湖南省长沙市雅礼中学2026届高三下学期高考模拟（二）数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2026届高三下学期高考模拟（二）数学试卷含解析（word版+pdf版），共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则 的真子集有
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
【答案】C
【解析】 ,即 ,解得 ,则 ,
可知 ,真子集个数为 .
2. 已知函数 则
A. -3B. C. 3D.
【答案】C
【解析】由题意知 ,则 .
3.已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】向量 ,若 ,则 ,所以 ,
若 ,则 ,解得 或 ,
综上,“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 .
4.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】.
5.从长度为 1,3,5,7,9 的 5 根木棒中随机选择 3 根，则能构成三角形的概率是
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
【答案】A
【解析】从长度为1,3,5,7,9的 5 根木棒中随机选择 3 根,所有的可能有 , ,共有 10 种,能构成三角形的有 ,共 3 种,故概率为 . 3.
6.已知点 到点 的距离为 ,则 的最小值是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
【解析】因为 ,所以点 的轨迹方程为 ,
点 的轨迹方程为 .
因为圆心到直线的距离为 ,
所以 的最小值是 .
7.某海岛核污水中含有多种放射性物质,其中放射性物质 含量非常高,它可以进入生物体内, 还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除. 现已知 的质量 随时间 (年) 的指数衰减规律是: (其中 为 的初始质量). 则当 的质量衰减为最初的 时，所经过的时间约为(参考数据: )
A. 20 年 B. 15 年 C. 12 年 D. 10 年
【答案】D
【解析】设经过的时间为 年,由题意得, ,
所以 ,
所以 .
8.设双曲线 的左焦点为 ，过坐标原点的直线与 交于 ， 两点， ,则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图,设双曲线 的右焦点为 ,连接 .
由双曲线的对称性可得: ,
则四边形 是平行四边形,又因为 ,则 ,
设 ,由双曲线的定义可得 ,
在 中,由余弦定理可得 ,
所以 ,
整理可得 ,解得 或 (舍去),
则 ,
在 中,由余弦定理可得 ,
所以 ,
整理可得 ,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数 ，则下列结论正确的有
A. 的虚部是 B. 的共轭复数是
C. 在复平面内对应的点在第二象限D.
【答案】BD
【解析】已知复数 ，先化简 . 的虚部为 1,不是 ，A 错误;
的共轭复数 , B 正确;
对应复平面内点 ,在第一象限, C 错误;
,所以 , D 正确.
10.已知函数 满足 ,且 ,则
A.
B.
C. 的图象关于点 对称
D. 在区间 上单调递减
【答案】BC
【解析】因为函数 满足 ,
所以 的图象关于直线 对称,
则 ,则 ,
因为 ,所以 ,
所以 错误, 正确;
则 ,即 的图象关于点 对称, 正确;
当 时, ,因为 在区间 上不单调, D 错误.
11.某商场举办有奖摸球活动，盒中有编号为 1 到 10 的 10 个完全相同的小球，每次摸球后不放回， 直到盒中无球为止,记为一轮活动. 规则如下:
第 1 次摸球: 从 10 个球中随机抽取一个;
第 次摸球 : 若在前 次摸球中未出现编号为 的球,则本次直接获得 号球; 否则，从盒中剩余的球中随机抽取一个;
第 10 次摸球: 此时盒中仅剩 1 个球, 直接取出.
若第 10 次摸出的球编号为 10 , 则本轮游戏结束并获奖; 否则, 本轮未获奖, 可继续下一轮活动 (每轮独立,每轮开始时球盒恢复为完整的 1~10 号球). 下列说法正确的是(参考公式:若 ，则 )
A. 若第 1 次摸到 1 号球,则在该轮必能获奖
B. 第 2 次摸到球的编号的期望为
C. 在一轮活动中获奖的概率为
D. 记随机变量 为最终获奖时的活动轮数,则
【答案】ABD
【解析】对于 选项,第 1 次抽到 1 号球,后续 号球全按顺序获得,该轮必能获奖, 正确;
对于 选项,若第 1 次抽到 2 号球,第 2 次从 中随机抽取; 若第 1 次没抽到 2 号球, 则第 2 次获得 2 号球. 第 2 次抽到球的编号的期望为 正确;
对于 选项,一轮摸球活动中获得奖品,需要第 10 次获得 10 号球. 记 为 个球时编号为 的球留到最后的概率.
第 1 次抽到 1 号球,后续 号球全按顺序,成功;
第 1 次抽到 号球,失败;
第 1 次抽到 号球,第 2 至 次获得相应编号小球,第 次从剩余未摸过的 这 个球中随机抽取,此子过程等价于规模为 的原问题,且最大编号是 ,成功概率为 .
从而, ,即 ,即 , 则 ,可得在一轮摸球活动中能够获得奖品的概率为 , C 错误;
对于 选项, ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知数列 满足:对任意的正整数 ，都有 ，且 ，则 ________.
【答案】243
【解析】由题意,令 ,得 ,
令 ,得 ,
令 ,得 .
13.已知 ,若 ,则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,
整理可得 ,
由已知 ,则 ,可得 ,
即 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 时取等号,又 ,所以 时取到最小值 .
14.以 为底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球,并且正三棱锥 的侧面与底面 所成的角为 ，记正三棱锥 和正三棱锥 的体积分别为 和 ，则 ________.
【答案】
【解析】如图,
正三棱锥 和正三棱锥 内接于同一个球,
设 到底面 的距离为 到底面 的距离为 为球心,
则 ,取 的中点 ,连接 ,记 与平面 的交点为 ,
由两个正三棱锥 和 内接于同一个球,故 一定为球 的直径,
由题意可知, 为正三角形 的中心,
因此, 分别为正三棱锥 和正三棱锥 的高 ,
由 ,且 为 的中点,可得 ,
则 为正三棱锥 的侧面与底面 所成的角,为 ,不妨设 ,
所以 ,记球 的半径为 ,于是 ,
在 Rt 中,由勾股定理可得, ,
解得 ,于是 ,
则 ，所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中，内角 的对边分别为 ，且 成等差数列.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的值 .
【解析】(1) 由 成等差数列,
可得 ,
故 ,所以 ,
又 ,所以 ,故 ,
又由 ,可知 ,故 ,所以 .
(另法: 利用 求解)
(2)在 中，由余弦定理得 ，
即 ,故 ,又 ,故 ,
所以
故 .
16.如图所示的几何体由等高的 圆柱和 圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 ， ， ， 四点共面.
(1)证明: 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【解析】(1)因为点 为弧 的中点, 是直径, ,
所以 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,所以 ,
又 平面 .
所以 平面 .
(2)以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设 ，
因为直线 与平面 所成角为 ,所以 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
由 可得 令 ,则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 得 ,令 ,则 ,
则 ,
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
17.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值 ,将该指标大于 的人判定为阳性,小于或等于 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为 ; 误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为 . 假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率 时，求临界值 和误诊率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 [95,105]的最小值.
【解析】
(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ， 所以 ，解得 ，
(2)当 时，
当 时,
故
所以 在区间 上的最小值为 0.02 .
18.已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 时， 恒成立，求实数 的最大值；
(3)设 ， 为数列 的前 项积，求证: .
【解析】(1) 由题意可得 ,
由 ,解得 .
(2)令 ，则 ，
从而 ,
由 ,又 时 ,
则 ,即 ,解得 ,
当 时, ,令 ,
则 ,
从而 在区间 上单调递增,
故当 时, ,则 ,
所以实数 的最大值为 4 .
(3)由题可知 ，其中 ,
由 (2) 可得 ,
从而 ,
则 .
19.已知抛物线 ,过点 的动直线 交抛物线 于 两点, 为原点, .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过动点 作抛物线的切线 ，过点 作切线 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程 ；
(3)在(2)的条件下，设直线 与直线 交于点 ，若动点 满足 ，求直线 的斜率的取值范围.
【解析】(1)设直线 ,
联立 得 ,
则 ,
因为 ,
则 , 故 ,抛物线 的方程为 .
(2)由(1)得抛物线 为 ,
则直线 ,
与直线 联立,得
① ②得 ，代入②得 ，即 ，
故点 的轨迹方程 为 .
(3)设直线 为 ，
联立 得 ,
由( 2 )知， ，
联立 得 ,
由 可知 ,点 在直线 上,
从而 ,
又 ,代入上式可得 ,
即点 在圆 上,
从而直线 的斜率的取值范围是 .