2026届广西柳江中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广西柳江中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了已知.，已知数列为等比数列，若，且，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设实数满足条件则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A．48B．60C．72D．120
5．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．已知数列为等比数列，若，且，则（ ）
A．B．或C．D．
8．设等差数列的前n项和为，且，，则( )
A．9B．12C．D．
9．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为( )
A．B．C．4D．2
10．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．函数的一个单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.
14．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案）
15．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______．
16．若复数满足，其中是虚数单位，是的共轭复数，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求△ABC面积的最大值．
18．（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
19．（12分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围.
20．（12分） [选修4 5：不等式选讲]
已知都是正实数，且，求证: ．
21．（12分）已知数列的通项，数列为等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和.
22．（10分）已知函数的图象在处的切线方程是.
（1）求的值；
（2）若函数，讨论的单调性与极值；
（3）证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案
【详解】
连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.
【点睛】
本题考查向量的线性运算问题，属于基础题
2、C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
3、C
【解析】
如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：切点为，连接，作轴于，
，故，
在中，，故，故，，
根据勾股定理：，解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4、A
【解析】
对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
数字出现在第位时，同理也有个
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
故满足条件的不同的五位数的个数是个
故选
【点睛】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。
5、A
【解析】
由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【详解】
如图，
取BC中点G，连接AG，DG，则，，
分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，
则O为四面体的球心，
由，得正方形OEGF的边长为，则，
四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故选A．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
6、D
【解析】
设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设，则，所以，
解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
7、A
【解析】
根据等比数列的性质可得，通分化简即可.
【详解】
由题意，数列为等比数列，则，
又，即，
所以，，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
由，可得以及，而，代入即可得到答案.
【详解】
设公差为d，则解得
，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.
9、D
【解析】
设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．
【详解】
解：设，，，
∵，
∴，即，①
又，②，
由①②可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
10、A
【解析】
试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．
考点：利用导数研究函数极值点
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
11、A
【解析】
根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.
【详解】
程序框图共运行3次，输出的的范围是，
所以输出的不小于103的概率为.
故选:A.
【点睛】
本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
12、D
【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.
【详解】
因为
，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.
故选：D
【点睛】
本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果.
【详解】
如图
由，所以
由，所以
又，则
所以
所以
化简可得：
则
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
14、
【解析】
由题意得，二项式展开式的通项为，
令，则，所以得系数为．
15、
【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.
【详解】
第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；
从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是，
没有被选中的概率是．
次传播是相互独立的，故为
故答案为：
【点睛】
本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.
16、
【解析】
设，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得的值.
【详解】
设，由，得，所以，所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）y2＝6x（2）．
【解析】
（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；
（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.
【详解】
（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；
（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，
y0，kAB，
则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①
可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2 ②
代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0 ③，
由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，
|AB|
，
又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，
所以S△ABC|AB|h•
，
当且仅当9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），
或A（，），B（，）时等号成立，
所以S△ABC的最大值为．
【点睛】
此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.
18、（1）6种；（2）；（3）.
【解析】
（1）从4条街中选择2条横街即可；
（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，，，，分别对4条路线进行分析计算概率；
（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.
【详解】
（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.
（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：
①当走时，全程不等红绿灯的概率；
②当走时，全程不等红绿灯的概率；
③当走时，全程不等红绿灯的概率；
④当走时，全程不等红绿灯的概率.
所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率
.
（3）设以下第条的路线等信号灯的次数为变量，则
①第一条：，则；
②第二条：，则；
③另外四条路线：；；
，则
综上，小明上学的最佳路线为；应尽量避开.
【点睛】
本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据抛物线的定义，结合已知条件，即可容易求得结果；
（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则，结合由得到的斜率关系，即可求得斜率的范围.
【详解】
（1）因为动圆与圆外切，并与直线相切，
所以点到点的距离比点到直线的距离大.
因为圆的半径为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
所以圆心的轨迹为抛物线，且焦点坐标为.
所以曲线的方程.
（2）设，，
由得，
由得且.
，
，同理
由，得，
即，
所以，
由，得且，
又且，
所以的取值范围为.
【点睛】
本题考查由抛物线定义求抛物线方程，涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围，属综合中档题.
20、见解析
【解析】
试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证．
试题解析：证明：∵
，
又，
∴
考点：柯西不等式
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据，，成等差数列以及为等比数列，通过直接对进行赋值计算出的首项和公比，即可求解出的通项公式；
（2）的通项公式符合等差乘以等比的形式，采用错位相减法进行求和.
【详解】
（1）数列为等比数列，且，，成等差数列.
设数列的公比为，
，，解得
（2）
，
，
，
，
.
【点睛】
本题考查等差、等比数列的综合以及错位相减法求和的应用，难度一般.判断是否适合使用错位相减法，可根据数列的通项公式是否符合等差乘以等比的形式来判断.
22、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.
【解析】
（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；
（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.
（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.
【详解】
解：（1）函数的定义域为
由已知得，则，解得.
（2）由题意得，则.
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，单调递减区间为，单调递增区间为，
的极小值为，无极大值.
（3）要证成立，
只需证成立.
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值为，即
由（2）知，时，，且的最小值点与的最大值点不同，所以，即.
所以，.
【点睛】
知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大.