2026届河北省张家口市宣化第一中学高考适应性考试数学试卷含解析

这是一份2026届河北省张家口市宣化第一中学高考适应性考试数学试卷含解析，共20页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )
A．B．C．D．
3．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为 （ ）
A．8B．7C．6D．5
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．6
6．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．134B．67C．182D．108
7．设a=lg73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．84
9．（ ）
A．B．C．D．
10．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．1B．C．3D．4
11．已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A．的图像关于点中心对称B．既是奇函数，又是周期函数
C．的图像关于直线对称D．的最大值是
12．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．+1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________（用数字作答）.
14．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
15．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.
16．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数是自然对数的底数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明:.
18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.
19．（12分）已知正实数满足 .
（1）求 的最小值.
（2）证明：
20．（12分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数）
（1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字）
（2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；
（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.
参考公式：，
参考数据：，，，
21．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.
（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，.
参考数据：
22．（10分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.
（1）求证:平面；
（2）求证:.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．
【详解】
解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC，
正方体的棱长为2，
该几何体的表面积：
．
故选C．
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
2、C
【解析】
由双曲线定义得，，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可建立关系，从而得到渐近线的斜率.
【详解】
根据题意，点P一定在左支上.
由及，得，，
再结合M为的中点，得，
又因为OM是的中位线，又，且，
从而直线与双曲线的左支只有一个交点.
在中.——①
由，得. ——②
由①②，解得，即，则渐近线方程为.
故选：C.
【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
3、B
【解析】
根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）； A（甲，丁）B（丙）C（乙）； A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.
4、B
【解析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，
如图，故其表面积为，
故选：B.
【点睛】
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
5、C
【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，
则，，设
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
，
则

当且仅当时，取等号.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
6、B
【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】
解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
7、D
【解析】
，，得解．
【详解】
，，，所以，故选D
【点睛】
比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．
8、B
【解析】
画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.
【详解】
该几何体的直观图如图所示：
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
9、A
【解析】
分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.
【详解】
解:,
故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
10、A
【解析】
采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.
【详解】
根据三视图可知：该几何体为三棱锥
如图
该几何体为三棱锥，长度如上图
所以
所以
所以
故选：A
【点睛】
本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.
11、D
【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果．
【详解】
解：，正确；
，为奇函数，周期函数，正确；
，正确；
D： ，令，则，，，，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减；
且，，，故D错误．
故选：．
【点睛】
本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．
12、B
【解析】
以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.
【详解】
解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，
联立，取第一象限的解得，
即，则，
整理得，
则（舍去），，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5670
【解析】
根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数.
【详解】
二项展开式一共有项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为.
故答案为：5670
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题.
14、
【解析】
因为sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．
答案：
15、
【解析】
将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.
【详解】
将三棱锥补成长方体，设，，，
设三棱锥的外接球半径为，则，
由勾股定理可得，
上述三个等式全部相加得，，
因此，三棱锥的外接球面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
16、1．
【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为.
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）减区间是，增区间是；（2），证明见解析.
【解析】
（1）当时，求得函数的导函数以及二阶导函数，由此求得的单调区间.
（2）令求得，构造函数，利用导数求得的单调区间、极值和最值，结合有两个极值点，求得的取值范围.将代入列方程组，由证得.
【详解】
（1），
，
又，所以在单增，
从而当时，递减，
当时，递增.
（2）.令，
令，则
故在递增，在递减，
所以.注意到当时，
所以当时，有一个极值点，
当时，有两个极值点，
当时，没有极值点，
综上
因为是的两个极值点，
所以
不妨设，得，
因为在递减，且，
所以
又
所以
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
18、（Ⅰ）直线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为；（Ⅱ）.
【解析】
（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.
【详解】
由
可得直线的直角坐标方程为
由曲线的参数方程，消去参数
可得曲线的普通方程为.
易知点在直线上，直线的参数方程为(为参数).
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.
设是方程的两根，则有.
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.
19、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.
（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.
【详解】
（1）因为 ，所以
因为 ，所以 （当且仅当 ，即 时等号成立），
所以
（2）证明：
因为 ，所以
故 （当且仅当 时，等号成立）
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题.
20、（1）；（2）117人；（3）分布列见解析，
【解析】
（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得关于的线性回归方程；
（2）根据回归直线方程计算公式，计算可得人数；
（3）和被选中的人数分别为2和3，利用超几何分布分布列的计算公式，计算出的分布列，并求得数学期望.
【详解】
（1）由题，
所以线性回归方程为
（若第一问求出 .）
（2）当时，
所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人
（3）由题知和被选中的人数分别为2和3，进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0，1，2
，，
的分布列为
【点睛】
本小题主要考查平均数有关计算，考查回归直线方程的计算，考查期望的计算，考查超几何分布和数据处理能力，属于中档题.
21、（1），；（2）148万亿元.
【解析】
（1）由散点图知更适宜，对两边取自然对数得，令，，，则，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；
（2）将代入所求的回归方程中计算即可.
【详解】
（1）根据数据及图表可以判断，
更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程.
对两边取自然对数得，令，，，得.
因为，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为.
（2）将代入，其中，
于是2020年的全国GDP总量约为：万亿元.
【点睛】
本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.
22、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）通过证明，即可证明线面平行；
（2）通过证明平面，即可证明线线垂直.
【详解】
（1）连，因为为平行四边形，为其中心，所以，为中点，
又因为为中点，所以，
又平面，平面所以，平面；
（2）作于因为平面平面，
平面平面，平面，
所以，平面又平面，
所以又，，
平面，平面所以，平面，又平面，
所以，.
【点睛】
此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.
年份（届）
2014
2015
2016
2017
2018
41
49
55
57
63
82
96
108
106
123
3
26.474
1.903
10
209.76
14.05
4
5
6
7
8
的近似值
55
148
403
1097
2981
0
1
2