湖南岳阳市汨罗市2026届高三下学期学情自测数学试题（含解析）高考模拟

这是一份湖南岳阳市汨罗市2026届高三下学期学情自测数学试题（含解析）高考模拟，共7页。试卷主要包含了 已知，则， 已知函数，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】集合A=x∣x2−4≤0=[−2,2] ，集合，则.
2. 已知复数的虚部为0，则实数（ ）
A. B. C. －2D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】(2+i)(a−i)=(2a+1)+(a−2)i ，虚部，解得．
3. 平行四边形ABCD中，为BC边上的三等分点（靠近点），若以为起点，将向量表示为，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用表示出后可得.
【详解】由平行四边形性质，．为BC上靠近的三等分点，故．
于是，
因此．
4. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【详解】因为，
所以，
而，所以．
5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由面积公式，解得．
由余弦定理，代入，得，即．
于是，所以．
6. 设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由椭圆方程得，焦距，
设，则，若成立，即，
解得或，此时三边为，
满足，故为直角三角形，即；
若成立，即为直角三角形，若直角顶点为，则m2+n2=252=20 ，
结合得，此时成立，若直角顶点为或，则或，
的横坐标为，代入椭圆方程得，此时为43,432+252=143，
mn=569≠8 ，此时不成立，因此成立时不一定成立，即是的充分不必要条件．
7. 已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】已知ax2+x−1(x+1)6展开式中项的系数为35，利用二项式定理(x+1)6=k=06C6kxk，则项的系数为：aC62+C63−C64=35 ．
即15a+20−15=35⇒a=2 ．
8. 已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点x1,x1a，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出k=ax1a−1=ex2,b=(1−a)x1a=ex21−x2，消去得关于的方程ex2a1a−1=a1−a1−x2，两边取自然对数后令u=x2，定义函数F(u)=1a−1(u−lna)−lna1−a(1−u)，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论F(u)=0 的解的个数得出参数范围.
【详解】f'(x)=axa−1，，
设公切线方程为，直线与的图象切于点x1,x1a，与的图象切于点，
则，，，
所以k=ax1a−1=ex2,b=(1−a)x1a=ex21−x2．
即x1a−1=ex2a,x1=ex2a1a−1，由bk=ex21−x2ex2=(1−a)x1aax1a−1，
得1−x2=1−aax1，代入x1=ex2a1a−1，得关于的方程ex2a1a−1=a1−a1−x2．
等式两边取对数得1a−1lnex2a=lna1−a⋅1−x2，
令u=x2，定义函数F(u)=1a−1(u−lna)−lna1−a(1−u)，
其定义域为（当）或（当）．
则F'(u)=1a−1−1−aa(1−u)⋅(−a)1−a=1a−1+11−u=a−u(a−1)(1−u)，
当a∈(0,1),u1,u>1 时，同理可得在处取极小值，
故有唯一极小值点，极小值为F(a)=a(1−lna)a−1．
F(u)=0 的解的个数对应公切线的条数：
若，则F(u)=0 有两个解，即有两条公切线；
若，则有一个解，即一条公切线；
若，则无解，即无公切线．
当时，则，分子（因恒成立），故；
当时，可得，令Fa0>fπ2=sin4π3，C错误．
由，得，即，，而，
所以时，时，故，D正确．
10. 已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（ ）
A. E的方程为
B. 若，则的最小值为4
C. 过作斜率为的直线交于A，B两点，则
D. 上存在两点关于直线对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，设，则，由可列出等式，整理得到的方程为抛物线；B选项，根据抛物线的定义把转为|PM|+d(P,l) ，利用几何知识求解；C选项，联立该直线和的方程求解得到交点，再利用弦长公式计算即可；D选项，通过联立方程得到该直线与抛物线相切，从而不存在两点关于它对称.
【详解】设，则Q(−1,y),QP→=x+1,0,QF→=2,−y,FP→=x−1,y,FQ→=−2,y,
由条件得，整理得，A正确；
根据抛物线的定义，等于点到准线的距离（记为），
因此|PM|+|PF|=|PM|+d(P,l)≥d(M,l)=4 ，当时取等，B正确；
过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，联立方程y2=4xy=3(x−1)
得，解得，则|AB|=1+(3)23−13=163，C正确；
联立方程y2=4xy=x+1得，因为，所以与相切，
故上不存在两点关于直线对称，D错误．
11. 定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（ ）
A. 当时，
B. 若，则是周期函数
C. 实数的取值范围是
D. 不等式的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据奇函数的性质求时的解析式；对于B，当时，，根据周期函数的定义判断；对于C，分段验证，求出的取值范围；对于D，取解不等式.
【详解】已知函数是奇函数，且当时，．
对于A，由奇函数性质可得当时，，故A正确．
对于B，当时，，不是周期函数，故B错误．
对于C，fx=x+2a2,x≤−a2,−x,−a2