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣1
【分析】方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2）得出4（x﹣2）＝3（3x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：43x−1=3x−2，
方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2），得4（x﹣2）＝3（3x﹣1），
4x﹣8＝9x﹣3，
4x﹣9x＝﹣3+8，
﹣5x＝5，
x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（3x﹣1）（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
13．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝3∠A，则∠C的度数是 135° ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】运算能力．
【答案】135°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补求解即可．
【解答】解：根据圆内接四边形的性质得∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝3∠A，
∴∠C=34×180°=135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
14．（2分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 （103+1.5） 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（103+1.5）．
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，由锐角三角函数的定义求出BE的长，再由BC＝CE+BE即可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，
∴CE＝AD＝1.5米，
在Rt△ABE中，tanα=BEAE=tan30°=33，
∴BE=33AE=33×30＝103（米），
∴BC＝BE+CE＝（103+1.5）米，
答：铁塔的高BC为（103+1.5）米，
故选：（103+1.5）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M，N分别在边AD，BC上．沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF．已知下列判断：
①MN⊥BF；
②△MHN∽△BCF；
③MNBF=34；
④6＜MN＜152．
其中正确的是 ①②③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】连接BD，设BF交MN于点G，由矩形的性质得CD＝AB＝6，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，则BD＝10，可证明四边形ABHM是矩形，则MH＝AB＝6，由折叠得MN垂直平分BF，则MN⊥BF，可判断①正确；由∠MHN＝∠C＝90°，∠HMN＝∠CBF＝90°﹣∠BNM，证明△MHN∽△BCF，可判断②正确；而MNBF=MHBC=34，可判断③正确；因为F在线段CD上，且不与两端点重合，所以MN＞MH，且BF＜BD，则MN＞6，且43MN＜10，所以6＜MN＜152，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BD，设BF交MN于点G，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∴BD=BC2+CD2=82+62=10，
∵MH⊥BC于点H，
∴∠MHN＝∠MHB＝90°，
∵∠A＝∠ABH＝∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝6，
由折叠得点F与点B关于直线MN对称，
∴MN垂直平分BF，
∴MN⊥BF，∠BGN＝90°，
故①正确；
∵∠MHN＝∠C＝90°，∠HMN＝∠CBF＝90°﹣∠BNM，
∴△MHN∽△BCF，
故②正确；
∴MNBF=MHBC=68=34，
故③正确；
∵F在线段CD上，且不与两端点重合，
∴MN＞MH，且BF＜BD，
∴MN＞6，且BF＜10，
∵BF=43MN，
∴MN＞6，且43MN＜10，
∴6＜MN＜152，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，证明△MHN∽△BCF是解题的关键．
16．（2分）某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如表所示：
如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 11000 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 10200 元．
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】11000；10200．
【分析】根据表格数据即可直接得解第一空；
由图表可知，丙的单价最低，要使费用低，则适当的用甲或乙来代替丙，但是不能代替太多，进而枚举求解．
【解答】解：如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，
则总费用为7×800+3×1000+2×1200＝11000元；
由图表可知，丙的单价最低，
若9辆丙，则肯定绰绰有余，
要使费用低，则适当的用甲或乙来代替丙，但是不能代替太多，
即可行的方案有丙8甲1，丙7甲2乙1，丙6乙3，
①丙8甲1：花费1200×8+800＝10600元；
②丙7甲2乙1：花费1200×7+800×2+1000＝11000元；
③丙7乙2：花费1200×7+1000×2＝10400元，
④丙6乙3：花费1200×7+1000×3＝10200元，
通过比较，租车的总费用最低为10200元．
故答案为：11000；10200．
【点评】本题主要考查了推理填空题，正确理解题意和利用枚举法解决问题是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：|−2|+2sin30°−(−3)2+(12)−1+(2−1)0
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：|−2|+2sin30°−(−3)2+(12)−1+(2−1)0
＝2+2×12−3+2+1
＝2+1﹣3+2+1
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（5分）解不等式x−4x−92≥4，并求出最大的整数解．
【考点】一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≤12，不等式的最大整数解为0．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并据此得出最大整数解即可．
【解答】解：由题知，
x−4x−92≥4，
2x﹣（4x﹣9）≥8，
2x﹣4x+9≥8，
2x﹣4x≥8﹣9，
﹣2x≥﹣1，
x≤12，
则不等式的最大整数解为0．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
19．（5分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1．
【考点】整式的混合运算—化简求值；完全平方公式；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】8a2+4ab，原式＝24．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a）
＝4a2+4ab+b2﹣b2+4a2
＝8a2+4ab，
当a＝﹣2，b＝1时，原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1＝8×4+（﹣8）＝32﹣8＝24．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．
（1）请问该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）该车间有男生31人，女生54人；
（2）应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮．
【分析】（1）设该车间有男生x人，有女生y人，根据该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮，根据2个大齿轮与3个小齿轮配套，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人，
根据题意得：x+y=85y=2x−8，
解得：x=31y=54，
答：该车间有男生31人，女生54人；
（2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮，
根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m），
解得：m＝25，
∴85﹣m＝60，
答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，0），（2，2），
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+2的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把两点坐标代入y＝kx+b，可得关于k、b的方程组，解得k、b的值，进而可得函数解析式；
（2）当x＝﹣1时，求出y＝2x﹣2的值，然后根据题意，结合图象，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）把点（1，0），（2，2）代入y＝kx+b得：
k+b=02k+b=2，
解得：k=2b=−2，
故一次函数解析式为：y＝2x﹣2；
（2）把x＝﹣1代入y＝2x﹣2，求得y＝﹣4，
把点（﹣1，﹣4）代入y＝mx+2，得﹣4＝﹣m+2，
解得m＝6，
∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+2的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∴2≤m≤6．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
22．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：四边形ACDE是菱形；
（2）连接CE，若AB＝5，tanB＝2，求CE的长．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）45．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证明四边形ACDE是平行四边形，进而证明CD＝AC，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）设AD与CE交于点F，证明∠FAC＝∠ACB＝∠B，再由菱形的性质得AF＝DF，CF＝EF，AD⊥CE，进而由锐角三角函数定义得CF＝2AF，设AF＝x，则CF＝2x，然后在Rt△AFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴CD＝AC，
∴平行四边形ACDE是菱形；
（2）解：如图，设AD与CE交于点F，
∵AB＝AC＝5，
∴∠B＝∠ACB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB＝∠B，
由（1）可知，四边形ACDE是菱形，
∴AF＝DF，CF＝EF，AD⊥CE，
∴∠AFC＝90°，
∴tan∠FAC=CFAF=tanB＝2，
∴CF＝2AF，
设AF＝x，则CF＝2x，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝52，
解得：x=5，
∴CF＝25，
∴CE＝2CF＝45，
即CE的长为45．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23．（5分）某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：cm）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．A队学生的身高：
165、167、168、170、170、170、171、172、173、174
b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：167≤x＜169，169≤x＜171，171≤x＜173，173≤x≤175）：
c．B队学生身高的数据在169≤x＜171这一组的是：
169、169、169、170
d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是 B队 （填“A队”或“B队”）；
（3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2．下列推断合理的是 ① （填序号）．
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）m＝170，n＝169.5；
（2）B队；
（3）①．
【分析】（1）估计众数和中位数的确定方法即可得到m，n的值；
（2）通过方差比较即可推断A，B两队那个舞台呈现效果更好；
（3）根据平均数和方差公式即可判断出平均数和方差的变化，从而作出判断．
【解答】解：（1）∵A队身高中数据170出现3次，是出现次数最多的数据，
∴m＝170；
∵B队身高由小到大排列，中位数是第5，第6个数据的平均数，
∴中位数是身高在169≤x＜171这一组第3，第4个数据，就169、170的平均数，即（169+170）÷2＝169.5，
∴n＝169.5，
答：m＝170，n＝169.5；
（2）∵A队身高的方差为：6.8，B队身高的方差为：3.4，方差越小，该队舞台呈现效果越好，
∴A，B两队舞台呈现效果更好的是：B队，
故答案为：B队；
（3）已确定3名学生身高的平均数为：（170+170+173）÷3＝171，
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数为：（171×3+171+172）÷5＝171.2，平均数大于171，
5名学生身高的方差为：15×[2×（170﹣171.2）2+（171﹣171.2）2+（172﹣171.2）2+（173﹣171.2）2]＝1.36，方差小于2，
故①推断合理；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数为：（171×3+168+170）÷5＝170.2，平均数小于171，
5名学生身高的方差为：15×[3×（170﹣170.2）2+（168﹣170.2）2+（173﹣170.2）2]＝2.56，方差大于2，
故②推断不合理；
故答案为：①．
【点评】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数，方差，能从统计图中获取数据，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键．
24．（6分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，AC=43，求DF的长．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）433．
【分析】（1）连接OD，角平分线的定义和圆周角定理得到∠AOD＝∠BOD＝90°，再利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得圆的直径，在Rt△ODF中利用直角三角形的边角关系定理和特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∴BD=DA，
∴∠AOD＝∠BOD=12×180°＝90°，
∴DO⊥AB．
∵DF∥AB，
∴OD⊥DF．
∵DF为⊙O的半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BOC＝60°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，
∵cs∠BAC=ACAB，
∴AB=4332=8，
∴OD=12AB＝4，
在Rt△ODF中，
∵tanF=ODDF，
∴DF=43=433．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，圆的切线的判定定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线也是解题的关键．
25．（6分）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为S甲、S乙（km）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的路程为 240 km；
（2）经 2 小时，甲、乙两人相遇，此时距B地的距离为 160 km；
（3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180km？
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观；应用意识．
【答案】（1）240；
（2）2，160；
（3）0.5或4.5h．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到答案；
（2）根据函数图象中的数据利用“速度＝路程÷时间”即可求解求出两人的速度，根据速度、时间、路程之间的关系求解；
（3）分情况讨论，相遇前、相遇后且乙到达终点前、乙到达终点后，列式计算即可求解．
【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地相距240km；
故答案为：240；
（2）甲的速度为240÷6＝40（km/h），乙的速度为240÷3＝80（km/h）；
甲、乙两人相遇时所用时间为：240÷（40+80）＝2（h），
此时距B地的距离为80×2＝160（km），
故答案为：2，160；
（3）设甲出发xh后甲、乙两人相距180km．
分三种情况：
相遇前，（40+80）x＝240﹣180，
解得x＝0.5；
相遇后且乙到达终点前，（40+80）x﹣180＝240，
解得x＝3.5，3.5＞3，不合题意，舍去；
乙到达终点后，40x＝180，
解得x＝4.5；
综上可知，甲出发0.5或4.5h后甲、乙两人相距180km．
【点评】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想和数形结合的思想解答．
26．（6分）已知：抛物线y＝x2﹣2ax﹣3a，经过（2，﹣3）．
（1）求a的值和函数的对称轴．
（2）若把函数向右平移m（m＞0）个单位长度后图象经过原点，求m的值．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）a＝1，函数的对称轴为直线x＝1；
（2）m＝1．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得a的值，得到函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得函数的对称轴；
（2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，将原点坐标代入求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3a经过（2，﹣3），
∴4﹣4a﹣3a＝﹣3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴函数的对称轴为直线x＝1；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
由“左加右减”的法则可知，将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1﹣m）2﹣4．
∵平移后所得新抛物线经过坐标原点，
∴（﹣1﹣m）2﹣4＝0，
解得m＝1（负值舍去）．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟知以上知识是解题的关键．
27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝180°﹣2α（0°＜α＜90°），O是BC中点，D在线段OC上（不与O、C重合），点E是△ABD内部一点，AE⊥ED，∠ADE＝∠B．
（1）求∠EAD的大小（用含α的式子表示）；
（2）已知点F是BD的中点，连接EF．用等式表示DC与EF的数量关系，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；列代数式．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）90°﹣α；
（2）结论：CD＝2EF，理由见解析．
【分析】（1）判断出∠ABC＝∠C＝∠ADE＝α可得结论；
（2）结论：DC＝2EF．延长DE到T，使得ET＝ED，连接BT，AT．证明△TAB≌△DAC（SAS），推出BT＝CD，可得结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝180°﹣2α，
∴∠ABC＝∠C＝α，
∴∠ADE＝∠ABC＝α，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD＝90°﹣α；
（2）结论：DC＝2EF．
理由：延长DE到T，使得ET＝ED，连接BT，AT．
∵AE⊥DT，ED＝ET，
∴∠ATD＝∠ADT＝α，
∴∠TAD＝180°﹣2α，
∵∠BAC＝180°﹣2α，
∴∠TAD＝∠BAC，
∴∠TAB＝∠DAC，
在△TAB和△DAC中，
AT=AD∠TAB=∠DACAB=AC，
∴△TAB≌△DAC（SAS），
∴BT＝CD，
∵BF＝DF，ET＝ED，
∴BT＝2EF，
∴CD＝2EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形．
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）
①平行四边形一定不是“等对”四边形； ×
②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半； √
③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形； √
（2）如图1，已知四边形ABCD（AD≠BC）既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在⊙O上，连接四边形的对角线AC，BD交于点P．
①记△ADP，△BCP，四边形ABCD的面积分别为S1，S2，S，求证：S=S1+S2；
②如图2，点M为AB的中点，连接MP并延长交CD于点N，若AD+BC＝m，MN＝n，求⊙O的半径（用含m，n的式子表示）．
【考点】圆的综合题．
【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①×；②√；③√；
（2）①证明见解答过程；
②R=2m28n．
【分析】（1）根据“等对”四边形，“垂对”四边形的定义逐项判断即可；
（2）①证明∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝∠DBC，可得△ADP，△BCP为等腰直角三角形，设 PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，则S1=12a2，S2=12b2，S=12(a+b)2，故S1+S2=22（a+b），S=22（a+b），从而S=S1+S2；
②连接OA，OB，设 PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，⊙O的半径为R，可得a+b=22m，a2+b2＝AB2＝2R2，求出PM=BM=12AB=22R，ab=2nR−R2，代入（a+b）2＝a2+b2+2ab，有(22m)2=2R2+22nR−2R2，可得：R=2m28n．
【解答】（1）解：①平行四边形可能是“等对”四边形，
故答案为：×；
②对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半，即“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；
故答案为：√；
③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是菱形，因此顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；
故答案为：√；
（2）①证明：∵四边形ABCD是“等对”四边形，
∴AC＝BD，
∴AC=BD，
∴AB=CD，
∴∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝∠DBC，
∵四边形ABCD是“垂对”四边形，
∴AC⊥BD，
∴△ADP，△BCP为等腰直角三角形，
设 PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，则S1=12a2，S2=12b2，S=12(a+b)2，
∴S1+S2=22（a+b），S=22（a+b），
∴S=S1+S2；
②解：如图，连接OA，OB，
由①可知△ADP，△BCP为等腰直角三角形，
设 PA＝PD＝a，PB＝PC＝b，⊙O的半径为R，
∴AD+BC=m=2a+2b，
∴a+b=22m，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴AB=2R，
在Rt△APB中，a2+b2＝AB2＝2R2，
∵M为AB的中点，
∴PM=BM=12AB=22R，
∴∠MBP＝∠MPB，
又∠MPB＝∠DPN，∠BAP＝∠CDP，
∴∠DPN+∠CDP＝∠MBP+∠BAP＝90°，即PN⊥CD，
∴PD•PC＝PN•CD，
而CD＝AB=2R，
∴PN=ab2R，
∴MN=PM+PN=22R+ab2R=n，
∴ab=2nR−R2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴(22m)2=2R2+22nR−2R2，
解得：R=2m28n．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及新定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及应用，三角形面积等，解题的关键是读懂题意，理解“等对”四边形，“垂对”四边形的定义．客车型号
甲
乙
丙
每辆客车载客量/人
25
35
45
每辆客车的租金/元
800
1000
1200
平均数
中位数
众数
方差
A队
170
170
m
6.8
B队
170
n
169
3.4
黑
黑
白
白
黑
（黑，黑）
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，白）
黑
（黑，黑）
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，白）
黑
（黑，黑）
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，白）
白
（白，黑）
（白，黑）
（白，白）
（白，白）
客车型号
甲
乙
丙
每辆客车载客量/人
25
35
45
每辆客车的租金/元
800
1000
1200
平均数
中位数
众数
方差
A队
170
170
m
6.8
B队
170
n
169
3.4