数学（吉林长春卷）：2026年中考模拟考前预测卷（含答案解析）

这是一份数学（吉林长春卷）：2026年中考模拟考前预测卷（含答案解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得，黑色算筹“”表示的数是．
2．下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据常见几何体判定求解即可；
【详解】解：A.是正方体；
B.是球；
C.是长方体；
D.是圆柱体；
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴A计算正确．
∵不是同类项，无法合并，
∴B计算错误．
∵，
∴C计算错误．
∵，
∴D计算错误．
4．某奶茶店制作了一款饮品，保存温度要求为“大于且不大于”，则这款饮品保存温度要求在数轴上表示（阴影部分）为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法：大于向右画，小于向左画，有等号画实心原点，无等号画空心圆圈，进行判断即可．
【详解】解：大于即，不大于即，在数轴上表示如C选项所示．
5．已知点和点都在直线上，比较与的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化规律，再比较两点横坐标的大小，即可得出a和b的大小关系．
【详解】解：∵直线的一次项系数为，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴对应纵坐标满足．
6．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用三角函数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∴；
故B，C之间的距离是米；
故选D．
7．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验，如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P，若，则的值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】本题考查了折叠几何图形的性质和中位线定理的应用，通过折叠可判断，根据平行线分线段成比例可得出，，然后根据三角形的中位线定理求解即可．
【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D，
∴，，
∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P，
∴，，
∴，
∴
∴，，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故选：A．
8．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．拉力的大小与符合反比例函数关系
B．当的长增大时，拉力在减小
C．的长每增大，所施加的拉力就减小
D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了
【答案】C
【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：由图象中数据发现：
，
拉力与距离的乘积不变，
拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意；
由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意；
由图象知，当时，，当时，，当时，，
，
的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意；
当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．64的算术平方根是______．
【答案】8
【详解】解：的算术平方根是．
10．写出一个含有字母的单项式：________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的定义，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；本题只要求式子含有字母，且符合单项式定义即可，因此可以写出多种正确结果只需写出含有字母的符合定义的单项式即可．
【详解】解：根据单项式的定义，只要求式子含有字母的单项式，例如：，、等符合要求的结果都正确．
11．已知，，则的值为______．
【答案】30
【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可求解．
【详解】解：．
12．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________．
【答案】
/
【分析】根据题意得到重物上升的高度为点旋转所对应的弧长，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：重物上升的高度为．
13．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______．
【答案】52
【分析】先根据正多边形每个内角为得到正五边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
根据题意得，，，
∵，，
∴．
∴．
14．如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______．
【答案】①②③
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确；
②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确；
③根据②的结论可得，所以，故③正确；
④根据②中，得出，则可得出，在中，根据勾股定理得出，得出，故④错误．
【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∴四边形为正方形，
，，
∵四边形是矩形，
，
，
，
又，
在和中，，
，
，
故①正确；
②∵矩形为正方形；
，，
∵四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
，
故②正确；
③根据②得，
，
，
故③正确；
④根据②中，
，
，
在中，，，
，
，
故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（6分）求代数式的值，其中，．
【答案】，．
【分析】本题考查了整式化简求值，先根据完全平方公式，合并同类项把原式化简，再把，代入即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
16．（6分）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“力”“旺”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．若一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“力”、张为“旺”的概率．
【答案】
抽取的卡片恰好1张为“力”、1张为“旺”的概率为．
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率．
根据题意画树状图，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中，恰好张为“力”、1张为“旺”的情况有种，
∴．
∴抽取的卡片恰好1张为“力”、1张为“旺”的概率为．
17．（6分）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接．
求证：．
【答案】见解析
【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∵在与中
∴，
∴，
∴．
18．（7分）某商店销售两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
【答案】A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元．
【分析】根据“顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B款吉祥物的单价为元，则A款吉祥物的单价为元，
根据题意列方程得，
解得，
检验∶当时，，
所以是原分式方程的解，
则，
答∶A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元．
19．（7分）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形．
(1)在图1中，以格点为顶点画一个面积为4的等腰直角三角形；
(2)在图2中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形；
(3)在图3中，以格点为顶点画一个面积为10的正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）作一个直角边为的等腰直角三角形即可；
（2）作一个对角线分别为2，4的菱形即可；
（3）作一个边长为的正方形即可．
【详解】（1）解：如图1中，即为所求；
；
（2）解：如图2中，菱形即为所求；
（3）解：如图3中，正方形即为所求．
20．（7分）为了加强学生的网络安全与信息素养，某校对学生进行网络安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩是：65，66，67，68，68，69，76，77，79，80，80，86，86，86，86，90，91，92，98，100
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，86，87，88，89，89；
七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握网络安全知识更好？并说明理由；
(3)若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有多少名？
【答案】(1)86， ，30
(2)八年级的学生掌握网络安全知识更好，理由见解析
(3)890
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可求出的值，再根据八年级20名学生测试成绩在组的人数可求出；
（2）根据中位数和众数的大小可得答案；
（3）求出样本中七、八年级中优秀所占的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次，
∴众数，
八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人），
将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为86，87，
∴，
，
∴；
（2）解：八年级的学生掌握网络安全知识更好，
理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高；
（3）解： 估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有：（名）．
21．（8分）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．图1是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高度是．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），关于虹吸时间（单位：s）的函数图象如图2所示．
(1)图2中，_________；
(2)请分别求出与x的函数关系式（不写自变量x的取值范围）；
(3)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间．
【答案】(1)10
(2)，
(3)或
【分析】（1）结合图象可知，开始时甲容器液面高，从而得出a的值；
（2）利用待定系数法即可求得，；
（3）根据题意列出方程，分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵开始时甲容器液面高，
∴．
（2）解：设，把及代入，
得，
解得，
与x的函数关系式为．
设，把代入，得，
解得，
与x的函数关系式为．
（3）解：当时，即，
解得；
当时，即，
解得，
综上，甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间为或．
22．（9分）【问题背景】
已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时， °；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．
①如图2，若，求证：
②如图3，当， 时，请仿照图2补全图形．
(a)判断过点O、E、C三点能不能作一个圆，并说明理由；
(b)探究与之间的数量关系，并写出探究过程．
【答案】（1）40；（2）①见解析；②图见解析；(a)过点O、E、C三点不能作一个圆，理由见解析；(b) ，过程见解析
【分析】（1）由切线的性质得，进而求出，由等角对等边得，然后由三角形内角和即可求解；
（2）①先证明，然后根据证明得，进而可证明结论成立；
②仿照图2，根据题意画出图形即可；
(a)证明点O，C，E共线即可得出结论；
(b) 过点O作于点G，于点H，可求，由等腰，结合等腰三角形的性质及勾股定理，求得，可证明，故在中，，进而可得出结论．
【详解】（1）∵是的切线，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：40；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②补全图形如图：
(a) 过点O、E、C三点不能作一个圆，理由：
连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点O，C，E共线，
∴过点O、E、C三点不能作一个圆；
(b) 过点O作于点G，于点H，
在，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴设，
∴由勾股定理得，
∴，
∴在中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
而，
∴，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
23．（10分）九年级（1）班学生在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)【观察猜想】
如图1，是等边三角形，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出线段与线段的数量关系：____，_____；
(2)【类比探究】
如图2，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
①如图3，当点在线段上，且，时，以线段为边作等边三角形，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
②在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，
(2)①，理由见解析；②或
【分析】（1）证明得出，，进而求得；
（2）根据菱形的性质以及，得出是等边三角形，证明，再证明，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（3）分情况讨论，当在线段上，记与交于点，证明，，根据相似三角形的性质结合已知可得；当在线段上时，延长交于点，同理可得，即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，，
由旋转可得，，，
，
，
，，
；
（2）①，理由如下：
在菱形中，，
∴，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②如图，当在线段上，记与交于点，
∵四边形是菱形
∴，，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴
∴
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，当在线段上时，延长交于点
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴；
24．（12分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
(1)点为轴负半轴上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点、（点在点的左边），设点的纵坐标为，当时，求的值；
(2)为抛物线上一点，且．请求出点坐标；
(3)在（1）的条件下，点、在此抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，若，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，相似三角形的判定与性质，二次函数与几何综合等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把，代入，得出b、c的方程，求出函数解析式，把和联立方程组，求出点D、E的横坐标，然后根据构建关于t的方程，解方程即可求解；
（2）分点在第一象限和点在第四象限两种情况进行解答即可；
（3）分，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
解得，
∴；
解：由题意知：直线为，
联立方程组，
解得或，
∴，，
∵，
∴，
解得；
（2）当点在第一象限时．
过点作交于点，过点作轴，垂足为．
当时，，解得或
∴
∴
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，即
．
∵
∴
∴
为等腰直角三角形，
，
．
设的解析式为，把，代入得到
解得
∴直线的解析式为．
解方程组得或，
；
当点在第四象限时，
与关于点中心对称，
．
同理可得，直线的解析式为．
解方程组得或，
；
综合得：点坐标为或；
（3）、在此抛物线上，其横坐标分别为，，
，，
①当在对称轴左侧，即，此时时，
，，
，解得（舍去）或；
②关于直线的对称点为，
当即时，
，
，解得（舍去）或（舍去）
③当，即时，
，，
，即．
解得或（舍去）．
综上所述，的值为或．年级
平均数
众数
中位数
七年级
80.5
a
80
八年级
80.5
92