重庆西南大学附属中学2026届高考全真模拟数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆西南大学附属中学2026届高考全真模拟数学试卷（Word版附解析），文件包含☆曹冲称象的故事培优精讲知识梳理+7个考点讲练+巩固练习共37题-2025-2026学年人教版数学三年级上学期原卷版docx、☆曹冲称象的故事培优精讲知识梳理+7个考点讲练+巩固练习共37题-2025-2026学年人教版数学三年级上学期解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
满分：150 分；考试时间：120 分钟
2026 年 5 月
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书
写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.
一、单项选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项
中， 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 5 C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的乘法、除法运算和模长公式即可求解.
【详解】由 ，
得 ，即
则 .
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 ，
得 ，所以集合 ，
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集合 ，即 ，
因为 ，所以 .
3. 已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ）
A. B. C. 5 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】先根据投影向量的定义，再结合向量模的计算公式求出 ，最后根据向量数量积的运算求出 .
【详解】向量 在向量 上的投影向量为 ，
因为 ，所以 ，代入可得：
，所以 ，
则 .
4. 已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象的对称轴可
以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据周期得出 ，再应用余弦函数对称轴计算求解即可.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
则 ，所以 ，所以函数 ，
所以 ，即 ，
当 时，即 ，
则函数 的图象的对称轴可以为 .
5. 圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的
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平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设圆柱的底面半径为 r，高为 h，圆锥的轴截面如图所示
则
易得 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以圆柱体积
记
， 得 ，
， 单调递增
， 单调递减
故
6. 已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助导数可研究函数 在 上的单调性及其最小值，结合 时， ，可得
，解出即可得.
【详解】当 时， ，
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令 ，则 恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
则 在 上单调递减，则 ，
又当 时， ，
则有 ，解得 ，
故满足 的实数 的取值范围是 .
7. 若 圆 上 存 在 两 点 ， 直 线 上 存 在 点 ， 使 得
，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，只需 到直线 的距离小于或等于 ，再利用点到直线的距离公式列不等式
求解．
【详解】解：圆 ，圆心为： ，半径为 ，
当 与圆 相切，且 直线 时， 最大，
∵在圆 上存在两点 ，在直线 上存在一点 ，使得 ，
∴在直线 上存在一点 ，使得 到 的距离等于 ，
∴只需 到直线 的距离小于或等于 ，
故 ，解得 ，
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8. 已知角 满足 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先将已知角换成新元，方便化简，化简已知条件后，再求 与 的比值.
【详解】设 ， ，
则 ，
，
， ，
所以 .
二、多选题： 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多
项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 等比数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（）
A. 若 ，则 B. 若 是递减数列，则公比 满足
C. 若 ，则公比 D. 若 (t 为常数)，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】因为 是等比数列，所以
又 ，因此 ，即 .那么
，A 正确.
举反例：若 ，公比 ，数列为 ，是递减数列，但不满足题意，B 错误.
若 ，则 ，因此 .
根据等比数列前 n 项和性质， 比值为 即 ，解得 ，C 正确.
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当 时， ，首项 ，
由 是等比数列，满足 ，代入得 ，解得 ，D 正确.
10. 已知抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线 于 ， 两点 为坐标原点， 则下
列说法正确的是（ ）
A.
B. 若 ，记直线 的斜率为 ，则
C. 面积的最小值为 2
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】设直线 AB 的方程为 ，将直线方程代入抛物线方程中，消去 ，利用根与系数的关系，
从 而 可 求 出 ， 即 可 判 断 A； 根 据 弦 长 公 式 即 可 判 断 B； 根 据
结 合 韦 达 定 理 即 可 判 断 C； 根 据 弦 长 公 式 得
，结合基本不等式即可判断 D.
【详解】由题意知抛物线 的焦点为 且直线斜率不为 0，
故可设直线 AB 的方程为 ， ， ，
由 得 ，显然 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，故 A 错误；
设直线 的倾斜角为 ，当 为锐角时，
由抛物线的定义可知 ，
故 ，同理可得 ，
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由 得 ，从而 ，
同理当 为钝角时， ，故 B 正确；
，
当 时， 面积的最小值为 2，故 C 正确；
由于 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时， 的最小值为 ，故 D 正确.
11. 设三次函数 ，其中 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，若函数 的对称中心为 ，则
B. 当 时，函数 的图象关于点 中心对称
C. 当 时，若 的两个极值点为 ，且 ，则
D. 当 时，若 有三个相异且成等差数列的零点，则实数 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 A：借助函数中心对称性质计算可得 、 ，再计算 即可得；对 B：结合函数中心对称性
质，验证 是否成立即可得；对 C：求导后，结合极值点定义，利用韦达定理计算即可得；
对 D：结合等差数列性质，设出三个零点后代入计算即可得.
【详解】对 A：当 时， ，
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由函数 的对称中心为 ，则 ，
即有 ，
整理得 ，即有 ，解得 ，
即 ，故 ，故 A 错误；
对 B：当 时， ，
则 ，
故函数 的图象关于点 中心对称，故 B 正确；
对 C：当 时， ， ，
则 ， ， ，
由 ，且 ，则 ，故 ， ，
即有 ， ，且 ， ，故 ， ，
即有 ，即 ，故 C 正确；
对 D：当 时， ，
设三个相异零点分别为 、 、 ，
则 ，
即 ，
则 ，由 得 ，
则由 可得 ，故 ，
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又 ，故实数 的取值范围为 ，故 D 正确.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知双曲线 ： 的实轴长是虚轴长的 2 倍，则 的离心率为_______________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题意可得 a 和 b 的比值，然后由公式
【详解】因为 的实轴长是虚轴长的 2 倍，所以 ，从而 .
故答案为：
13. 已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】设切点为 ，得切线方程 ，由题意得 ，问题化为
与 有一个交点，结合导数即可求解.
【详解】设切点为 ，则 ，曲线 在点 处的切线方程为
，
即 ，由题意得 ，即 ，
令 ，
当 时， ， 单调递增，
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当 时， ， 单调递减， ，
当 时， ,当 时， ,
故当 或 时， 与 有一个交点，
所以实数 的取值范围是：
14. 现有一盒子里装有序号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个大小、质地完全相同的小球， 甲、乙、
丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记被抽取的球的序号分别为
，则满足 的情况有_____种.
【答案】90
【解析】
【分析】假设 有 ，可得 共有 5 种组合， 有 4 种选择，分 、
， 、 讨论，可得答案.
【详解】假设 ，那么对于 ，
可化简为 ，
所以 ，即 ，
若 可以取 ，对应的 就是 ，
所以 共有 5 种组合，对于每一组 ， 有 4 种选择，
当 确定后，考虑它们的排列顺序，
如果 ，有 三种排列，
如果 ，同理也有三种排列，
如果 ，那么 有 种排列，
如果 ，那么 有 种排列，
可得每个 组合共有 种排列，
所以 的 5 种组合共有 种.
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四、解答题：本大题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动，满分 100 分
. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据.
人数分数 学历
本科及以下 37 33 12 10
本科以上 20 20 10 10
（1）若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉；
学历
熟悉程度 合计
本科及以下 本科以上
熟悉
不熟悉
合计
根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉 AI 程
度与参与人员学历有关系.
（2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中
随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
附： ， .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
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【答案】（1）列联表见解析；熟悉 AI 程度与参与人员学历有关联；
（2）分布列见解析； .
【解析】
【分析】（1）先根据题意列出列联表，再计算 ，并判断；
（2）先确定 的可能取值，再分别求概率，列出分布列，最后求期望.
【小问 1 详解】
学历
熟悉程度 合计
本科及以下 本科以上
熟悉 30 60 90
不熟悉 70 40 110
合计 100 100 200
零假设为 ：熟悉 AI 程度与参与人员学历互相独立，即熟悉 AI 程度与参与人员学历无关联.
根据列联表中的数据，经计算得
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为熟悉 AI 程度与参与人员学历有关联，
此推断犯错误的概率不大于 0.001.
根据表中数据，熟悉 AI 的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为 和
，
不熟悉 AI 的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为 和 ，
由 可见，在被调查者中，熟悉 AI 的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频率的将近 2 倍，
于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉 AI 的概率明显大于本科及以下学历熟
悉 AI 的概率，即本科以上学历更容易熟悉 AI.
【小问 2 详解】
从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，这 10 人中，分数在
的人数为 3，则 可取 0，1，2，3；
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，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
.
16. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，点 在椭圆上，满
足 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）斜率为 1 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 为坐标原点，若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意求出 的值，结合 的值，可得出 的值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）设点 、 ，将直线 与椭圆联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出
关于 的方程，求出参数，再应用点线距离公式、三角形面积公式求 的面积.
【小问 1 详解】
由椭圆的定义可得 ，可得 ，
因为 ，所以 ，故 ，
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因此椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
设点 、 ，且 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以
，解得 ，
所以 ，则 到直线 的距离 ，
所以 .
17. 在锐角 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求角 ；
（2）已知 ，求 周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得 ；
（2）利用正弦定理将边 替换成角的表达式，再由锐角 以及三角函数值域即可求出周长的取值范
围.
【小问 1 详解】
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由题设及正弦边角关系知 ，得 ，
整理得 ，故 ，又 ，所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ，
由于 是锐角三角形，则 ，则 ，
由正弦定理得 ，即 ， .
又 ，故 的周长为
.
而 在 上单调递减，
所以 的周长的取值范围为 .
18. 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 正 方 形 ， 侧 面 是 等 腰 三 角 形 ， 且
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设二面角 的平面角为 ，求 的值；
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（3）若 为 的中点，且 ，设平面 与 交于点 ；在平面 内，过 作
的平行线交 于点 ，设平面 与 交于点 ：在平面 内，过 作 的平行线交
于点 ，设平面 与 交于点 ；依次类推， ，设平面 与 交于点
，记 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）2029
【解析】
【分析】（1）先计算相关线段长度，用勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明面面垂直
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，分别求出两个面的法向量，再通过法向量的夹角与二面角的
关系求解.
（3）先求出 ，代入 ，再根据空间向量共面定理，得到递推关
系 ，求出通项公式计算即可
【小问 1 详解】
已知底面 是正方形，故 ，且 .
又 ， ，在 中：
，所以 .
因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，故平面 平面 .
【小问 2 详解】
以 为原点，建立空间直角坐标系，
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则 ， ， ， ，
向量
设 平 面 的 法 向 量 为 ， 则 ， 取 ， 解 得 ，
，即 .
平面 的法向量为
则
二面角为锐角，故 .
【小问 3 详解】
因为
因为 ， 是 中点， ，
所以 ，所以
因为 共面，所以
对于 ， ，故
又 在 上，且 ，故 ，
即 ，代入得
第 17页/共 20页
，
因为 共面，所以
化简得
即 ， 是公差为 1 的等差数列.
故
因此
19. 已知函数 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 ，关于 的方程 有两个不等实根 ， ，且满足 ，求实数 的取
值范围；
（3）数列 的前 项和为 ，设数列 的前 项和为 ，且 ， ，求
证：当 时，有 .
【答案】（1）单调递增区间： ，单调递减区间：
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先确定 的表达式，先求定义域，再求导，通过分析导数的正负来确定单调区间；
（2）化简 ，设 ，得到 关于 的函数，再根据 的范围，利用导数求该函数的值域
（3）先根据数列前 项和与通项的关系求出 ，再结合 求出 ，进而表示出 ，
利用放缩法证明不等式
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【小问 1 详解】
当 时， ，则
令 ，则
当 时， ， ，故 ， 单调递减.
，故 时， ，即 .
当 时： ，故 ，即
综上，单调递增区间： ，单调递减区间：
【小问 2 详解】
当 时， ，方程为
设 ，则 ，且
两式相减
因此
令 ，求导 ，
令 ， ， 单调递减，
所以 在 上单调递减 时， ； 时，
所以
记 ，则 ， 单调递增，
所以
【小问 3 详解】
由(1)知，当 时， ，即
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取 ，得 ，
因此
由(2)知，当 时， .
取 （ ，此时 ），则
所以
记 ， ， 则
故 在 上单调递增，因此 ，即
取 ，则
所以 ，得证