2026届河北省石家庄栾城中学高考数学四模试卷含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的展开式中，项的系数为（ ）
A．－23B．17C．20D．63
2．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
3．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为1，输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．设，则"是""的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
8．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知实数满足则的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．0
10．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）

A．B．C．D．
11．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为
A．B．C．D．
12．已知函数,则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按，编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母，的概率为________.
14．已知双曲线的一条渐近线为，且经过抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为______.
15．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论：
①为的重心；
②；
③当时，平面；
④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为.
其中，所有正确结论的序号是________________.
16．函数的值域为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
18．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.
（1）请利用正态分布的知识求；
（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？
附：①；②若；则，，.
19．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：
（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.
（参考公式：（其中）
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O.
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积.
21．（12分）已知.
（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；
（2）试讨论函数零点的个数.
22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为.则
①出，则出，该项为：；
②出，则出，该项为：；
③出，则出，该项为：；
综上所述：合并后的项的系数为17.
故选：B
【点睛】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.
2、B
【解析】
求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
【详解】
当时，，，
，又，所以至少小于7，此时，
令，得，解得或，结合图象，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
3、D
【解析】
可求出集合，，然后进行并集的运算即可．
【详解】
解：，；
．
故选．
【点睛】
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．
4、B
【解析】
根据循环语句，输入，执行循环语句即可计算出结果.
【详解】
输入，由题意执行循环结构程序框图，可得：
第次循环：，，不满足判断条件；
第次循环：，，不满足判断条件；
第次循环：，，满足判断条件；输出结果.
故选：
【点睛】
本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.
5、A
【解析】
根据题意，用表示出与，求出的值即可.
【详解】
解：根据题意，设，则
，
又，
，
，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.
6、A
【解析】
根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.
【详解】
，当时，，充分性；
当，取，验证成立，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
7、A
【解析】
直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.
【详解】
由题意可知直线的方程为,不妨设.
则，且
将代入双曲线方程中，得到
设
则
由，可得，故
则，解得
则
所以双曲线离心率
故选：A
【点睛】
此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.
8、A
【解析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
9、B
【解析】
作出可行域，平移目标直线即可求解.
【详解】
解：作出可行域：
由得，
由图形知，经过点时，其截距最大，此时最大
得，
当时，
故选：B
【点睛】
考查线性规划，是基础题.
10、C
【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
【点睛】
本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.
11、C
【解析】
由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值．
【详解】
解：初始值，，程序运行过程如下表所示：
，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
跳出循环，输出的值为
其中①
②
①—②得
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到，的值是解题的关键，属于基础题．
12、A
【解析】
用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.
【详解】
设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确.
故选：A
【点睛】
本题考查了函数图像的性质，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；
故其概率是
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
设以直线为渐近线的双曲线的方程为，再由双曲线经过抛物线焦点，能求出双曲线方程．
【详解】
解：设以直线为渐近线的双曲线的方程为，
∵双曲线经过抛物线焦点，
∴，
∴双曲线方程为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题．
15、①②③
【解析】
①点在平面内的正投影为点，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于平面，而为正三角形，可得为正三角形的重心，所以①是正确的；
②取的中点，连接，则点在平面的正投影在上，记为，而平面平面，所以，所以②正确；
③若设，则由可得，然后对应边成比例，可解，所以③正确；
④由于，而的面积是定值，所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，而当点与点重合时，点到平面的距离最大，此时为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误.
【详解】
因为，连接，则有平面平面为正三角形，所以为正三角形的中心，也是的重心，所以①正确；
由平面，可知平面平面，记，
由，可得平面平面，则，所以②正确；
若平面，则，设由得，易得，由，则，由得，，解得，所以③正确；
当与重合时，最大，为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误.
故答案为：①②③
【点睛】
此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.
16、
【解析】
利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．
【详解】
由题意，可得，
令，，即，
则，
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
故函数的值域为：．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）将代入函数的解析式，利用导数可得出函数的单调区间；
（2）求函数的导数，分类讨论的范围，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值可判断是否恒成立，可得实数的取值范围．
【详解】
（1）当时，，
则，
当时，，则，此时，函数为减函数；
当时，，则，此时，函数为增函数.
所以，函数的增区间为，减区间为；
（2），则，
.
①当时，即当时，，
由，得，此时，函数为增函数；
由，得，此时，函数为减函数.
则，不合乎题意；
②当时，即时，
.
不妨设，其中，令，则或.
（i）当时，，
当时，，此时，函数为增函数；
当时，，此时，函数为减函数；
当时，，此时，函数为增函数.
此时，
而，
构造函数，，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
即当时，，所以，.
，符合题意；
②当时，，函数在上为增函数，
，符合题意；
③当时，同理可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.
18、（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费
【解析】
（1）根据正态分布的性质可求的值.
（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.
【详解】
（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得
又，，
所以
；
（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，
得10元的情况为低于平均值，概率，
得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，
得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，
得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.
所以变量的分布列为：
某家长获赠话费的期望为.
所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.
【点睛】
本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.
19、（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为.
【解析】
（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）首先确定的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）根据题意及列联表可得完整的列联表如下：
根据公式可得，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，
所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为，
则的可能为1，2，3，且
，，，
其分布列为
.
【点睛】
独立性检验依据的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.
20、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接OE，利用三角形中位线定理得到OE∥PC，即可证出OE∥平面PBC；
（2）由E是PA的中点，，求出S△ABD，即可求解.
【详解】
（1）证明：如图所示：
∵点O，E分别是AC，PA的中点，
∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PC，
又∵OE平面PBC，PC平面PBC，
∴OE∥平面PBC；
（2）解：∵PA＝AB＝4，∴AE＝2，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴S△ABD，
∴三棱锥E﹣PBD的体积
.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.
21、（1）（2）答案不唯一具体见解析
【解析】
（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；
（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，，
，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.
【详解】
解: （1）曲线在点处的切线方程为，即.
令切线与曲线相切于点，则切线方程为，
∴，
∴，
令，则，
记，
于是，在上单调递增，在上单调递减，
∴，于是，.
（2），
①当时，恒成立，在上单调递增，且，
∴函数在上有且仅有一个零点；
②当时，在R上没有零点；
③当时，令，则，即函数的增区间是，
同理，减区间是，
∴.
ⅰ）若，则，在上没有零点；
ⅱ）若，则有且仅有一个零点；
ⅲ）若，则.
，
令，则，
∴当时，单调递增，.
∴
又∵，
∴在R上恰有两个零点，
综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.
22、（1），；（2）
【解析】
（1）先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；
（2）写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出和，利用三角函数的性质求出的最大值.
【详解】
解：（1），，
即极坐标方程为，
，极坐标方程．
（2）由题可知，

，
当时，.
【点睛】
本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.
获赠的随机话费（单位：元）
概率
35岁以下（含35岁）
35岁以上
合计
使用移动支付
40
10
50
不使用移动支付
10
40
50
合计
50
50
100
1
2
3