2026年中考数学考前20天冲刺讲义（三）

这是一份2026年中考数学考前20天冲刺讲义（三），文件包含浙江五湖联盟2025-2026学年高一下学期期中联考历史试卷含解析pdf、浙江五湖联盟2025-2026学年高一下学期期中联考历史试卷无答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
➤几何基础……………………………………………………………………………………3
几何基础中考主打点线角、平行线与三角形基础推理计算，分值稳定占5～10分，是几何所有大题的入门基石、必拿满分的送分核心考点。
倒计时9天
➤三角形………………………………………………………………………………………20
三角形中考重点考边角性质、全等相似及特殊三角形计算推理，分值15–25分，是初中几何核心、大题压轴必考的主干基础。
倒计时8天
➤四边形………………………………………………………………………………………36
四边形中考考查平行四边形、矩形菱形正方形的性质判定与几何计算证明，分值约12–20分，是几何中档大题核心、衔接三角形与圆和压轴题的关键必考板块。
倒计时7天
➤圆……………………………………………………………………………………………52
圆主要考查圆周角、切线、弧长扇形面积及圆与几何综合计算证明，中考分值10–18分，是几何中档必考大题、压轴综合高频考点。
倒计时6天
➤图形变换与几何综合………………………………………………………………………70
图形变换与几何综合主要考平移、旋转、折叠、相似拼接及多模型综合推理计算，中考分值15–25分，是中考几何压轴核心、拉开分数的关键重难点板块。
倒计时10天 夯实中考几何基础熟记定理模型、巧用分步推理拆题，稳住细心审题的应试心态就能稳拿基础满分、从容攻克几何大题。
几何基础
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：
中考几何基础命题整体稳中有变，侧重基础概念与简单推理应用，分值稳定在5至10分。考点聚焦点、线、角、相交线、平行线及三角形基础性质，常以选择题、填空题为主，少量融入简单解答题第一问。命题多立足教材本源，不偏不怪，常结合生活实景、图形识别进行角度计算、线段求值、平行线判定与性质应用。既考查对基本定理、公理的熟记程度，又注重简单逻辑推理和图形直观感知能力。该板块是初中几何所有模块的入门根基，命题重在夯实基础、筛选基本功，为后续三角形、四边形、圆及几何综合大题做铺垫，属于中考必拿分、零失误的核心基础板块。
►中考前沿：
中考几何基础命题将坚守立足课本、重基固本的原则，题型仍以选择、填空为主要载体，少量渗透解答题开篇基础小问。考点重点聚焦线段与角度计算、相交线对顶角与邻补角、平行线的性质与判定、三角形三边关系及内角和定理。命题趋势更贴近生活实际情境，结合实物图形、网格图形创设考题，弱化复杂偏难推导，侧重概念辨析、基础计算与简单逻辑推理。同时会加强几何直观考查，融入简单图形识别与规律探究，不设繁琐陷阱，整体难度偏低。该板块依旧是中考送分主干，命题稳定无大波动，重在考查学生基础知识熟练度和审题细心度，是中考必须稳稳拿满的基础得分点。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 立体图形分类与基本概念（简单）
1、常见立体图形
柱体：正方体、长方体、圆柱、三棱柱、四棱柱、n棱柱
锥体：圆锥、三棱锥、四棱锥
球体：球
2、概念区分
多面体：所有面都是平面（正方体、长方体、棱柱、棱锥）
旋转体：由平面图形旋转而成（圆柱、圆锥、球）
棱：两个面相交的线
顶点：棱与棱的交点
面：分为平面、曲面
终极考点2 棱柱与棱锥特征（简单）
1、棱柱
（1）有上下两个全等且平行的底面，侧面都是平行四边形
（2）n棱柱：n个侧面，2个底面，共n+2个面；3n条棱；2n个顶点
2、棱锥
（1）只有一个底面，侧面都是三角形，交于同一个顶点
（2）n棱锥：n个侧面，1个底面，共n+1个面；2n条棱；n+1个顶点
终极考点3 三视图（重点）
1、定义
主视图：从正面看
左视图：从左面看
俯视图：从上面看
2、画图规则
长对正、高平齐、宽相等；看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线。
3、常考题型
（1）给出立体图形，判断三视图
（2）给出三视图，还原立体图形
（3）小正方体堆叠组合，根据三视图数个数、求最多最少块数
（4）判断几何体某视图的形状
终极考点4 立体图形的展开与折叠（重点）
1、正方体展开图 ：共11种，分4类：
“一四—”型(6种)：中间4个正方形，上下各1个；
“一三二”型(3种)：中间3个，上1下2;
“三三”型(1种)：两行各3个；
“二二二”型(1种)：三行各2个。
易错：出现“田”字、“凹”字结构的展开图不能围成正方体。
口诀：一线不过四，田凹不能有，相间是对面，Z端是对面。
2、相对面判断技巧
同行隔一个，异行隔一列；Z字形两端互为相对面。
3、常见几何体展开图
圆柱：侧面展开是长方形，上下底是圆
圆锥：侧面展开是扇形，底面是圆
棱柱展开：两个全等多边形底面+若干长方形侧面
4、题型
判断平面图能否折成正方体、找相对面、求折叠后对应数字/文字。
终极考点5 投影知识（简单）
1、平行投影：太阳光投影，同一时刻物体高度和影长成正比
2、中心投影：灯光、点光源投影，影子离光源越远越长
3、常考：判断平行/中心投影、利用影长求物体高度。
终极考点6 表面积与体积公式（重点）
1、正方体
棱长a
表面积：S=6a2
体积：V=a3
2、长方体
长a、宽b、高h
表面积：S=2(ab+ah+bh)
体积：V=abh
3、圆柱
底面半径r，高h
侧面积：S侧=
表面积：S=
体积：V=
4、圆锥
底面半径r，母线l，高h
侧面积：S侧=
体积：V=
终极考点7 直线、射线、线段（重点）
一、基本概念与区别
1、直线：无端点，向两方无限延伸，不可度量长度。
2、射线：1个端点，向一端无限延伸，不可度量长度。
3、线段：2个端点，不延伸，可以度量长度。
4、表示方法：会用两个大写字母、一个小写字母表示直线、射线、线段；注意射线端点写在前。
二、两大基本公理（中考必考）
1、两点确定一条直线
应用：钉木条、站队、砌墙拉线、确定直线位置等生活题型。
2、两点之间，线段最短
应用：最短路径、修路选址、求最短距离、折线改线段最值题。
三、线段中点
1、定义：把一条线段分成两条相等线段的点。
2、几何关系式：若M是线段AB中点
AM=BM=AB， AB=2AM=2BM
3、考点：利用中点进行线段求值、比例计算。
四、线段的和差计算
1、同一直线上多点排列，求线段总长、分段长度。
2、分情况讨论：点在线段上、点在线段延长线上分类求值（中考易错题）。
3、数轴上两点间距离：右边数减左边数，用线段思想解题。
五、直线交点规律
1、多条直线相交，最多交点个数规律。
2、过同一公共点的多条直线，数直线、射线、线段条数。
终极考点8 角（重点）
一、度分秒换算
进制是60进制：
1读=60'，1'=60''
会做：度化分秒、分秒化度、加减乘除运算。
三、余角、补角（高频考点）
1、互余：两角和为90°
2、互补：两角和为180°
3、重要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等
四、相交线形成的角
1、对顶角：形状像“X”，对顶角相等。
2、邻补角：相邻且拼成平角，和为180°。
3、一条直线分平角、多条直线相交求角度。
五、角平分线
1、定义：把一个角分成两个相等角的射线。
2、常考：结合线段中点、角度综合计算。
终极考点9 相交线中相关求解（重点）
一、特殊角的关系(中考几何核心)
1、互余角定义：若∠α+∠β=90°,则∠α与∠β互余；
性质：同角(等角)的余角相等(如∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3)。
2、互补角定义：若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互补；
性质：同角(等角)的补角相等(如∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,则∠2=∠3)。
3、对顶角定义：两条直线相交形成的，有公共顶点、无公共边的两个角；
性质：对顶角相等(中考直接用，无需证明)。
4、邻补角定义：两条直线相交形成的，有公共顶点、有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；
性质：邻补角互补(和为180°),如∠1与∠2是邻补角，则∠1+∠2=180°。
二、垂线的定义以及性质
1、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角(90°)时，称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号：⊥,读作“垂直于”,如直线a⊥b,垂足为0。
2、垂线的性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(“一点”可在直线上，也可在直线外)
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。(简称：垂线段最短)
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。(注意：距离是长度，是一个数值，不是线段本身)
终极考点10 平行线的性质与判定（重点）
一、平行线的基本概念
1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、符号：平行用“∥”表示，读作“平行于”，如直线a∥b。
3、前提：必须在同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行(异面直线)。
二、平行公理及推论(基础)
1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2、推论(平行线的传递性):如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
符号语言：若a∥b，b ∥c则a∥c。
三、平行线的判定(由“角的关系”推“线的平行”)
判定的核心是三线八角，即两条直线被第三条直线所截，通过角的关系判断平行。
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行
四、平行线的性质(由“线的平行”推“角的关系”)
性质与判定互为逆过程，是中考几何计算与证明的核心工具。
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补
五、平行线间的距离
1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。
2、性质：平行线间的距离处处相等。
真题精研--复盘经典 把握规律
题型一 生活中常见的立体图形
（2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（ ）
A．棱柱B．棱锥C．球体D．圆锥
题型二 从不同方向看几何图形
（2026·河南郑州·一模）把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ）
A． B． C． D．
解题妙法
1、混淆“视图”与“图形本身”
易错点：认为“主视图是立体图形的正面”,忽略视图是平面图形，是投影结果，而非立体图形的某个面。
避坑：视图是正投影，只反映长、宽、高中的两个维度，无厚度、无曲面。
2、忽略“三视图的对应规则”(长对正、高平齐、宽相等)
易错点：画图或判断时，长、宽、高对应混乱，导致视图比例/位置错误。
避坑：牢记口诀——主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等(主视图和俯视图的长一致，主视图和左视图的高一致，俯视图和左视图的宽一致)。
3、误解“看得见与看不见的枝”
易错点：所有棱都画实线，或看不见的棱漏画、画成实线。
规则：看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线（虚线不能省略，否则视图不完整）。
避坑：画图前先判断棱的可见性，复杂图形可先想象“透明立体”，再区分虚实线。
题型三 几何图形的展开图
（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中有个涂有阴影的小正方形，在个涂有阴影的小正方形的外围任意一个小正方形（与阴影部分正方形有一边相连）涂上阴影，使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的概率是（ ）
A．B．C．D．
解题妙法
一、正方体对面判断万能口诀（必背）
1、相间必对面：在同一行（或列）中，间隔一个正方形的两个面，一定是对面。
2、Z端是对面：在展开图中，呈“Z”字形两端的两个面，一定是对面（Z的首尾）。
3、拐角必相邻：三个面形成“L”型拐角，这三个面两两相邻，无对面。
4、排除法：一个面的相邻面有4个，剩下的1个就是对面。
二、避坑提醒（绝对不能错）
1、“田”“凹”型不是正方体展开图：出现“田”字格、“凹”字形的展开图，无法围成正方体，无需找对面。
2、相邻面≠对面：有公共边或公共顶点的面，一定是相邻面，不是对面。
3、一个面只有1个对面：正方体6个面，每个面有4个相邻面、1个唯一对面，找完4个相邻面，剩下的就是对面。
题型四 平面图形旋转后得到的立体图形
（2026·辽宁沈阳·一模）如图，将直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
题型五 截一个几何图形
（2026·山东青岛·一模）如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为（ ）
A．B．C．D．
题型六 用七巧板拼几何图形
（2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________．
题型七 线段的中点
（2026·河南商丘·一模）如图，边长为8的等边三角形，D为的中点，E为的中点，过E作，F为的中点，长为________．
解题妙法
一、六大解题模型妙法
1、倍长中线法（最常用）
适用：三角形有中点、求证线段相等/平行、求边长
口诀：遇中点，延一倍，构造全等三角形
做法：延长中线到一倍长，连端点，证SAS全等，实现边和角转移。
2、中位线定理（秒杀长度、平行）
适用：出现两个中点、求线段长度、证平行
结论：三角形中位线平行第三边，且等于第三边一半。
技巧：题目给多个中点，直接连中位线，秒出比例和平行关系。
3、直角三角形斜边中点模型
必考结论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半
看到Rt△+斜边中点，直接得三条线段相等，秒出等腰三角形，倒角超方便。
4、等腰三角形三线合一
适用：等腰三角形+底边中点
直接用：中点→高→角平分线 三线合一，垂直、平分角直接成立，不用再证。
5、平行线+中点→8字全等模型
适用：一组平行线，中间有线段中点
原理：对顶角+内错角+中点相等，直接AAS/ASA全等，秒得线段相等。
二、中考做题万能思路步骤
1、看见中点先标记；2、单个中点→倍长中线；
3、两个中点→连中位线；4、直角+中点→斜边中线；
5、等腰+底边中点→三线合一；
6、几何复杂→建坐标用中点公式。
题型八 与线段中点有关的动点
（2026·天津滨海新区·一模）四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
题型九 方向角相关计算
（2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向．
(1)的度数为_____；
(2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，）
题型十 角的度量
（2026·广西钦州·模拟预测）若一个角是，则这个角的补角是（ ）
A．B．C．D．
题型十一 与角平分线相关的计算
（2026·广东珠海·一模）如图，已知，，的角平分线与的外角角平分线交于点D，则______度．
题型十二 余角和补角
（2026·湖北黄冈·一模）如图，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，已知点，，则点的坐标是（）
A．B．C．D．
题型十三 相交线及其所成的角
（2026·安徽阜阳·二模）如图，在等腰直角中，，点在边上，，是边上一动点，为内一点，且，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型十四 平行线及其判定
（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型十五 利用平行线的性质与判定证明
（2026·湖南益阳·二模）如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点．
(1)证明：是的切线；
(2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数．
题型十六 平行线的性质定理
（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（ ）
A．B．C．D．
题型十七 平行线性质的应用
（2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．
(1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________；
如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____；
(2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度．
(4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点．
题型十八 平行线之间的距离
（2026·山东济南·一模）如图，在四边形中，，，，，，连接．
(1)求平行线与间的距离；
(2)求的值．（参考数据：，，）
终极预测--压轴实战 稳拿高分
1．（2026·广东东莞·一模）项目学习
【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．
【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
【任务要求】
任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．
任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．
2．（2026·广西南宁·一模）如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在上，延长到点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·广东广州·一模）如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________．
4．（2026·广东阳江·一模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，求的大小．
5．（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形．
(1)如图，连接和交于点，则 ；
(2)如图，连接和，求的值；
(3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·上海·模拟预测）超能市新闻速递：昨日一辆机长80米的客机（编号）在起飞过程中偏离航道，即将撞上正对的一个摩天大楼．据超能航空的斐德文机长回忆技术细节，他当时操纵飞机先朝北偏西方向急升达到最高点，再朝南偏西方向急降，机尾擦到大楼楼顶处着火．之后飞机进行了迫降，无乘客伤亡，有惊无险．斐德文机长获得“荣誉机长”称号．
如图是某人用数学模型粗略还原的新闻中的场景，是垂直于水平地面的大楼，是平行于水平地面的飞机（C是机头），机头仪器显示B点的仰角为．根据现场照片，机尾着火时，机头和紧急操作之前的位置处于同一高度．
(1)根据所给信息在图中作图（不用写答句）．
①用虚线作出机头的粗略移动轨迹（标出必要的角度）；
②设飞机急降结束时机头、机尾的位置分别为，用实线作出线段，表示紧急操作结束时的飞机位置．
(2)如图，此人根据事发现场侧面照推算出，求机头移动轨迹长（取1.73）．
9．（2026·上海静安·二模）我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°．
10．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接．
(1)证明：；
(2)如果，求证：．
倒计时9天 吃透三角形边角关系、几何模型，放平心态不慌不乱，落笔有思路，答题有底气，中考稳拿高分！
三角形
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：
三角形是中考几何核心，占15-25分，覆盖全题型。核心考点：内角和、三边关系、等腰/直角三角形性质、全等（SAS/ASA/AAS/SSS）与相似（A字/8字/一线三等角）判定、中位线、斜边中线及解直角三角形。考情：基础题考角度/边长计算；中档题结合全等、相似及特殊线段；压轴题融合旋转、折叠、动点，常与四边形、圆、函数综合，重逻辑推理与模型识别。心态上，需稳抓基础、熟用模型、规范步骤，以从容心态拆解复杂图形，步步推导。
►中考前沿：
2026年中考三角形命题将基础与能力并重，分值稳定在20分左右。基础题聚焦内角和、特殊三角形性质及简单全等/相似，确保得分；中档题强化解直角三角形实际应用（仰角、坡角），结合网格、折叠情境。压轴题侧重多模型融合，如中点、一线三等角、半角模型，融入旋转、动点，与二次函数、圆综合，考查数形结合与分类讨论。命题更贴近生活，凸显核心素养，备考需吃透模型、精练综合题，保持沉稳心态，灵活转化条件，高效破题。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 三角形的三边关系（重点）
一、核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边
二、取值范围必考公式
已知三角形两边为 a、b（a>b），第三边为 c，a-b < c < a+b，中考填空、选择题高频考点。
三、中考常考题型
1、判断三条线段能否组成三角形：只算较小两边之和是否大于最大边。
2、已知两边，求第三边整数取值、周长取值：先用范围公式，再筛选整数，再算周长范围。
3、等腰三角形分类讨论（易错重灾区）：给两条边长，没说谁是腰、谁是底：
分两种情况讨论，一定要用三边关系检验，舍去不合题意的情况。
4、化简含绝对值代数式：利用三边关系判断式子正负，去绝对值符号，中考常考代数几何结合题。
终极考点2 与三角形相关的角（重点）
一、三角形内角和 = 180°
二、三角形外角性质（中考高频）：三角形的一个外角 = 和它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任意一个不相邻内角；任意三角形外角和 = 360°
三、角平分线相关
1、三角形内角平分线：平分内角，到角两边距离相等
2、内心：三条内角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等
3、内外角平分线夹角模型（必考）- 两内角平分线夹角：90°+顶角；一内一外平分线夹角：顶角
四、特殊三角形角度特征
1、等腰三角形：顶角+2×底角=180°；两底角相等
2. 等边三角形：三个角都是 60°
3. 含30°直角三角形：30°所对直角边 = 斜边的一半
终极考点3 几何常用倒角模型（重点）
1、8字模型（对顶模型）
图形：线段AB、CD相交于点O，构成两个对顶三角形。
原理：利用对顶角相等 + 三角形内角和180°
固定结论：∠A + ∠B = ∠C + ∠D
秒杀用法：不用设方程，直接把左右尖角互换相等，大题小题直接倒角。
2、飞镖模型（凹四边形模型）
图形：点D在△ABC内部凹进去，形成飞镖轮廓。
固定结论：∠BDC =∠A +∠B + ∠C
秒杀用法：看到向内凹的折线角度，直接用外角拆分，套公式一步出结果。
3、三角形内角平分线模型
图形：△ABC中，BP、CP分别平分∠B、∠C，交于点P。
固定结论：∠P = 90°+A
补充变式：一内一外角平分线相交 ∠P = A
4. 一线三等角模型
图形：一条直线上有三个顶点，且有三个角相等（常为90°或等角）。
核心性质：一组角相等 + 余角相等 → 两个三角形两角对应相等；直接证全等或相似。
适用：矩形折叠、坐标系几何、中考压轴动点题，是相似最常用模型。
终极考点4 与三角形高相关的计算（难点）
一、基本概念
1、从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段叫这条边上的高。
2、任意三角形都有三条高。
3、高不一定在三角形内部：
锐角三角形：三条高都在内部；直角三角形：两条直角边互为高，斜边上还有一条高
钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部
二、面积法（中考最常考）
三角形面积两种表达：S=×底×对应高
等积转换核心：同一个三角形，底不同、高不同，面积相等：aha=bhb=c hc
用途：已知一组底和高，求另一边上的高，必考填空、计算题。
三、直角三角形斜边上的高（超级高频考点）
设Rt△ABC，∠C=90°，斜边AB，斜边上高为h
1、面积求高：h=两直角边乘积/斜边
2、射影定理（中考常用）：直角边² = 它在斜边上的射影 × 斜边；高² = 两条射影之积
3、分成的两个小直角三角形和原三角形两两相似。
四、等腰三角形与高
1、等腰三角形底边上的高 → 三线合一：高、中线、顶角平分线重合。
2、已知腰和底，可作高用勾股定理求边长、角度。
3、分类讨论：钝角等腰三角形高在外部，容易漏解。
五、高与勾股定理结合计算
遇高必出直角三角形，常用套路：
1、作高构造Rt△；2、设未知数；3、用勾股定理列方程求解边长、高、周长。
终极考点5 与三角形中线相关的计算（难点）
一、基本定义：连接三角形顶点与对边中点的线段，叫三角形的中线。
每个三角形有三条中线；三条中线交于一点，叫重心；一条中线把三角形分成面积相等的两部分。
二、重心必考性质（中考高频）
1、重心把每条中线分成两段，比例：2:1
顶点到重心 : 重心到中点 = 2:1
2、三条中线将原三角形分成六个面积相等的小三角形；
3、重心与三顶点连线，把原三角形分成三个面积相等的三角形。
三、中线面积核心结论
1、一条中线等分三角形面积；
2、同高等底、同底等高三角形面积相等，常结合中线做面积转化；
3、中点连线、中线搭配，可快速求不规则图形面积。
四、倍长中线模型（中考几何大题必考）
适用场景：题目出现三角形中点、中线，要证相等、平行、求边长。
做法：延长中线至原来两倍长，连接端点，构造8字形全等三角形。
作用：转移边、转移角，把分散条件集中到一个三角形里求解。
五、直角三角形斜边中线（超级重点）
定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半
1、看到 Rt△ + 斜边中点，直接得三条线段相等；
2、自动出现等腰三角形，可直接倒角、求边长；
六、三角形中位线（和中线易混淆，必记）
1、连接两边中点的线段叫中位线，不是中线；
2、中位线平行第三边，长度等于第三边一半；
3、有多个中点，优先用中位线，不用硬证全等。
七、中线公式（知三边求中线长）
已知△ABC三边为 a,b,c，可求任意一边上中线长，中考选择填空可快速求值，大题可用来计算边长。
终极考点6 全等三角形的判定证明（难点）
终极考点7 等腰三角形的性质及判定 （难点）
一、等腰三角形的性质（已知是等腰，能推出什么）
1、边的性质：两腰相等。
2.、角的性质：等边对等角：两腰相等 ⇒ 两底角相等。
3、三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。知其一，必得另外两个。
4、对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
5、角度限制：底角一定是锐角，不能是直角或钝角。
二、等腰三角形的判定（满足什么条件，就是等腰）
1、边判定：有两条边相等的三角形，是等腰三角形。
2、角判定（最常用）：等角对等边：有两个角相等的三角形，是等腰三角形；等角所对的两条边相等。
3：三线合一逆用判定三角形中，若高线、中线、角平分线有两条重合，可判定是等腰三角形。
4、模型秒判（中考高频）：角平分线 + 平行线 ⇒ 必出等腰三角形；折叠图形 ⇒ 常构造等腰三角形
终极考点8 直角三角形的性质 （难点）
一、基本性质：有一个角是90°，另两个锐角互余（和为90°）；两锐角互余，可直接用来倒角求角度。
二、三边核心考点
1、勾股定理
若∠ C=90°，则：a2+b2=c2
已知两边求第三边、求周长、求边长必备。
2、勾股定理逆定理
若三角形三边满足a2+b2=c2，可直接判定这个三角形是直角三角形。
三、两大特殊直角三角形（必考背诵）
1、含30°直角三角形：30°角所对的直角边 = 斜边的一半；三边比：
2、等腰直角三角形（45°、45°、90°）：两直角边相等；三边比：；两锐角都是45°
四、斜边中线定理（中考超级高频）
直角三角形斜边中线 = 斜边的一半
1、斜边中点连顶点，直接分出两个等腰三角形；
2、选择、填空、几何大题可直接套用，不用证明。
五、斜边上的高相关考点
1、面积法求斜边上的高：h=直角边乘积/斜边
2、斜高把原直角三角形分成两个小直角三角形，且三个三角形两两相似。
3、射影定理常用结论：直角边平方=射影×斜边。
六、判定直角三角形四种方法：有一个角是90°；两锐角互余；勾股定理逆定理；三角形一边上的中线等于这条边的一半 ⇒ 是直角三角形。
真题精研--复盘经典 把握规律
题型一 与三角形有关的线段问题
（2026·辽宁·一模）如图，将沿翻折得到，连接交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，的面积为，则的面积为（ ）．
A．B．C．D．
解题妙法
妙法1：遇中点，优先两套套路
1、 一个中点 → 用倍长中线，构造全等，转移线段、转移角；
2、两个中点 → 直接连中位线，平行且等于底边一半，秒得长度和平行关系。
妙法2：求高、求边长，首选面积法
同三角形面积不变：S=×底×对应高
已知一组底和高，就能求任意边上的高，不用复杂全等。
妙法3：直角三角形秒用两大结论
1、斜边中点 → 斜边中线=斜边一半，直接出等腰、倒角、求边长；
2、斜边上求高 → 直接用：高=两直角边乘积÷斜边。
妙法4：角平分线线段题专用口诀
角平分线遇平行，必出等腰三角形；
角平分线上的点，到角两边距离相等，直接证线段相等、求垂线段长度。
通用做题步骤（考场万能）
1、先看图中标注：有没有中点、角平分线、垂直、直角；2、有中点→分1个中点/2个中点，分别用倍长中线、中位线；3、求高、求距离→优先面积法；4、直角→立刻用斜边中线、30°边长结论；
5、角平分线→想距离相等、遇平行构等腰。

题型二 三角形的角平分线
（2025·福建泉州·模拟预测）已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为______．
解题妙法
妙法1：利用「距离相等」秒杀
定理：角平分线上任意一点，到角两边垂线段距离相等。
用法：题目有角平分线 + 作两边垂线 → 直接写线段相等，不用证全等；
求距离、求线段长、证相等，优先用这个。
妙法2：角平分线 + 平行线 → 秒出等腰三角形
图形特征：角平分线 + 一条边平行
结论：自动构成等腰三角形，等边对等角、等角对等边直接用。
妙法3：三类夹角公式 直接口算角度
设三角形顶角为∠A，两平分线交于一点P：
1、两内角平分线相交：∠P=90°+∠A；2、一内一外角平分线相交：∠P=∠ A
3、两外角平分线相交：∠P=90°-∠A
妙法4：角平分线分线段成比例（大题神器）
三角形内角平分线分对边为两条线段，两条线段之比 = 相邻两边之比。
遇求线段比例、求边长，直接列比例式解方程，超快。
妙法5：作垂线、构全等
遇到角平分线常规证明题：过平分线上一点，向角两边作垂线，
构造直角三角形全等，转化边和角，大题通用套路。
题型三 与三角形有关的角
（2026·江苏泰州·一模）如图，中，是边上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型四 全等三角形的性质
（2026·江苏盐城·一模）如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（ ）
A．5B．6C．D．
题型五 三角形全等的判定
1．（2026·江苏南京·一模）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（ ）
A．边长分别为，的正方形
B．边长分别为，的正方形
C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形
D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形
2．（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、；
(1)求证：．
(2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______．
题型六 角平分线的性质与判定
（2026·上海长宁·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足．
(1)求证：．
(2)在中，当时．
①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长．
②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域．
题型七 线段垂直平分线
（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，，为内一点满足，连接，，延长到点，使得．
（1）的长为___________；
（2）若，的长为___________．
解题妙法
一、四大解题妙法
妙法1：见垂直平分线，直接转等边
只要点在线段垂直平分线上，直接写两条线段相等，不用证全等、不用算。
妙法2：构造等腰三角形：线段垂直平分线 → 天然生成等腰三角形
可用：等边对等角、三线合一 快速倒角、算边长。
妙法3：周长秒杀法（中考最爱考）
三角形一边的垂直平分线，交另一边于一点，
三角形周长可直接等量代换，把折线换成定长线段，不用设未知数，直接口算周长。
妙法4：逆判定秒判垂直平分线
题目给：一点到线段两端距离相等
直接下结论：这点在该线段的垂直平分线上，用来证垂直、证中点、证平分线特别好用。
二、做题万能套路
1、题干出现垂直平分线 → 立刻标：两端线段相等；2、求周长 → 用垂直平分线等量替换边长；
3、求角度 → 先出等腰，再用等边对等角倒角；4、要证垂直/中点 → 用“距离相等→在垂直平分线上”逆推。

题型八 等腰三角形的性质
（2026·广东江门·一模）在中，，点P在边上由点A向点C运动（不与点A、C重合），过点P作，交射线于点Q．
(1)如图，若点Q在线段的延长线上，，探索与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图，若点Q在线段上，，，求的长．
(3)如图，若，求在运动过程中线段长度的最小值．
解题妙法
一、五大解题秒杀妙法
妙法1：见两角相等，直接判等腰
题目只要推出两个内角相等，不用证全等，直接下结论：等角对等边，三角形为等腰三角形。
妙法2：角平分线 + 平行线 ⇒ 必出等腰
经典模型口诀：平分遇平行，立马出等腰
出现这两个条件，不用推导，直接判定等腰，得两边相等。
妙法3：折叠、翻折图形 ⇒ 自动构造等腰
中考折叠题必考：折叠前后对应角相等、对应边相等，必能找出一组等角，直接判定等腰三角形。
妙法4：三线合一逆用判定
在一个三角形里：有中线又是高；有角平分线又是高；有角平分线又是中线
只要满足两条重合，立刻判定是等腰三角形。
妙法5：坐标系/网格找点判等腰
平面直角坐标系、网格题：算三边长度，有两边相等 ⇒ 直接判定等腰；
动点存在性问题，按“两腰相等”分类讨论即可。
二、考场通用解题步骤
1、想证等腰，优先找有没有两个角相等；2、有角平分线+平行线，直接秒判等腰；
3、有折叠、对称，先找等角再判定；4、有中线、高、角平分线任意两条重合，直接判定。

题型九 等腰三角形的判定
（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
题型十 直角三角形的性质
（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中 ，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为4
C．的最小值为D．的最小值为6
解题妙法
一、六大解题妙法
妙法1：遇直角，先秒用「两锐角互余」
求角度不用算内角和，直接余角互推，一个角知道，另一个直接90°减，快速倒角。
妙法2：见斜边中点，立马用「斜边中线」：只要是直角三角形 + 斜边中点，直接写中线等于斜边一半，秒出等腰三角形，求边长、求角度一步到位。
妙法3：有30°/45°，直接套特殊边长比
30°直角三角形：三边比 1::2，知一边秒求另外两边。
等腰直角三角形：三边比 1:1:，角度都是45°，直接口算。
妙法4：求斜边上的高，用「面积法秒杀」
不用勾股慢慢列方程：斜边上的高 = \dfrac{两直角边乘积}{斜边}
妙法5：直角三角形相似秒用
斜边上作高，三个直角三角形两两相似，直接用对应边成比例，求线段长、射影类题目秒解。
妙法6：折叠、动点遇直角，优先构Rt△
几何折叠、坐标系动点，先找隐藏直角，构造直角三角形，再用勾股定理列方程求值，万能套路。

题型十一 勾股定理及逆定理
（2026·福建泉州·模拟预测）如图，将沿斜边翻折后点的对应点，点是线段上的动点，且，已知，则线段的最小值为___________．
终极预测--压轴实战 稳拿高分
1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，．
(1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明；
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长；
(3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（ ）
A．8B．10C．12D．18
3．（2026·江苏南京·一模）生活中，“曲柄滑块机构”（如图（1））广泛应用于压缩机、冲床等机械设备中，它由导轨，长度固定的曲柄和长度固定的连杆组成，图（2）是它的示意图．它能将点A的整周转动转换为点B在导轨上的往复移动，其中，点B离点O最远的位置称为“外止点”，记为M；点B离点O最近的位置称为“内止点”，记为N．已知点O，A，B，导轨在同一平面内．
当点B和点M重合时，点A开始逆时针旋转，记旋转角为θ°，当时，点A停止旋转．设，，点O到的距离为c，且．
(1)如图（3），当，即直线经过点O时，若，，则MN的长度是______．
(2)如图（4），当，即直线不经过点O时，求证：．
(3)在点A的旋转过程中，的长度m是θ的函数．
①如图（3），当时，m与θ之间的函数图像（不完整）如图（5），该图像上的点P的纵坐标是，写出点P的横坐标并补全函数图像．
②如图（4），当时，直接写出m的最大值（用含a，b，c的代数式表示），并写出求此时θ的值的思路．
4．（2026·广东深圳·一模）如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______．
5．（2026·安徽芜湖·二模）如图1，在中，于点，点在边上，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)如图2，若，为外一点，且点与点在的异侧，，，求证：．
6．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．面积的最大值为
D．面积的最大值为
7．（2026·安徽阜阳·二模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·山西大同·二模）如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____．
9．（2026·云南昆明·一模）如图，在四边形中，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)如图，过点作的角平分线与的延长线交于点．若，，求的面积．
10．（2026·河南南阳·一模）综合与实践
两个完全一样的直角三角板和按图方式摆放(、、三点在同一条直线上)，．
(1)观察发现
如图1，直线和的位置关系是，连接、，则、、之间的数量关系是；
(2)深入探究
将三角板绕点旋转，当点落在上时，如图．连接，则、、之间的数量关系是，求证：垂直平分；
(3)拓展延伸
在三角板绕点旋转过程中，设直线和相交于点，当点落在直线上时，连接，若，直接写出线段的长度．
倒计时8天 深耕四边形边角性质、折叠动点综合考点，保持沉稳心态，以熟练功底从容拆解图形，中考几何轻松突围！
四边形
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：
四边形是中考几何核心载体，分值约8-12分，题型分层清晰 。基础题（选择/填空）常考多边形内外角和、平行四边形及特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定，侧重边角、对角线关系的直接应用。解答题多为2小问，第一问证平行/全等，第二问结合勾股定理、面积公式计算；压轴题常以四边形为背景，融合折叠、旋转、动点，综合全等、相似与坐标系知识，重点考查逻辑推理与模型转化能力。
►中考前沿：
2026年中考四边形命题将稳中有新，基础考查更灵活，综合题强化素养立意。基础题聚焦特殊四边形判定的灵活组合（如对角线条件），多边形内外角和结合规律探究。中档解答题以菱形、矩形为载体，融合全等证明与线段/面积计算，步骤更简洁。压轴题侧重“动态+变换”，如正方形旋转、矩形折叠、平行四边形存在性问题，结合坐标系与函数，强调分类讨论与逆向推理，突出几何直观与综合应用能力。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 多边形（简单）
终极考点2 平行四边形（重点）
平行四边形性质
平行四边形判定定理
终极考点3 矩形、菱形、正方形的概念及性质（重点）
终极考点4 矩形、菱形、正方形的判定（重点）
真题精研--复盘经典 把握规律
题型一 多边形内角和问题
（2026·新疆乌鲁木齐·二模）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
题型二 多边形外角和问题
（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ）
A．边数为6B．每个外角都等于
C．边长与半径长的比为D．既是轴对称图形也是中心对称图形
题型三 平面镶嵌
（2026·安徽阜阳·二模）【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神．
(1)如图1，在中，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是___________．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是___________．
(2)小徽家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等．
（i）请问两种瓷砖每块各多少元？
（ii）小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？
题型四 平行四边形的性质
1．（2026·浙江·一模）如图，平行四边形，为线段中点，为延长线上一点，连接分别交、于点、点，已知，的面积分别为和，则的面积为（ ）．
A．1B．C．D．2
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角．
解题妙法
一、三大核心秒杀思路
看到平行四边形，立刻抓3条：对边平行、对边相等、对角线互相平分。
2、平行=角相等
只要有一组对边平行，马上用：内错角相等、同位角相等、同旁内角互补，求角度直接秒算。
3、对角线一出，必有全等：平行四边形对角线相交分成4个小三角形，两两全等；
做题求线段长、证线段相等，直接用全等，不用绕弯。
二、必考题型专用妙招
1、求角度：对角相等，邻角互补
2、求周长：周长 = 2×(相邻两边之和)
3、求边长、证线段相等：优先用对边相等，不行就用对角线平分，再不行构造全等三角形。
4、面积计算：面积 = 底 × 对应高
重点：高一定要对着对应的底，别乱配对；同底等高三角形面积是平行四边形的一半。
5、动点、存在性问题妙招
要证是平行四边形，优先用：一组对边平行且相等，最简单最好证；其次用对角线互相平分。
题型五 证明四边形是平行四边形
1．（2026·江苏常州·一模）在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作：
(1)如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______；
(2)老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______；
(3)在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离．
2．（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连结，交于点，若，求的长．
题型六 平行四边形的判定与性质综合
（2026·天津东丽·一模）如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型七 三角形的中位线问题
（2026·江苏宿迁·一模）根据要求完成下列各题：
(1)如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上．
(2)如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值．
(3)如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长．
解题妙法
妙招1：遇中点，连中点，构造中位线
题目只给单个中点，主动取另一边中点、连线，强行构造中位线，立马出平行、出倍数关系。
妙招2：见“一半/两倍”线段长，必用中位线
只要题目求：某线段 = 另一条线段的1/2或 2倍，不用全等、不用勾股，直接中位线秒杀。
妙招3：证平行线，优先中位线
要证两条线平行，不用角相等、不用相似，构造中位线 → 直接得平行，步骤少、不扣分。
妙招4：四边形里遇中点连线，用中位线模型
任意四边形，顺次连接四边中点，所得四边形一定是平行四边形
原理：连对角线，分成两个三角形，各用中位线。
题型八 根据矩形的性质求解线段长、面积等
（2026·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为___________．
解题妙法
矩形综合题万能解题步骤
1、先标：四个角都是90°
2、看对角线：立马用相等、互相平分，找等腰三角形
3、求角：用互余、等腰等边对等角
4、求边长：勾股定理 + 设未知数解方程
5、求面积：长×宽 或 一半模型直接秒杀
题型九 矩形与折叠问题
1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
2．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____．
一、三大解题妙招（考场直接用）
妙招1：遇折叠，先标相等
把折叠后重合的边、角，全部用相同记号标上，
一眼就能看出哪些线段相等、哪些角相等，不用瞎猜。
妙招2：求线段长——设未知数+勾股方程（最常用）
步骤固定：1、设未知线段为 x；2、用折叠全等，把其他边用含 x 的式子表示
3、找直角三角形，用勾股定理列一元一次方程；4、解方程求出边长
中考90%矩形折叠求边长，全靠这一招。
妙招3：求角度——用“90°+折叠等角+平行线内错角”
套路：矩形内角90° → 折叠分出两个等角 → 利用平行线内错角相等 → 直接算出所有角度，不用证全等。
二、矩形折叠常见模型秒杀思路
模型1：沿对角线折叠：必出等腰三角形
平行线+折叠等角 → 等角对等边，直接得线段相等
模型2：向对边顶点折叠
落点在矩形边上，一定构造直角三角形，设x、勾股列方程，标准答案套路
模型3：折到内部一点：利用折叠边长不变，转移线段；多个小直角三角形，连环用勾股代换

题型十 证明四边形是矩形
（2026·安徽亳州·二模）如图，在平行四边形中，，点为的中点，点为边上一点，直线交于点，连接，．则下列结论不成立的是（ ）
A．若四边形为矩形，则B．四边形为平行四边形
C．若，则四边形为菱形D．四边形不可能为正方形
题型十一 根据菱形的性质求解线段长、面积等
（2026·上海黄浦·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N．
(1)求证：；
(2)连接，如果，求的值；
(3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积．
题型十二 证明四边形是菱形
（2026·广东深圳·二模）综合与探究
【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比．
(1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形；
(2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值；
(4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长．
题型十三 根据正方形的性质求解线段长、面积等
（2026·广东珠海·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________．
题型十四 正方形折叠问题
（2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______．
题型十五 证明四边形是正方形
（2026·四川绵阳·一模）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
题型十六 特殊四边形的动点问题
（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解题妙法
妙招1：先设运动时间
设动点运动时间为 t 秒，速度已知，就可以写出：路程 = 速度 × t
妙招2：用含t式子表示所有关键边长
把动点所在线段、剩余线段，全部换成 含t代数式
这是做动点题最关键一步，不会表示线段就做不出来。
妙招3：判定平行四边形优先用最简条件
动点题证平行四边形，首选：
一组对边平行且相等
不用选对角线、不用选两组对边相等，计算最简单、方程最好列。
妙招4：判定矩形、菱形、正方形 固定套路
1、平行四边形 + 一个直角 = 矩形
2、平行四边形 + 一组邻边相等 = 菱形
3、矩形 + 邻边相等 / 菱形 + 一个直角 = 正方形
先证平行四边形，再补一个特殊条件即可。
妙招5：遇直角、求边长，立刻用勾股定理
动点形成直角三角形、垂直问题，直接勾股定理列方程，秒求t的值。
妙招6：范围问题看“动点不超边界”
求t的取值范围：只看动点不能跑出线段端点，算出起点时间、终点时间，就是取值范围。
题型十七 四边形中的线段最值问题
（2026·辽宁阜新·一模）如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______．
题型十八 四边形其他综合问题
（2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形．
【特例感知】
(1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形；
(3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由；
(4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长．
题型十九 梯形的性质及判定
（2026·上海黄浦·一模）如图，在梯形中，，，．
(1)求证：；
(2)求的值．
终极预测--压轴实战 稳拿高分
1．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·安徽阜阳·二模）在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（ ）
A．B．8C．D．9
4．（2026·山东临沂·一模）如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为弧，若，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·山东菏泽·一模）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·上海黄浦·二模）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔．
(1)雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量与的长，如果，那么桌面不是等腰梯形；如果，再继续测量、、与的长，如果，或者，，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形．
其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）；
(2)请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤．
7．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若已知，，求四边形的面积．
倒计时7天 圆的考题看似线条繁杂，实则有规律可循，掌握性质定理、吃透常考模型，以平和心态直面题型，细心审题耐心推演，你一定能突破圆的所有考点，中考稳赢！
圆
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：
圆是中考几何核心，占12-20分，题型覆盖选择、填空、解答压轴。基础题聚焦垂径定理、圆周角与圆心角关系、切线性质、弧长扇形面积计算；中档题常结合全等、相似、勾股定理；压轴题多为圆与特殊四边形、动点、折叠的综合探究。
►中考前沿：
2026年命题将稳基础、强综合、重模型。小题延续基础计算与性质辨析；解答题必考切线证明（连半径证垂直）+线段/面积计算；压轴侧重“圆+相似+动态”，融入定值、最值探究，贴近教材模型，适度结合实际场景，不偏不怪，重点考查逻辑推理与几何直观。备考需熟记定理、吃透辅助线模型，沉稳推演即可稳拿高分。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 与圆有关的概念与性质（简单）
终极考点2 垂径定理及推论（重点）
一、推论（知二推三，高频）
一条直线满足以下5条中任意2条，必满足其余3条：
1、过圆心（直径/半径）；
2、垂直于弦；
3、平分弦（弦不能是直径）；
4、平分弦所对劣弧；
5、平分弦所对优弧。
关键提醒：平分直径的直径不一定垂直，推论必须加“弦非直径”。
二、中考核心考法（全覆盖）
1、基础计算（选择/填空，送分）
模型：半径r、弦心距d、半弦长、拱高h，知二求二。
公式：；h=r±d（圆心与弦同侧减、异侧加）。
2、实际应用（解答题，中档）
背景：拱桥、拱门、管道、隧道等圆弧问题。
步骤：建圆模型→作弦心距→连半径→勾股列方程求解。
3、几何证明（解答/压轴，综合）
证弧相等：垂径定理直接得平分弧；
证线段相等：平分弦+全等/等腰；
证垂直：推论“平分弦（非直径）⇒垂直”；
结合圆周角：垂径得弧等→圆周角等→倒角。
4、综合压轴（圆+相似/勾股/动点）
辅助线：遇弦作弦心距、连半径，构造Rt△是解题关键。
三、必考辅助线模型（条件反射）
1、有弦→过圆心作弦垂线（得弦心距、平分弦、平分弧）；
2、有弧中点→连圆心（垂直平分弦）；
3、求半径/弦长→连半径+作弦心距（Rt△勾股）。
终极考点3 弧、弦、圆心角之间的关系（简单）
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
终极考点4 圆周角定理及推论（重点）
终极考点5 与圆有关的位置关系（重点）
一、点与圆的位置关系
设圆半径为 r，点到圆心距离为 d
1、 d > r → 点在圆外
2、d = r → 点在圆上
3、d < r → 点在圆内
二、直线与圆的位置关系
设圆半径 r，圆心到直线距离 d
1、d > r → 相离，无公共点
2、d = r → 相切，有唯一公共点（切点）
3、d < r → 相交，有两个公共点
三、切线的性质（必背）
1、圆的切线垂直于过切点的半径
2、过圆心且垂直于切线的直线必过切点
3、过切点且垂直于切线的直线必过圆心
解题信号：见切线 → 立刻连圆心和切点，得直角。
四、切线的两种判定方法（解答题高频）
1、有切点，连半径，证垂直：已知点在圆上，连接圆心与该点，证明夹角90°即可。
2、无切点，作垂直，证半径：过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于半径。
五、切线长定理（选择、填空、解答常考）
1、从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
2、圆心和这点的连线平分两条切线的夹角
3、连线垂直平分两切点的连线
六、三角形与圆的位置关系
1、三角形的外接圆
定义：经过三角形三个顶点的圆
圆心：外心，三边垂直平分线交点
性质：外心到三顶点距离相等（都是半径）
直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径=斜边一半
2、三角形的内切圆
定义：与三角形三边都相切的圆
圆心：内心，三条角平分线交点
性质：内心到三边距离相等（都是内切圆半径）
直角三角形内切圆半径公式：r=
七、圆与圆的位置关系（中考选择填空偶尔考）
设两圆半径 R>r，圆心距为 d
外离：d>R+r
外切：d=R+r
相交：R-r