2026达州高级中学等校高一下学期期中试题数学A2含解析

这是一份2026达州高级中学等校高一下学期期中试题数学A2含解析，共3页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知函数 ，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册第五章至必修第二册第七章.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解题的关键是先根据复数乘法法则计算出 ，再根据共轭复数的定义求出 .
【详解】因为 ，所以 .
2. 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，则 .
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等
B. 若 ， ，则
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C. 若向量 ， 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上
D. 若 为 的垂心，则
【答案】D
【解析】
【详解】若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等或互为相反向量，A 错误；
当 时，得 ， ，此时向量 ， 不一定平行，B 错误；
当四边形 是平行四边形时，满足向量 ， 是共线向量，
但点 ， ， ， 不在同一条直线上，C 错误；
若 为 的垂心，可得 ，
则 ，D 正确.
4. 已知复数 是关于 的方程 的一个复数根，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得 ，即 ，解得 .
5. 某时钟的秒针端点 到中心点 的距离是 4 厘米，秒针绕点 匀速旋转，当时间 时，点 与钟面
上标 3 的点 重合，在秒针旋转一周（即 ）的过程中，记 ， 两点间的距离为 厘米，则当
时， 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 设 ， 得 出 ， 求 出 ， 最 后 解 不 等 式
即可.
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【详解】设 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，所以 .
由 ，得 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，解得 .
6. 已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角是钝角，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】向量 ，由向量 ， 的夹角是钝角，
得 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
7. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，则 是
（ ）
A. 钝角三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
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【答案】B
【解析】
【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.
【详解】在 中，由正弦定理得 ，而 ，
∴ ，即 ，
又∵ 、 为 的内角，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴由余弦定理得： ，∴ ，
∴ 为等边三角形.
故选：B.
8. 18 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，
即复数 在复平面内对应的点为 ，则满足 的点 的集合是以 为圆心，2
为半径的圆.已知复数 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设 ， ，满足 的点 的集合是以 为圆心，2 为半径的圆，
因为 ，所以 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小正周期是
C. 的图象关于直线 对称 D. 在 上单调递增
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【答案】BCD
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式化简 ，根据正弦函数的周期、单调性、对称轴和对称中心可得答案.
【详解】由题意可得 ，则 的最大值是 2，A 错误；
的最小正周期 ，B 正确；
因为 ，取得最小值，
所以 的图象关于直线 对称，C 正确；
由 ，得 ，
正弦函数的单调递增区间为 ，
当 时，单调递增区间为 ， ，
则 在 上单调递增，D 正确.
10. 已知 是锐角三角形，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，则 的值可能
是（ ）
A. 3 B. 4 C. D. 5
【答案】BC
【解析】
【分析】应用余弦定理及锐角三角形列式计算求解.
【详解】因为 ， ，所以 是锐角，
所以由题意可得 ，
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即 ，
解得 ，
所以 符合题意.
11. 在 中， ，过点 的直线分别交射线 ， 于不同的两点 ， ，若
， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由向量线性运算计算可判断 AB；由向量线性运算及 列式计算可判断 C；由
，根据基本不等式“1”的妙用计算可判断 D.
【详解】因为 ，所以 .
因为 ， ，
所以 ，A 正确，B 错误.
因为 三点共线，所以 ，
当 时， ,
， .
因为 ， ， 三点共线，
所以 ，即 ，
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所以 ，解得 ，则 ，C 正确.
因为 三点共线，所以 ，
即 ，且 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是___________.
【答案】
【解析】
【分析】应用投影向量公式结合数量积坐标公式计算求解.
【详解】由题意可得向量 在向量 上的投影向量为 ，其坐标为 .
13. 为打造“熊猫竹海”生态旅游线，护林员在山脚的 点观测两竹海景观 ， （视为质点），测得景观 位
于 点的北偏东 75°方向上，距离 点 600 米，景观 位于点 的东偏南 30°方向上，距离 点 米，
， ， 三点都在同一水平面上，则景观 ， 之间的距离是______米.
【答案】
【解析】
【详解】如图，由题意可知 米， 米， ，
则 ，故 米.
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14. 函数 在 上至少有 3 个零点，则 的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【详解】因为 ，且 ，所以 .
因为 在 上至少有 3 个零点，所以 ，解得 ，
故 的最小值是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，且 为
锐角.
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦二倍角公式，同角三角函数关系可得答案；
（2）由正弦定理和余弦定理可得 ，求出周长.
【小问 1 详解】
因为 ，且 ，所以 ，
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由 ，可得 ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由 ，得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
所以 ，解得 （ 舍去），
则 ，
故 的周长为
16. 已知复数 ， .
（1）若 ，求 ， 的值；
（2）若 是纯虚数，且 ，求 ；
（3）若 ，且 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据复数的加法运算及复数相等列式即可求出答案；
（2）根据复数的乘法运算及纯虚数的概念可求出 ，再根据 求出 ，根据
即可求出答案；
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（3） ，根据复数的几何意义即可求出答案.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ，
则 ，解得 ， .
【小问 2 详解】
因为 ， ，
所以 ，
因为 是纯虚数，所以 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 .
【小问 3 详解】
由 ，得 ，
则 ，
因为 在复平面内对应的点位于第一象限，
所以 ，
解得 ，即 的取值范围为 .
17. 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示.
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（1）求 的解析式；
（2）求 的单调递减区间；
（3）求 在 上的值域.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期 ，即可得 的值，再代入最值点即可求得 的值，从而
可得函数的解析式；
（2）结合余弦函数的单调性并利用整体代换法即可求解单调递减区间，即可求解；
（3）当 时， ，进而利用整体代换法即可求解值域.
【小问 1 详解】
由图可知， ，则 ，
所以 ，则 ，
又 ，则 ，
即 ，则 ，又 ，则 ，
所以 .
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【小问 2 详解】
令 ，得 ，
则函数 的单调递减区间为 .
【小问 3 详解】
当 时， ，
则 ，即 ，
则 在 上的值域为 .
18. 如图，在 中， ， ， ， 是线段 的中点. .
（1）当 时，用 ， 表示向量 ， .
（2）当 时，求向量 ， 夹角的余弦值.
（3）是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由向量加减、数乘的几何意义，用 表示出 ；
（2）应用向量数量积的运算律求数量积、模长，再由夹角公式求夹角余弦值；
（3）应用向量数量积的运算律及 ，列方程求参数值，即可得结论.
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【小问 1 详解】
由题设 ，
【小问 2 详解】
由（1）
，
，即
，
，即 ，
所以 .
【小问 3 详解】
存在 使 ，理由如下：
由题设 ，而 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
19. 如图，在边长为 6 的正方形 中， 、 分别为边 ， 上的点（不包含端点），且
.
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值；
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（3）求 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数概念，表示出各边长，再根据余弦定理，解三角形，进而求出角的大小即可；
（2）根据三角函数概念表示出各边长，进而求出结果即可；
（3）根据三角形面积公式，求出三角形面积表达式，根据三角函数值域，求出面积范围.
【小问 1 详解】
设 ， ，
则 ， ， ， ，
在 中，由余弦定理可得
，
因为 ，所以 ，
将 ， 代入上式并化简，得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
则 ，
【小问 2 详解】
由（1）可知 ， ，则
.
【小问 3 详解】
由（1）可知 ， ， ，
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则 的面积 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
当 时， 取得最大值，且最大值为 1，
则 ，
即当 时， 的面积取得最小值 .