2026届广东云浮一中高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广东云浮一中高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知双曲线，已知，则，不可能满足的关系是，若，则，“是函数在区间内单调递增”的等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．若实数、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ）
A．B．3C．1D．
4．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
5．已知，则，不可能满足的关系是（）
A．B．C．D．
6．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．“是函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的单调递增区间为( )
A．B．
C．D．
10．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( )
A．B．C．D．
11．已知命题：，，则为( )
A．，B．，
C．，D．，
12．已知集合,则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______.
14．如图，直线是曲线在处的切线，则________.
15．展开式中的系数的和大于8而小于32，则______．
16．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350
乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.
（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；
（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
18．（12分）已知抛物线C:x24py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
（1）求点G的轨迹方程；
（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.
19．（12分）若数列前n项和为，且满足（t为常数，且）
（1）求数列的通项公式：
（2）设，且数列为等比数列，令，.求证：.
20．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
21．（12分）若正数满足，求的最小值.
22．（10分）已知，且的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
2、D
【解析】
根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，得，可得点，
由得，平移直线，
当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，
此时取最小值，即.
故选：D.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
3、D
【解析】
整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.
【详解】
由题,,
因为纯虚数,所以,则,
故选:D
【点睛】
本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.
4、D
【解析】
由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直线的斜率.
【详解】
双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①
由，得
∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，
∴y1+y2＝②，y1y2＝③，
联立①②得，联立①③得，
，即：，，解得：，直线的斜率为，
故选D．
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．
5、C
【解析】
根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．
【详解】
∵；
∴，；
∴，，故正确；
，故C错误；
∵
，故D正确
故C．
【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题
6、C
【解析】
首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．
【详解】
取中点，由，可知：，
为三棱锥外接球球心，
过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，
，，，为的中点
由球的性质可知：平面，，且．
设，
，，
，在中，，
即，解得：，
三棱锥的外接球的半径为：，
三棱锥外接球的表面积为．
故选：.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.
7、B
【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.
【详解】
因为，由诱导公式得，所以 .
故选B
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.
8、C
【解析】
，令解得
当，的图像如下图
当，的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
9、D
【解析】
先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式，从而得出的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间，可得选项.
【详解】
因为函数的最小正周期是，所以，即，所以，
的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为，
由于其图象关于轴对称，所以，又，所以，所以，
所以，
因为的递增区间是：，，
由，，得：，，
所以函数的单调递增区间为（）.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.
10、C
【解析】
求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得
【详解】
抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.
11、C
【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.
【详解】
全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，，
.
故选：.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
12、B
【解析】
计算，再计算交集得到答案
【详解】
,表示偶数，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求出向量和夹角的余弦值，再由公式即得.
【详解】
如图，过点作的平行线交于点，那么向量和夹角为，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量和的夹角.
14、.
【解析】
求出切线的斜率，即可求出结论.
【详解】
由图可知直线过点，
可求出直线的斜率，
由导数的几何意义可知，.
故答案为:.
【点睛】
本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.
15、4
【解析】
由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.
【详解】
观察式子可知
，，
故答案为：4.
【点睛】
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.
16、
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长．
【详解】
抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，
所以弦长．
【点睛】
本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）
【解析】
（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；
（2）由题意能求出的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；
（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【详解】
解：（1）由题意知
甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为
.
众数为330.
（2）设乙公司员工1天的投递件数为随机变量，则
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
的分布列为
（元）；
（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元)
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元).
【点睛】
本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.
18、（1）（2）当G点横坐标为整数时，S不是整数．
【解析】
（1）先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；
（2）先求解弦长，再分别求解点到直线的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断.
【详解】
（1）设，则，
抛物线C的方程可化为，则，
所以曲线C在点A处的切线方程为，
在点B处的切线方程为，
因为两切线均过点G，所以，
所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，
又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为；
（2）设点G(，)，由（1）可知，直线AB的方程为，
即，
将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，
所以，，解得，
因为直线AB的斜率，所以，
且，
线段AB的中点为M，
所以直线EM的方程为：，
所以E点坐标为(0，)，
直线AB的方程整理得，
则G到AB的距离，
则E到AB的距离，
所以，
设，因为p是质数，且为整数，所以或，
当时，，是无理数，不符题意，
当时，，
因为当时，，即是无理数，所以不符题意，
当时，是无理数，不符题意，
综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
19、（1）（2）详见解析
【解析】
（1）利用可得的递推关系，从而可求其通项.
（2）由为等比数列可得，从而可得的通项，利用错位相减法可得的前项和，利用不等式的性质可证.
【详解】
（1）由题意，得：（t为常数，且），
当时，得，得.
由，
故，，故.
（2）由，
由为等比数列可知：，又，故
，化简得到，
所以或（舍）.
所以，，则.
设的前n项和为.则
，相减可得
【点睛】
数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量与平面的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.
【详解】
（1）证明：连接，由平行且相等，可知四边形为平行四边形，所以.
由题意易知，，所以，，
因为，所以平面，
又平面，所以.
（2）设，，由已知可得：平面平面，
所以，同理可得：，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，为的中点，所以平行且相等，从而平面，
又，所以，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，
，，由平面几何知识，得.
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由，可得，
令，则，，所以.同理，平面的一个法向量为.
设平面与平面所成角为，
则，所以.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题.
21、
【解析】
试题分析：由柯西不等式得，所以
试题解析：因为均为正数，且，
所以．
于是由均值不等式可知
，
当且仅当时，上式等号成立．
从而．
故的最小值为．此时．
考点：柯西不等式
22、（1），；（2）
【解析】
（1）解绝对值不等式得，根据不等式的解集为列出方程组，解出即可；（2）求出的图像与直线及交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等式即可.
【详解】
（1）由得：，，
即，解得，.
（2）的图像与直线及围成的四边形，，，，.
过点向引垂线，垂足为，则.
化简得：，（舍）或.
故的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题.
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