2026届贵州省毕节市纳雍县第五中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届贵州省毕节市纳雍县第五中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析，共15页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，.
A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544
2．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A．B．
C．D．
4．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
A．甲得分的平均数比乙大B．甲得分的极差比乙大
C．甲得分的方差比乙小D．甲得分的中位数和乙相等
5．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）
A．170B．10C．172D．12
10．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )
A．B．C．D．
11．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A．8B．16C．D．
12．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.
14．已知向量，且，则___________.
15．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.
16．设函数，则满足的的取值范围为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为的前n项和，求证：.
18．（12分）2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.
为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？
附：对于一组数据（，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：其中，.
19．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
20．（12分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）
（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
21．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.
（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面
（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.
（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；
（2）若，且，求实数的值；
（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.
【详解】
由题意，，，则，，
所以，.
故果实直径在内的概率为0.8185.
故选：C
【点睛】
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
2、B
【解析】
由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.
【详解】
由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，.
.
故选：
【点睛】
本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.
3、B
【解析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=．故选B．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
4、B
【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．
【详解】
对于甲，；
对于乙，，
故正确；
甲的极差为，乙的极差为，故错误；
对于甲，方差.5，
对于乙，方差，故正确；
甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确．
故选：．
【点睛】
本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
5、B
【解析】
设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.
【详解】
解：不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
6、C
【解析】
利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.
【详解】
由，得，可得（）.
相减得，则（），又
由，，得，所以，所以为常
数列，所以，故.
故选：C
【点睛】
本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.
7、B
【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】
∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
【点睛】
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
8、A
【解析】
分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.
【详解】
由题意,若,显然不是恒大于零,故.
,则在上恒成立;
当时,等价于,
因为,所以.
设,由,显然在上单调递增,
因为,所以等价于,即,则.
设,则.
令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,
从而，故.
故选:A.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.
9、D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
10、C
【解析】
据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．
【详解】
根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：
的圆及内部的平面区域，面积为，
集合，，表示的平面区域即为图中的，，
根据几何概率的计算公式可得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．
11、D
【解析】
根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，
则
所以，
四边形的内切圆面积为，
则，解得，
则，
即
故由基本不等式可得，即，
当且仅当时等号成立.
故焦距的最小值为.
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.
12、B
【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.
【详解】
解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根
∴
又是正项等比数列，所以
∴.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.
【详解】
由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查随机事件的概率，是基础题.
14、
【解析】
由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.
【详解】
因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
15、1
【解析】
建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．
【详解】
解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，
设，则，，
，，，
，
，
显然当取得最大值4时，取得最小值1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．
16、
【解析】
当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.
【详解】
，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，
需满足，且，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用与的关系即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【详解】
解析：（1）当时，；
当，，可得，
又∵当时也成立，；
（2），
【点睛】
本题主要考查了与的关系、裂项求和法，属于基础题.
18、（1）适宜（2）（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效
【解析】
（1）根据散点图即可判断出结果.
（2）设，则，求出，再由回归方程过样本中心点求出，即可求出回归方程.
（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当时，，与真实值作比较即可判断有效.
【详解】
（1）根据散点图可知：
适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；
（2）设，则，
，
，
；
（3）（ⅰ）时，，，
当时，，，
当时，，，
所以（2）的回归方程可靠：
（ⅱ）当时，，
10150远大于7111，所以防护措施有效.
【点睛】
本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.
19、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差；
（2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断.
【详解】
解：（1）
（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7.
随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服从二项分布，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望
（3）由题意知服从正态分布，
则，
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
【点睛】
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.
20、（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析．
【解析】
（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.
【详解】
（1），，，．
（2）设，其中，
则由题意：，故，即，
考虑，可知：，或，
若，则考虑，
，，则，
，但此时，，不满足题意；
若，此时，满足题意，
，其中为相异正整数．
（3）记，则，
首先，，设，其中，
分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，
而，，
，
对于，考虑，，其和大于，故其差，
特别的，，，
由，且，，
以此类推：，
，此时，
故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
【点睛】
本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.
21、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由题意，先求得为的中点，再证明平面平面，进而可得结论；
（2）由题意，当点位于点时，四面体的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
【详解】
（1）证明：当四面体的外接球的表面积为时.
则其外接球的半径为.
因为时边长为2的菱形，是矩形.
，且平面平面.
则，.
则为四面体外接球的直径.
所以，即.
由题意，，，所以.
因为，所以为的中点.
记的中点为，连接，.
则，，，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（2）由题意，平面，则三棱锥的高不变.
当四面体的体积最大时，的面积最大.
所以当点位于点时，四面体的体积最大.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，，，.
设平面的法向量为.
则
令，得.
设平面的一个法向量为.
则
令，得.
设平面与平面所成锐二面角是，则.
所以当四面体的体积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．
22、（1）；（2）；（2）见解析．
【解析】
（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；
（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，
，由先求出，回代后求得坐标，计算；
（3）由已知得，设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可解得，，求出，从而可得，由，可知满足要求的点不存在．
【详解】
（1）由题意圆方程为，令得，∴，即，∴，，∴渐近线方程为．
（2）由（1）圆方程为，，
设，由得，(*)，
，，
，
所以，即，解得，
方程(*)为，即，，代入双曲线方程得，∵在第一、四象限，∴，，
∴．
（3）由题意，，，，，
设
由得：，，
由得，解得，，
，
所以，
，
，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴轴上不存在点，使得．
【点睛】
本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．
时间
1月25日
1月26日
1月27日
1月28日
1月29日
累计确诊人数的真实数据
1975
2744
4515
5974
7111
5.5
390
19
385
7640
31525
154700
100
150
225
338
507
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343