2026届贵州省湄潭县湄江高级中学高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届贵州省湄潭县湄江高级中学高三第二次调研数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知实数满足则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．12B．C．D．
3．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
5．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知实数满足则的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．0
9．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
11．设是虚数单位，若复数，则（ ）
A．B．C．D．
12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ）
A．96里B．72里C．48里D．24里
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知内角，，的对边分别为，，．，，则_________．
14．如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________.
15．已知数列的各项均为正数，记为数列的前项和，若，，则______.
16．函数过定点________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II）设，若，，成等比数列，求的值．
18．（12分）已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时，求函数在上最小值.
19．（12分）设函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）时，若，，求证：．
20．（12分）已知都是大于零的实数．
（1）证明；
（2）若，证明．
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值.
22．（10分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.
【详解】
由题意得，，
，
，
解得.
故选A.
【点睛】
本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.
2、C
【解析】
过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可.
【详解】
在和中，，所以，则，
过作于，连接，显然，则，且，
又因为，所以平面，
所以，
当最大时，取得最大值，取的中点，则，
所以，
因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，
所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为，
所以最大值为，故的最大值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
3、A
【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.
【详解】
由图像可知，即，
所以，解得，
又，
所以，由，
所以或，
又，
所以，，
所以，，
即，
因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.
4、D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
5、D
【解析】
根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.
【详解】
根据空间向量的线性运算可知
因为,，
则
即，
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
6、C
【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.
【详解】
由双曲线，
则渐近线方程：，
，

连接，则，解得，
所以，解得.
故双曲线方程为.
故选：C
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.
7、A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．
8、B
【解析】
作出可行域，平移目标直线即可求解.
【详解】
解：作出可行域：
由得，
由图形知，经过点时，其截距最大，此时最大
得，
当时，
故选：B
【点睛】
考查线性规划，是基础题.
9、D
【解析】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.
【详解】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.
故，，.
故，故，.
故选：.
【点睛】
本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
10、C
【解析】
可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.
【详解】
解：因为，即，又，
设，根据条件，，；
若，，且，则：；
在上是减函数；
；
；
在上是增函数；
所以，
故选：C
【点睛】
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.
11、A
【解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可
【详解】
∵复数，∴，，则，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题
12、B
【解析】
人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案.
【详解】
由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，
则，解得，从而可得，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】
由正弦定理得，
，．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.
14、
【解析】
建系，设设，由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.
【详解】
以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则
，
所以，，由，
得，即，又，所以
，故,,
所以.
故答案为：2
【点睛】
本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
15、63
【解析】
对进行化简，可得，再根据等比数列前项和公式进行求解即可
【详解】
由
数列为首项为，公比的等比数列，
所以63
【点睛】
本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质
16、
【解析】
令，，与参数无关，即可得到定点.
【详解】
由指数函数的性质，可得，函数值与参数无关，
所有过定点.
故答案为：
【点睛】
此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I），；（II）.
【解析】
（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】
（I）曲线：，两边同时乘以
可得，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得 即
可得
即
解得
【点睛】
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
18、 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是
【解析】
（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．
【详解】
函数的定义域 为．
因为，令，可得；
当时，；当时，，
综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为
当，即时，函数在区间上是减函数，
的最小值是
当，即时，函数在区间上是增函数，
的最小值是
当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．
又，
当时，的最小值是；
当时，的最小值为
综上所述，结论为当时，函数的最小值是；
当时，函数的最小值是.
【点睛】
求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；
（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.
【详解】
（1），令，
则，令得，
当时，则在单调递减，
当时，则在单调递增，
所以，
当时，，即，则在上单调递增，
当时，，
易知当时，，
当时，，
由零点存在性定理知，，不妨设，使得，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以在和上单调递增，在单调递减；
（2）证明：构造函数，，
，，
整理得，
，
（当时等号成立），
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，，
这里不妨设，欲证，
即证由（1）知时，在上单调递增，
则需证，
由已知有，
只需证，
即证，
由在上单调递增，且时，
有，
故成立，从而得证.
【点睛】
本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.
20、（1）答案见解析．（2）答案见解析
【解析】
（1）利用基本不等式可得，两式相加即可求解.
（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.
【详解】
（1）
两式相加得
（2）由（1）知
于是，
．
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.
21、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）的取值范围是；对应的的值为.
【解析】
（1）当时，求的导数可得函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，利用导函数，可得的范围，再表达，构造新函数可求的取值范围，从而可求取到最小值时所对应的的值．
【详解】
（1）函数
由条件得函数的定义域：，
当时，，
所以：，
时，，
当时，，当，时，，
则函数的单调增区间为：，单调递减区间为：，；
（2）由条件得：，，
由条件得有两根：，，满足，
△，可得：或；
由，可得：．
，
函数的对称轴为，，
所以：，；
，可得：，
，
，则：，
所以：；
所以：，
令，，，
则，
因为：时，，所以：在，上是单调递减，在，上单调递增，
因为：，（1），，（1），
所以，；
即的取值范围是：，；
，所以有，
则，；
所以当取到最小值时所对应的的值为；
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．
22、（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域.
【详解】
（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；
由③得，，，；
若①②成立，则，，，
若①③成立，则，，不合题意，
若②③成立，则，，
与③中的矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，，
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.